2025年《数学思想与方法》形成性考核册作业答案.doc

数學思想与措施》形成性考核册作业1答案
作业1
一、简答題
1、分别简朴叙說算术与代数的解題措施基本思想，并且比较 它們的区别。
答：算术解題措施的基本思想：首先要围绕所求的数量， 搜集和整顿多种已知的数据，并根据問題的条件列出有关這些具 体数据的算式，然後通過四则运算求得算式的成果。
代数解題措施的基本思想是：首先根据問題的条件构成内含 已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然後通過對 方程進行恒等变换求出未知数的值。
它們的区别在于算术解題参与的量必须是已知的量，而代数 解題容許未知的量参与运算；算术措施的关键之处是列算式，而 代数措施的关键之处是列方程。
2、比较决定性現象和随机性現象的特點，简朴叙說确定数 學的局限。
答：人們常常碰到两类截然不一样的現象，一类是决定性 現象，另一类是随机現象。决定性現象的特點是：在一定的条 件下，其成果可以唯一确定。因此决定性現象的条件和成果之 间存在著必然的联络，因此事先可以预知成果怎样。
随机現象的特點是：在一定的条件下，也許发生某种成果， 也也許不发生某种成果。對于此类現象，由于条件和成果之间不 存在必然性联络。
在数學學科中，人們常常把研究决定性現象数量规律的那些 数學分支称為确定数學。用這些的分支来定量地描述某些决定性 現象的运動和变化過程，從而确定成果。不過由于随机現象条件 和成果之间不存在必然性联络，因此不能用确定数學来加以定量 描述。同步确定数學也無法定量地揭示大量同类随机現象中所蕴 涵的规律性。這些是确定数學的局限所在。
二、论述題
1、论述社會科學数學化的重要原因。
答：從整個科學发展趋势来看，社會科學的数學化也是必 然的趋势，其重要原因可以归結為有下面四個方面：
第一，社會管理需要精确化的定量根据，這是促使社會科學 数學化的最主线的原因。
第二，社會科學的各分支逐渐走向成熟，社會科學理论体系 的发展也需要精确化。
第三，伴随数學的深入发展，它出現了某些适合研究社會 历史現象的新的数學分支。
第四，電子计算机的发展与应用，使非常复杂社會現象通過 量化後可以進行数值处理。
2、论述数學的三次危机對数學发展的作用。
答：第一次数學危机促使人們去认识和理解無理数，导致 了公理几何与逻辑的产生。
第二次数學危机促使人們去深入探讨实数理论，导致了分析 基础理论的完善和集合论的产生。
第三次数學危机促使人們研究和分析数學悖论，导致了数理 逻辑和一批現代数學的产生。
由此可見，数學危机的处理，往往給数學带来新的内容，新 的進展，甚至引起革命性的变革，這也反应出矛盾斗争是事物发 展的历史動力這一基本原理。整個数學的发展史就是矛盾斗争的 历史，斗争的成果就是数學领域的发展。三、分析題
1、 分析《几何原本》思想措施的特點，為何？
答：（1）封闭的演绎体系
由于在《几何原本》中，除了推导時所需要的逻辑规则外， 每個定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已經证明過 的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上
對概念下定义的规定，原则上不再依赖其他東西。因此《几何原 本》是一种封闭的演绎体系。
此外，《几何原本》的理论体系回避任何与社會生产現实生 活有关的应用問題，因此對于社會生活的各個领域来說，它也是 封闭的。因此，《几何原本》是一种封闭的演绎体系。
（2）抽象化的内容 ：《几何原本》中研究的對象都是抽象的概念和命題，它所探 讨的是這些概念和命題之间的逻辑关系，不讨论這些概念和命題 与社會生活之间的关系，也不考察這些数學模型所由之产生的現实原型。因此《几何原本》的内容是抽象的。
（3）公理化的措施：《几何原本》的第一篇中開頭5個公设和5個公理，是全書其 它命題证明的基本前提，接著給出23個定义，然後再逐渐引入 和证明定理。定理的引入是有序的，在一种定理的证明中，容許采用的论据只有公设和公理与前面已經证明過的定理。後来各篇 除了不再給出公设和公理外也都照此办理。這种处理知识体系与 表述措施就是公理化措施。
2、分析《九章算术》思想措施的特點，為何？
答：（1）開放的归纳体系：從《九章算术》的内容可以看出，它是以应用問題解法集成 的体例编纂而成的書，因此它是一种与社會实践紧密联络的開放 体系。
在《九章算术》中一般是先举出某些問題，從中归纳出某一 类問題的一般解法；再把各类算法综合起来，得到处理该领域中 多种問題的措施；最终，把处理各领域中問題的数學措施所有综 合起来，就得到整個《九章算术》。
此外该書還按处理問題的不一样数學措施進行归纳，從這些 措施中提炼出数學模型，最终再以数學模型立章写入《九章算 术》。 因此，《九章算术》是一种開放的归纳体系。
（2）算法化的内容 ：《九章算术》在每一章内先列举若干個实际問題，并對每 個問題都給出答案，然後再給出“术”，作為一类問題的共同解 法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想措施上的特點之 一。
（3）模型化的措施 ：《九章算术》各章都是先從對应的社會实践中选择具有典 型意义的現实原型，并把它們表述成問題，然後通過“术”使其转 化為数學模型。當然有的章采用的是由数學模型到原型的過 程，即先給出数學模型，然後再举出可以应用的原型。
《数學思想与措施》形成性考核册作业2答案
数學思想与措施作业2
一、简答題
1、论述抽象的含义及其過程。
答：抽象是指在认识事物的過程中，舍弃那些個别的、偶尔的非本质属性，抽取普遍的、必然的本质属性，形成科學概念，從而把握事物的本质和规律的思维過程。人們在思维中對對象的抽象是從對對象的比较和辨别開始的。所谓比较，就是在思维中确定對象之间的相似點和不一样點；而所谓辨别，则是把比较得到的相似點和不一样點在思维中固定下来，运用它們把對象分為不一样的类。然後再進行舍弃与收括，舍弃是指在思维中不考虑對象的某些性质，收括则是指把對象的我們所需要的性质固定下来，并用詞体現出来。這就形成了抽象的概念，同步也就形成了表达這個概念的詞，于是完毕了一种抽象過程。
2、论述概括的含义及其過程。
答：概括是指在认识事物属性的過程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联络起来，整顿推广到同类的全体事物，從而形成此类事物的普遍概念的思维過程。
概括一般可分為經验概括和理论概括两种。經验概括是從事实出发，以對個别事物所做的观测陈說為基础，上升為普遍的认识——由對個体特性的认识上升為對個体所属的种的特性的认识。理论概括则是指在經验概括的基础上，由對种的特性的认识上升為對种所属的属的特性的认识，從而到达對客观世界的规律的认识。在数學中常常使用的是理论概括。
一种概括過程包括比较、辨别、扩张和分析等几种重要环节。
3、简述公理措施历史发展的各個阶段
答：公理措施經历了详细的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三個阶段。第一种详细的公理体系就是欧几裏得的《几何原本》。非欧几何是抽象的公理体系的經典代表。希尔伯特的《几何基础》開创了形式化的公理体系的先河，現代数學的几乎所有理论都是用形式公理体系表述出来的，現代科學也尽量采用形式公理法作為研究和表述手段。
4、简述化归措施并举例阐明。
答：所谓“化归”，從字面上看，应可理解為转化和归結的意思。数學措施论中所论及的“化归措施”是指数學家們把待处理或未处理的問題，通過某种转化過程，归結到一类已經能处理或者比较轻易处理的問題中去，最终求获原問題之解答的一种手段和措施。例如：规定解四次方程 可以令 ，将原方程化為有关 的二次方程 這個方程我們會求其解： 和 ，從而得到两個二次方程： 和 這也是我們會求解的方程，解它們便得到原方程的解： ， ， ， .這裏所用的就是化归措施。
二、论述題
1、论述不完全归纳法的推理形式，并举一种应用不完全归纳法的例子。
答：不完全归纳法的一般推理形式是：
设S= ；
　　由于具有属性p，具有属性p，……具有属性p，因此推断S类事物中的每一种對象都也許具有属性p。
2、论述类比推理的形式。怎样提高类比的可靠性？
答：类比推理一般可用下列形式来表达：
　　　　　　　A具有性质
　　　　　　　B具有性质
　　　　　　　因此，B也也許具有性质。
其中，分别相似或相似。
欲提高类比的可靠性，应尽量满足条件：
(1)A与B共同(或相似)的属性尽量地多些；(2)這些共同(或相似)的属性应是类比對象A与B的重要属性；
(3)這些共同(或相似)的属性应包括类比對象的各個不一样方面，并且尽量是多方面的；
　　(4)可迁移的属性d应當是和属于同一类型。
符合上述条件的类比，其結论的可靠性虽然可以得到提高，但仍不能保证結论一定對的。
3、试比较归纳猜测与类比猜测的异同。
答：归纳猜测与类比猜测的共同點是：他們都是一种猜测，即一种推测性的判断，都是一种合情推理，其結论具有或然性，或者通過逻辑推理证明其為真，或者举出反例予以反驳。
归纳猜测与类比猜测的不一样點是：归纳猜测是运用归纳法得到的猜测，是一种由特殊到一般的推理形式，其思维环节為“特例—归纳—猜测”。类比猜测是运用类比法得到的猜测，是一种由特殊到特殊的推理形式，其思维环节為“联想—类比—猜测”。

《数學思想与措施》形成性考核册作业3答案
数學思想与措施作业3
一、简答題
1、简述计算和算法的含义。
答：计算是指根据已知数量通過数學措施求得未知数的過程，是一种最基本的数學思想措施。伴随電子计算机的广泛应用，计算的重要意义愈加凸現，重要表目前如下几种方面：(1)推進了数學的应用；(2)加紧了科學的数學化進程；(3)增進了数學自身的发展。
算法是由一组有限的规则所构成的一种過程。所谓一种算法它实质上是处理一类問題的一种处方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地進行操作，就能引导到問題的处理。在一种算法中，每一种环节必须规定得精确和明白，不會产生歧义，并且一种算法在按有限的环节处理問題後必须結束。
数學中的許多問題都可以归結為寻找算法或判断有無算法的問題，因此，算法對数學中的許多問題的处理有著决定性作用。此外，算法在平常生活、社會生产和科學技术中也有著重要意义。算法在科學技术中的意义重要体目前如下几种方面：(1)用于表述科學結论的一种形式；(2)作為表述一种复杂過程的措施；(3)減轻脑力劳動的一种手段；(4)作為研究和处理新問題的手段；(5)作為一种基本的数學工具。
2、简述数學教學中引起“分类讨论”的原因。
答：数學教學中引起“分类讨论”的原因有：数學中的許多概念的定义是分类給出的，因此波及到這些概念時要分类讨论；数學中有些运算性质、运算法则是分类給出的，進行此类运算時要分类讨论；有些几何問題，根据題设不能只用一种图形体現，必须全面考虑多种不一样的位置关系，需要分类讨论；許多数學問題中具有字母参数，伴随参数取值不一样，會使問題出現不一样的成果。因此需要對字母参数的取值状况進行分类讨论。
二、论述題
1、什么是数學模型措施？并用框图表达MM措施解題的基本环节。
答：所谓数學模型措施是运用数學模型处理問題的一般数學措施，简称MM措施。
MM措施解題的基本环节框图表达如下：
2、特殊化措施在数學教學中有哪些应用？
答：特殊化措施在数學教學中的应用大体有如下几种方面：运用特殊值(图形)解选择題；运用特殊化探求問題結论；运用特例检查一般成果；运用特殊化探索解題思绪。

《数學思想与措施》形成性考核册作业4答案
数學思想与措施作业4
一、简答題
1、简述《国家数學課程原则》的几种重要特點。
答：把“現实数學”作為数學課程的一项内容；把“数學化”作為数學課程的一种目的；把“再发明”作為数學教育的一条原则。把“已完毕的数學”當成是“未完毕的数學”来教，給學生提供“再发明”的机會；把“問題处理”作為数學教學的一种模式；把“数學思想措施”作為課程体系的一条主线。规定學生掌握基本的数學思想措施；把“数學活動”作為数學課程的一种方面。强调學生的数學活動，重视“向學生提供充足從事数學活動的机會”，协助他們“获得广泛的数學活動的經验”；把“合作交流”當作學生學习数學的一种方式。要让學生在处理問題的過程中“學會与他人合作”，并能“与他人交流思维的過程和成果”；把“現代信息技术”作為學生學习数學的一种工具。
2、简述数學思想措施教學的重要阶段。
答：数學思想措施教學重要有三個阶段：多次孕育、初步理解和简朴应用三個阶段。
二、论述題
1、试述小學数學加强数學思想措施教學的重要性。
答：数學思想措施是联络知识与能力的纽带，是数學科學的灵魂，它對发展學生的数學能力，提高學生的思维品质都具有拾分重要的作用。详细表目前：(1)掌握数學思想措施能更好地理解数學知识。(2)数學思想措施對数學問題的处理有著重要的作用。(3)加强数學思想措施的教學是以學生发展為本的必然规定。
2、简述数學思想措施教學应注意哪些事项？
答：数學思想措施教學应注意如下事项：(1)把数學思想措施的教學纳入教學目的；(2)重视数學知识发生、发展的過程，认真设计数學思想措施教學的目的；(3)做好数學思想措施教學的铺垫工作和巩固工作；(4)不一样数學思想措施应有不一样的教學规定；(5)注意不一样数學思想措施的综合应用。
三、分析題
1、运用下列材料，請你设计一种“数形結合”教學片断。
材料：如图13-3-18所示，相邻四點连成的小正方形面积為1平方厘米。(1)分别连接各點，构成下面12個图形，你发既有什么排列规律？(2)求出各图形外面一周的點子数、中间的點子数以及各图形的面积，找出一周的點子数、中间的點子数、各图形的面积三者之间的关系。
教學片断设计如下：
一、找图的排列规律
師：同學們看图，找出图的排列规律来。（學生可以讨论）
生：老師我們发現，第一行的图中间没有點，第二行的图中间有一种點，第三行的图中间有两個點。
師：非常好！
二、数一数每個图周围的點数
師：目前我們来数一数每個图周围的點数。并将成果填入下列表中。（師生一起数）
三、计算面积
師：数完边點数，我們再来计算每個图的面积。成果也填入表中。（師生一起计算面积，過程略）
图形
边上點数
内部點数
面　　积
⑴
4
0
1
(2)
6
0
2
(3)
8
0
3
(4)
14
0
6
(5)
4
1
2
(6)
6
1
3
(7)
8
1
4
(8)
14
1
7
(9)
4
2
3
(10)
6
2
4
(11)
8
2
5
(12)
14
2
8

四、寻找每一列三個数之间的规律
師：我們根据這個表，找一找每列三個数之间的关系。告诉同學們，但愿找到相似的规律。
生：第一列，边點数等于面积乘以4。
師：這個规律能否用到第二列呢？
生：不能，由于6不等于2乘以4。
生2：第一列，边點数除以2，減去面积等于1。
師：好！看看這個规律能否用到第二列？
生：能。還能用到第三、第四列。
生2：老師，這個规律不能用到第五列。
師：很好！我們看看這個规律到第五列可以怎样改一改。
生：我发現了，边點数除以2，加上内點数，再減去面积等于1。
師：非常好！大家一起算一算，是不是每一列都具有這個规律。
五、總結
師：我們把发現的规律總結成公式：
边點数/2＋内點数－面积＝1
也可以写為：
边點数/2＋内點数－1＝面积
2、假定學生已經有了除法商的不变性知识和經验，在學习分数的性质時，請你设计一种孕育“类比法”教學片断。
提醒：所设计的教學片断规定(1)以小组合作探究的形式，让學生举例阐明除法的被除数和除数与分数的分子和分母之间存在什么样的关系(相似关系)？商与分数又有什么关系(相似关系)？那么与被除数、除数同步扩大或缩小相似的倍数其商不变相似的結论又是什么呢？通過一系列层层递進式的問題情境，把學生的思维导向分数与商相似的特性上来，创设學生自主探究分数的性质的全過程；(2)教學设计要体現教師引导學生归纳概括“分数的性质”的過程，并重视學习措施指导，使學生初步领會用“类比法”获取新知识的方略。
教學片断设计如下：
一、回忆除法和分数的有关概念
師：同學們還记得除法的哪些概念和记号？
生：被除数÷除数＝商
師：對。我們再回忆分数的概念和记号。
師：好。大家一起来比较這两個概念的相似性。
生：商好比分数，被除数好比分子。除数好比分母。
二、回忆除法的性质
師：很好。目前我們回忆除法有哪些性质。
生：被除数与除数同步扩大，商不变。
生2：被除数与除数同步缩小，商也不变。
三、类比出分数的性质
師：對。刚刚我們懂得商好比分数，因此我們可以問：除法的這些性质与否可以类比到分数上来呀？
生：可以。
師：应當怎样类比呢？
生：分子与分母同步扩大，分数不变。
生2：分子与分母同步缩小，分数不变。
四、總結成公式
師：很好！這些性质怎样用公式表达呢？
生：可以列表如下：
除　　　法
分　　　数
除法的表达：A÷B
分数的表达：
性质(一)：若M≠0，则(A×M)÷(B×M)= A÷B
分数的性质(一)：若M≠0，则
性质(二)：若M≠0，则(A÷M)÷(B÷M)= A÷B
分数的性质(二)：若M≠0，则
性质(三)：A÷B÷C=A÷(B×C)
分数的性质(三)：
性质(四)：(A÷B)÷(C÷D)= (A×D)÷(B×C)
分数的性质(四)：