资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.6,三角函数模型简单应用,1/61,2/61,三角函数应用,(1),依据实际问题图象求出函数解析式,.,(2),将实际问题抽象为与,_,相关简单函数模型,.,(3),利用搜集数据作出,_,并依据,_,进行函数拟合,从而得到函数模型,.,三角函数,散点图,散点图,3/61,1.,判一判,(,正确打“”，错误打“,”),(1),函数,y=tan x,在定义域内是增函数,.(),(2),函数,y=3sin x+1,最大值为,3.(),(3),直线,x=,是函数,y=cos x,一条对称轴,.(),4/61,【,解析,】,(1),错误,.,函数,y=tan x,在开区间,kZ,内是增函数，但在整个定义域上不具备单调性,.,(2),错误,.,当,sin x=1,时，函数,y=3sin x+1,最大值为,4.,(3),正确,.,函数,y=cos x,对称轴为,x=k(kZ),，当,k=1,时即为,x=.,答案：,(1)(2)(3),5/61,2.,做一做,(,请把正确答案写在横线上,),(1),函数 定义域为,_.,(2),函数 最小正周期为,_.,(3),已知某地一天从,4,16,时温度改变曲线近似满足函数,y=,x,4,16,，则该地域这一段时间内温,差为,_.,6/61,【,解析,】,(1),因为,y=tan x,定义域为,故,kZ,，解得,xk+,kZ.,故所求函数,定义域为,x|xR,xk+,kZ.,答案：,x|xR,xk+,kZ,(2),由函数,y=sin(x+,),周期是,T=,直接套用公式可得,T=.,答案：,7/61,(3),由函数易知，当,x=14,时函数取最大值，此时最高温度为,30,当,x=6,时函数取最小值，此时最低温度为,10,，所以温,差为,30-10=20().,答案：,20,8/61,【,关键点探究,】,知识点,三角函数模型简单应用,1.,三角函数应用题三种模式,(1),给定呈周期改变规律三角函数模型,依据所给模型,结合三角函数性质,处理一些实际问题,.,(2),给定呈周期改变图象,利用待定系数法求出函数模型,再处理其它问题,.,9/61,(3),整理一个实际问题调查数据,依据数据作出散点图,经过拟合函数图象,求出能够近似表示改变规律函数模型,深入用函数模型来处理问题,.,10/61,2.,三角函数模型应用步骤,(1),建模问题步骤：审读题意建立三角函数式依据题意求出某点三角函数值处理实际问题,.,(2),建立数学模型关键，先依据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出详细三角函数式,.,11/61,3.,三角函数模型应用注意点,(1),普通地，所求出函数模型只能近似地刻画实际情况，所以应尤其注意自变量取值范围,.,(2),应用数学知识处理实际问题时，应注意从背景中提取基本数学关系，并利用相关知识来了解,.,12/61,【,知识拓展,】,三角函数模型应用流程,(1),审题：选取,什么样函数模型建模,.,(2),建模：依据题意，列出数量关系，建立三角函数模型,.,(3),解模：利用三角函数相关公式进行化简,.,(4),还原：解模后还要依据实际问题背景，进行检验，并作答,.,13/61,【,微思索,】,在建模过程中,散点图作用是什么？,提醒：,利用散点图能够较为直观地分析两个变量之间某种关系,然后利用这种关系选择一个适当函数去拟合这些散点,从而防止因盲目选择函数模型而造成无须要失误,.,14/61,【,即时练,】,电流强度,I(A),随时间,t(s),改变关系是 则当,t=,时，电流强度,I,为,_.,【,解析,】,当,t=,时，,=,答案：,15/61,【,题型示范,】,类型一,三角函数图象与解析式对应问题,【,典例,1】,(1),函数,y=x+sin|x|,，,x,-,大致图象是,(),16/61,(2),如图是周期为,2,三角函数,y=f(x),图象，那么,f(x)=(),A.sin(1+x)B.sin(-1-x),C.sin(1-x),D.sin(-1+x),17/61,【,解题探究,】,1.,在题,(1),中函数,y=x+sin|x|,，,x,-,含有怎样奇偶性？奇函数、偶函数图象有怎样特点？,2.,在题,(2),中周期为,2,和函数哪个量相关？图象过哪个特殊点？,【,探究提醒,】,1.,函数,y=x+sin|x|,，,x,-,既不是奇函数也不是偶函数,偶函数图象关于,y,轴对称，奇函数图象关于原点对称,.,2.,周期与,相关，可得,=1,，图象过,(1,0),点,.,18/61,【,自主解答,】,(1),选,C.y=x+sin|x|,x,-,既不是奇函数也不是偶函数，故选,C.,(2),选,C.,图象过点,(1,0),，排除,A,，,B,；当,x(0,1),时，,f(x)0,，故选,C.,19/61,【,方法技巧,】,处理函数图象与解析式对应问题策略,(1),普通方法是依据图象所反应出函数性质来处理，如函数奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，另外零点也能够作为判断依据,.,(2),利用图象确定函数,y=Asin(x+,),解析式，实质就是确定其中参数,A,，,，,.,其中,A,由最值确定；,由周期确定，而周期由特殊点求得；,由点在图象上求得，确定,时，注意它不唯一性，普通要求,|,|,中最小,.,20/61,【,变式训练,】,函数,y=-xcos x,部分图象是,(),【,解析,】,选,D.,首先该函数是奇函数,故排除,A,，,C,；又当,0 x,时,y,0,，,0),图象,.,试依据图象写出,I=Asin(t+,),解析式,.,为了使,I=Asin(t+,)(A0,，,0),中,t,在任意一段 秒,时间内电流强度,I,能同时取得最大值,A,与最小值,-A,，那么正整数,最小值是多少？,23/61,【,解题探究,】,1.,题,(1),中由图中哪些信息来确定该函数周,期和振幅？,2.,图中最大值和最小值分别是多少？图中 和点,与该函数周期有何关系？,【,探究提醒,】,1.,由图中最低位置可得振幅，由,(0.3,0),和,(0.7,0),可知,=0.7-0.3=0.4,，故,T=0.8.,2.,最大值和最小值分别为,300,和,-300,，由此可得,A=300,，由这两,点可得,24/61,【,自主解答,】,(1),选,B.,由图象知，振幅为,5 cm,；,=0.7-0.3=,0.4,，故,T=0.8 s,，故,A,错误,.,该质点在,0.1 s,和,0.5 s,离开平衡位,置最远，而不能说振动速度最大，故,C,错误，该质点在,0.3 s,和,0.7 s,时恰好回到平衡位置，而不是加速度为零，故,D,错误,.,25/61,(2),由图知，,A=300.T=,所以,=100.,因为 是该函数图象第一个点,(,五点作图法,),，,所以 所以,所以,问题等价于 即,所以,200,，所以最小正整数,为,629.,26/61,【,延伸探究,】,在本题,(2),中其它条件不变情况下，当,t=10 s,时电流强度,I,应为多少？,【,解题指南,】,由题中求出解析式可知，将,t=10 s,代入求解即可,.,【,解析,】,将,t=10 s,代入可得：,27/61,【,方法技巧,】,处理物理学问题策略,(1),常包括物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同特点是含有周期性,.,(2),明确物理概念意义，这类问题往往包括诸如频率，振幅等概念，所以要熟知其意义并与对应三角函数知识,结合解题,.,28/61,【,变式训练,】,弹簧上挂小球上下振动时，小球离开平衡位置距离,s(cm),随时间,t(s),改变曲线是一个三角函数曲线，其图象如图所表示：,(1),求这条曲线对应函数解析式,.,(2),小球在开始振动时，离开平衡位置位移是多少？,29/61,【,解题指南,】,小球在开始振动时，离开平衡位置位移就是,t=0,时,s,值,.,30/61,【,解析,】,(1),设这条曲线对应函数解析式为,s=Asin(t+,).,由图象可知：,A=4,，周期,所以,=2,，,此时所求函数解析式为,s=4sin(2t+,).,以点 为,“,五点法,”,作图第二关键点，则有,所以,=,得函数解析式为,s=,31/61,(2),当,t=0,时，,所以小球在开始振动时，离开平衡位置位移是,cm.,32/61,【,赔偿训练,】,如图是一个单摆振动图象，则该单摆振幅是,_;,振动频率是,_.,【,解析,】,由图可知该单摆振幅是,1,，振动周期是,0.8,，所以,振动频率是,=1.25.,答案：,1 1.25,33/61,类型三,三角函数在实际生活中应用,【,典例,3】,(1),甲乙两人从直径为,2r,圆形水池一条直径两端同时按,逆时针方向沿池做匀速圆周运动，已知甲速度是乙速度,两倍，乙绕池一周为止，若用,表示乙在某时刻旋转角弧度,数，,l,表示甲乙两人直线距离，则,l,=f(),大致图象是,(),34/61,35/61,(2),如图所表示，游乐场中摩天轮匀速转动，每转动一圈需要,12,分钟，其中心,O,距离地面,40.5,米，半径为,40,米，假如你从最低处登上摩天轮，那么你与地面距离将随时间改变而改变，以你登上摩天轮时刻开始计时，请回答以下问题：,求出你与地面距离,y(,米,),与时间,t(,分钟,),函数关系式；,当你第,4,次距离地面,60.5,米时，用了多长时间？,36/61,【,解题探究,】,1.,题,(1),中当,为多少时两人相遇？此时,l,为多少？,2.,题,(2),中能够选取哪种三角函数式来表示该函数关系式？此种函数周期为多少？,【,探究提醒,】,1.,当,=,时，两人相遇，此时,l,=0.,2.,能够用余弦函数来表示该函数关系式，周期为,12,分钟,.,37/61,【,自主解答,】,(1),选,B.,由题意知，,=,时，两人相遇，排除,A,，,C,；两人直线距离不可能为负，排除,D.,(2),能够用余弦函数来表示该函数关系式，由已知可设,y=,40.5-40cos t,，,t0,，由周期为,12,分钟可知当,t=6,时，摩天,轮第,1,次抵达最高点，即此函数第,1,次取得最大值，所以,6=,，即,=.,所以,y=40.5-40cos t(t0).,38/61,设转第,1,圈时，第,t,0,分钟时距地面,60.5,米，由,60.5=40.5-,40cos t,0,，得,cos t,0,=-,，所以,t,0,=,或,t,0,=,解得,t,0,=4,或,8.,所以,t=8,分钟时，第,2,次距地面,60.5,米，故第,4,次,距离地面,60.5,米时，用了,12+8=20(,分钟,).,39/61,【,方法技巧,】,解三角函数应用问题基本步骤,40/61,【,变式训练,】,在图中，点,O,为做简谐运动物体平衡位置，取向右方向为物体位移正方向，若已知振幅为,3 cm,，周期为,3 s,，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时,.,(1),求物体对平衡位置位移,x(cm),和时间,t(s),之间函数关系式,.,(2),求该物体在,t=5 s,时位置,.,41/61,【,解题指南,】,(1),依据题意设出函数解析式，并求出其中参数，得到函数关系,.,(2),把,t=5,代入解析式得出物体位置,.,42/61,【,解析,】,(1),设,x,和,t,之间函数关系为,x=3sin(t+,)(,0,0,2),，,由题意可得,当,t=0,时，有,x=3sin,=3sin,=1,，,又,0,2,，故可得,=.,所以所求函数解析式为,(2),令,t=5,得,x=-1.5(cm),，,故该物体在,t=5 s,时位置是在,O,点左侧且距,O,点,1.5 cm.,43/61,【,赔偿训练,】,如图,一个大风车半径是,8,米,每,12,分钟旋转一周,最低点离地面,2,米,若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片端点,P,离地面距离,h(,米,),与时间,t(,分钟,),之间函数解析式是,(),A.h=8cos t+10 B.h=-8cos t+10,C.h=-8sin t+10 D.h=-8cos t+10,44/61,【,解析,】,选,D.,首先考虑建立直角坐标系，以最低点切线作为,x,轴，最低点作为坐标原点，建立如图所表示直角坐标系,那么，风车上翼片端点所在位置,P,可由函数,x(t),y(t),来刻画，而且,h(t)=y(t)+2,所以，只需要考虑,y(t),解析式,45/61,又设,P,初始位置在最低点，即,y(0)=0,在,RtO,1,PQ,中，由,得,y(t)=-8cos+8,又 所以,=t,，,y(t)=-8cos t+8,，,h(t)=-8cos t+10.,46/61,拓展类型,依据数据拟合函数,【,备选例题,】,(1),下表所表示是芝加哥,1951,年到,1981,年月平均气温,(,华氏,),月份,1,2,3,4,5,6,平均气温,21.4,26.0,36.0,48.8,59.1,68.6,月份,7,8,9,10,11,12,平均气温,73.0,71.9,64.7,53.5,39.8,27.7,47/61,以月份减,1,为,x,，平均气温为,y,，以下四个函数模型中哪一个最适合这些数据,(),A.y=Acos x B.y=Acos x+46,C.y=-Acos x+46 D.y=Asin x+26,48/61,(2),已知某海滨浴场海浪高度,y(,米,),是时间,t(,时,),函数，其中,0t24,，记,y=f(t),，下表是某日各时浪高数据：,经长久观察，,y=f(t),图象可近似地看成是函数,y=Acos t+b,图象,.,依据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；,依据要求，当海浪高度大于,1,米时才对冲浪兴趣者开放，请依据结论，判断一天内,8,：,00,到,20,：,00,之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？,t,0,3,6,9,12,15,18,21,24,y,1.5,1.0,0.5,1.0,1.5,1.0,0.5,0.99,1.5,49/61,【,解析,】,(1),选,C.,最高气温,73.0,，最低气温,21.4,，故,2A=73.0-21.4=51.6,，,A=25.8.x=1,时，,y=26.0,分别代入,A,，,B,，,D,均不成立，所以选,C.,(2),由表中数据可知，,T=12,，,所以,又,t=0,时,y=1.5,，,所以,A+b=1.5,；,t=3,时,y=1.0,得,b=1.0,，,所以振幅为 ，,y=cos t+1.,50/61,y1,时，才对冲浪兴趣者开放，,所以,y=cos t+11,，,cos t0,，,即,2k-t2k+(kZ),，,得,12k-3t12k+3(kZ),，又,0t24,，,所以,0t3,或,9t15,或,21t24,，,所以在要求时间内只有,6,个小时能够进行活动，,即,9t0,0,|,|,),模型波动,(x,为月份,),，已知,3,月份到达最高价,8,千元，,7,月份价格最低为,4,千元；该商品每件售价为,g(x)(x,为月份,),且,满足,g(x)=f(x-2)+2.,53/61,(1),分别写出该商品每件出厂价函数,f(x),售价函数,g(x),解析式,.,(2),问哪几个月能盈利？,54/61,【,审题,】,抓信息，找思绪,55/61,【,解题,】,明步骤，得高分,56/61,57/61,【,点题,】,警误区，促提升,失分点,1,：,解题时若在处,值求错，从而使,f(x),解析式求错，则本题最多得,3,分,.,失分点,2,：解题时若未能求出处,x,范围，则无法求出盈利时月份，考试时要扣去,3,4,分,.,失分点,3,：解题时若遗漏处,k=1,情况，则会造成答案不全，考试时要扣去,1,分,.,58/61,【,悟题,】,提办法，导方向,1.,确定,值是求函数解析式关键,求,值时普通先求出,sin,值，再依据,范围确定,值，有时能够依据函数图象确定,值，如本例确定,值方法就是借助,范围得到,.,2.,结合函数图象、周期性表示,x,范围,确定满足不等式,x,范围时，能够结合图象先求出一个周期内满足条件,x,范围，再借助周期性得到,R,上,x,范围，如本例求出,8k+3x8k+9,，,kZ.,59/61,【,类题试解,】,(,拷北师,),依据市气象站对春季某一天气温改变,数据统计显示，气温改变分布与曲线 拟,合,(0 x24,，单位为小时，,y,表示气温，单位为摄氏度，,|,|0),，现已知这天气温为,4,至,12,摄氏度，并得知在凌,晨,1,时整气温最低，下午,13,时整气温最高,.,(1),求这条曲线函数表示式,.,(2),这天气温不低于,10,摄氏度时间有多长？,60/61,【,解析,】,(1)b=(4+12)2=8,A=(12-4)2=4,所以这条曲线函数表示式为,(2),令,y10,则,所以,0 x24,所以,所以,9x17,所以,17-9=8,故这天气温不低于,10,摄氏度时间,有,8,小时,.,61/61,
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