算法案例秦九邵算法人教A版必修市公开课一等奖省赛课微课金奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3,算法案例,第二课时,1/18,例2 求325，130，270三个数最大条约数.,因为,325=1302+65，130=652，,所以325与130最大条约数是65.,因为,270=654+10，65=106+5，10=52，,所以65与270最大条约数是5.,故325，130，270三个数最大条约数是5.,2/18,问题提出,1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数最大条约数优异算法，我们将算法转化为程序后，就能够由计算机来执行运算，实现了古代数学与当代信息技术完美结合.,2.对于求n次多项式值，在我国古代数学中有一个优异算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.,3/18,秦九韶算法,4/18,问题1设计求多项式f(x)=2x,5,-5x,4,-4x,3,+3x,2,-6x+7当x=5时值算法,并写出程序.,x=5,f=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,PRINT f,END,程序,点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能处理任意多项多求值问题,而且计算效率不高.,知识探究(,一,):,秦九韶算法基本思想,5/18,思索2:,在上述问题中，若先计算x,2,值，然后依次计算,x,2,x，,(x,2,x)x，,(x,2,x)x)x,值，这么每次都能够利用上一次计算结果，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？,9,次乘法运算，5次加法运算.,第二种做法与第一个做法相比,乘法运算次数降低了,因而能提升运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需运算时间比做一次加法要长得多,所以第二种做法能更加快地得到结果.,6/18,思索3:,能否探索更加好算法,来处理任意多项式求值问题?,f(x)=2x,5,-5x,4,-4x,3,+3x,2,-6x+7,=(,2x,4,-5x,3,-4x,2,+3x-6)x+7,=(2x,3,-5x,2,-4x+3)x-6)x+7,=(2x,2,-5x-4)x+3)x-6)x+7,=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,v,0,=2,v,1,=v,0,x-5=25-5=5,v,2,=v,1,x-4=55-4=21,v,3,=v,2,x+3,=215+3=108,v,4,=v,3,x-6,=1085-6=534,v,5,=v,4,x+7=5345+7=2677,所以,当x=5时,多项式值是2677.,这种求多项式值方法就叫,秦九韶算法.,5,次乘法运算，5次加法运算.,7/18,思索4:,利用最终一个算法求多项式f(x)=a,n,x,n,+a,n-1,x,n-1,+a,1,x+a,0,值，这个多项式应写成哪种形式？,f(x)=a,n,x,n,+a,n-1,x,n-1,+a,1,x+a,0,=,(a,n,x,n-1,+a,n-1,x,n-2,+a,2,x+a,1,),x+a,0,=(,(a,n,x,n-2,+a,n-1,x,n-3,+a,2,),x+a,1,)x+a,0,=,=(,(a,n,x+a,n-1,),x+a,n-2,)x+a,1,)x+a,0,.,8/18,思索4:,对于f(x)=(a,n,x+a,n-1,)x+a,n-2,)x+a,1,)x+a,0,，由内向外逐层计算一次多项式值，其算法步骤怎样？,第一步，计算v,1,=a,n,x+a,n-1,.,第二步，计算v,2,=v,1,x+a,n-2,.,第三步，计算v,3,=v,2,x+a,n-3,.,第n步，计算v,n,=v,n-1,x+a,0,.,9/18,思索5:,上述求多项式 f(x)=a,n,x,n,+a,n-1,x,n-1,+a,1,x+a,0,值方法称为,秦九韶算法,，利用该算法求f(x,0,)值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？,思索6:,在秦九韶算法中，记v,0,=a,n,，那么第k步算式是什么？,v,k,=v,k-1,x+a,n-k,(k=1，2，n),n,次乘法运算，,n,次加法运算,10/18,知识探究(,二,):,秦九韶算法程序设计,思索1:,用秦九韶算法求多项式值，能够用什么逻辑结构来结构算法？其算法步骤怎样设计？,第一步，输入多项式次数n，最高次 项系数a,n,和x值.,第二步，令v=a,n,，i=n-1.,第三步，输入i次项系数a,i,.,第四步，v=vx+a,i,，i=i-1.,第五步，判断i0是否成立.若是，则返回第 二步；不然，输出多项式值v.,11/18,思索2:,该算法程序框图怎样表示？,开始,输入n，a,n,，x值,v=a,n,v=vx+a,i,输入a,i,i0？,i=n,-,1,i=i,-,1,结束,是,输出v,否,12/18,思索3:,该程序框图对应程序怎样表述？,开始,输入n，a,n,，x值,v=a,n,v=vx+a,i,输入a,i,i0？,i=n,-,1,i=i,-,1,结束,是,输出v,否,INPUT “n=”；n,INPUT “a,n,=”；a,INPUT “x=”；x,v=a,n,i=n-1,WHILE i,=0,INPUT“a,i,=”；b,v=v*x+b,i=i-1,WEND,PRINT y,END,13/18,理论迁移,例1 已知一个5次多项式为 用秦九韶算法求f(5)值.,f(x)=(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.,v,1,=55+2=27；,v,2,=275+3.5=138.5；,v,3,=138.55-2.6=689.9；,v,4,=689.95+1.7=3451.2；,v,5,=3451.25-0.8=17255.2.,所以f(5)=17255.2.,14/18,变式：例2 已知一个5次多项式为 用秦九韶算法求当x=5时，V,1,V,3,值及,求f(5)值做多少次乘法运算,.,解：f(x)=(5x+0)x+3.5)x+0)x+1.7)x-0.8.,v,1,=55+0=25；,v,2,=255+3.5=128.5；,v,3,=128.55+0=642.5；,v,4,=642.55+1.7=3214.2；,v,5,=3214.25-0.8=16070.8.,所以,v,1,=25，v,3,=642.5,，,f(5)=,16070.8,.,15/18,例3 阅读以下程序，说明它处理实际问题是什么？,INPUT“x=”；a,n=0,y=0,WHLE n,5,y=y+(n+1)*an,n=n+1,WEND,PRINT y,END,求多项式 在x=a时值.,16/18,小结作业,评价一个算法好坏一个主要标志是运算次数，假如一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内运算次数，那么这么算法就只能是一个理论算法.在多项式求值各种算法中，秦九韶算法是一个优异算法.,17/18,作业：,P45练习：,2.,P48习题1.3A组：,2.,18/18,