资源描述
,2.2,函数单调性与最值,1/62,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/62,基础知识自主学习,3/62,(1),单调函数定义,1.,函数单调性,知识梳理,增函数,减函数,定义,普通地，设函数f(x)定义域为I，假如对于定义域I内某个区间D上任意两个自变量值x1，x2,当,x,1,x,2,时，都有,，那么就说函数,f,(,x,),在区间,D,上是增函数,当,x,1,x,2,时，都有,，那么就说函数,f,(,x,),在区间,D,上是减函数,f,(,x,1,),f,(,x,2,),4/62,图象描述,自左向右看图象是,_,自左向右看图象是,_,上升,下降,(2),单调区间定义,假如函数,y,f,(,x,),在区间,D,上是,或,，那么就说函数,y,f,(,x,),在这一区间含有,(,严格,),单调性，,叫做,y,f,(,x,),单调区间,.,增函数,减函数,区间,D,5/62,2.,函数最值,前提,设函数yf(x)定义域为I，假如存在实数M满足,条件,(1)对于任意xI，都有,；,(2)存在x0I，使得_,(3)对于任意xI，都有 ；,(4)存在x0I，使得_,结论,M,为最大值,M,为最小值,f,(,x,),M,f,(,x,0,),M,f,(,x,),M,f,(,x,0,),M,6/62,函数单调性惯用结论,知识拓展,(3),在区间,D,上，两个增函数和仍是增函数，两个减函数和仍是减函数,.,(4),函数,f,(,g,(,x,),单调性与函数,y,f,(,u,),和,u,g,(,x,),单调性关系是,“,同增异减,”.,7/62,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),若定义在,R,上函数,f,(,x,),，有,f,(,1)0),单调增区间为,_.,答案,解析,函数对称轴为,x,1,，,又,x,0,，所以函数,f,(,x,),单调增区间为,(0,，,).,(0,，,),11/62,4.(,教材改编,),已知函数,f,(,x,),x,2,2,ax,3,在区间,1,2,上是增函数，则实数,a,取值范围为,_.,答案,解析,(,，,1,函数,f,(,x,),x,2,2,ax,3,图象开口向上，对称轴为直线,x,a,，,画出草图如图所表示,.,由图象可知函数,f,(,x,),单调递增区间是,a,，,),，,由,1,2,a,，,),，可得,a,1.,几何画板展示,12/62,5.(,教材改编,),已知函数,f,(,x,),，,x,2,6,，则,f,(,x,),最大值为,_,，最小值为,_.,答案,解析,2,13/62,题型分类深度剖析,14/62,题型一确定函数单调性,(,区间,),命题点,1,给出详细解析式函数单调性,答案,解析,例,1,(1),函数,单调递增区间是,A.(0,，,)B.(,，,0),C.(2,，,)D.(,，,2),因为,t,0,在定义域上是减函数，,所以求原函数单调递增区间，,即求函数,t,x,2,4,单调递减区间，,结合函数定义域，可知所求区间为,(,，,2).,15/62,(2),y,x,2,2|,x,|,3,单调,递,增区间为,_.,答案,解析,由题意知，当,x,0,时，,y,x,2,2,x,3,(,x,1),2,4,；,当,x,0),，用定义法判断函数,f,(,x,),在,(,1,1),上单调性,.,命题点,2,解析式含参数函数单调性,解答,设,1,x,1,x,2,1,，,1,x,1,x,2,0,，,f,(,x,1,),f,(,x,2,)0,，,函数,f,(,x,),在,(,1,1),上为减函数,.,几何画板展示,17/62,引申探究,怎样用导数法求解例,2?,解答,a,0,，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增,.,21/62,题型二函数最值,例,3,(1),函数,f,(,x,),最大值为,_.,答案,解析,当,x,1,时，函数,f,(,x,),为减函数，,所以,f,(,x,),在,x,1,处取得最大值，为,f,(1),1,；,当,x,0,恒成立，试求实数,a,取值范围,.,解答,24/62,(,),当,a,0,时，,f,(,x,),在,1,，,),内为增函数,.,最小值为,f,(1),a,3.,要使,f,(,x,)0,在,x,1,，,),上恒成立，只需,a,30,，,所以,30,，,a,3,，所以,01),最小值为,_.,答案,解析,8,28/62,令,f,(,x,),0,，得,x,4,或,x,2(,舍去,).,当,1,x,4,时，,f,(,x,)4,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,(4,，,),上是递增，,所以,f,(,x,),在,x,4,处取到极小值也是最小值，即,f,(,x,),min,f,(4),8.,29/62,题型三函数单调性应用,命题点,1,比较大小,例,4,已知函数,f,(,x,),图象向左平移,1,个单位后关于,y,轴对称，当,x,2,x,1,1,时，,f,(,x,2,),f,(,x,1,),(,x,2,x,1,),a,b,B.,c,b,a,C.,a,c,b,D.,b,a,c,答案,解析,依据已知可得函数,f,(,x,),图象关于直线,x,1,对称，,且在,(1,，,),上是减函数，,30/62,命题点,2,解函数不等式,例,5,(,珠海,月考,),定义在,R,上奇函数,y,f,(,x,),在,(0,，,),上递增，且,f,(),0,，则满足,x,集合为,_.,由,得,或,答案,解析,31/62,命题点,3,求参数,范围,例,6,(1),假如函数,f,(,x,),ax,2,2,x,3,在区间,(,，,4),上是单调递增，则实数,a,取值范围是,答案,解析,几何画板展示,32/62,当,a,0,时，,f,(,x,),2,x,3,，在定义域,R,上是单调递增，,故在,(,，,4),上单调递增；,当,a,0,时，二次函数,f,(,x,),对称轴为,x,，,因为,f,(,x,),在,(,，,4),上单调递增，,33/62,答案,解析,由已知条件得,f,(,x,),为增函数，,几何画板展示,34/62,思维升华,函数单调性应用问题常见类型及解题策略,(1),比较大小,.,比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性处理,.,(2),解不等式,.,在求解与抽象函数相关不等式时，往往是利用函数单调性将,“,f,”,符号脱掉，使其转化为详细不等式求解,.,此时应尤其注意函数定义域,.,(3),利用单调性求参数,.,视参数为已知数，依据函数图象或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较求参数；,需注意若函数在区间,a,，,b,上是单调，则该函数在此区间任意子集上也是单调；,分段函数单调性，除注意各段单调性外，还要注意衔接点取值,.,35/62,跟踪训练,3,(1)(,太原模拟,),已知函数,f,(,x,),x,(e,x,),，若,f,(,x,1,),x,2,B.,x,1,x,2,0,C.,x,1,0,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,0,，,),上为增函数，,由,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，得,f,(|,x,1,|),f,(|,x,2,|),，,|,x,1,|,x,2,|,，,36/62,(2)(,西安模拟,),要使函数,y,与,y,log,3,(,x,2),在,(3,，,),上含有相同单调性，则实数,k,取值范围是,_.,答案,解析,(,，,4),因为,y,log,3,(,x,2),定义域为,(2,，,),，且为增函数，,故函数,y,log,3,(,x,2),在,(3,，,),上是增函数,.,因,其在,(3,，,),上是增函数，故,4,k,0,，得,k,0,时，恒有,f,(,x,)1.,(1),求证：,f,(,x,),在,R,上是增函数；,(2),若,f,(3),4,，解不等式,f,(,a,2,a,5)2.,解抽象函数不等式,答题模板系列,1,(1),对于抽象函数单调性证实，只能用定义,.,应该结构出,f,(,x,2,),f,(,x,1,),并与,0,比较大小,.,(2),将函数不等式中抽象函数符号,“,f,”,利用单调性,“,去掉,”,是本题切入点,.,要结构出,f,(,M,),f,(,N,),形式,.,思维点拨,规范解答,答题模板,38/62,(1),证实,设,x,1,，,x,2,R,且,x,1,0,，,当,x,0,时，,f,(,x,)1,，,f,(,x,2,x,1,)1.,2,分,f,(,x,2,),f,(,x,2,x,1,),x,1,f,(,x,2,x,1,),f,(,x,1,),1,，,4,分,f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,x,1,),10,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，,f,(,x,),在,R,上为增函数,.,6,分,(2),解,m,，,n,R,，不妨设,m,n,1,，,f,(1,1),f,(1),f,(1),1,f,(2),2,f,(1),1,，,8,分,f,(3),4,f,(2,1),4,f,(2),f,(1),1,4,3,f,(1),2,4,，,39/62,f,(1),2,，,f,(,a,2,a,5)2,f,(1),，,10,分,f,(,x,),在,R,上为增函数，,a,2,a,51,3,a,2,，,即,a,(,3,2).,12,分,返回,40/62,解函数不等式问题普通步骤：,第一步：,(,定性,),确定函数,f,(,x,),在给定区间上单调性；,第二步：,(,转化,),将函数不等式转化为,f,(,M,),f,(,N,),形式；,第三步：,(,去,f,),利用函数单调性,“,去掉,”,函数抽象符号,“,f,”,，转化,成普通不等式或不等式组；,第四步：,(,求解,),解不等式或不等式组确定解集；,第五步：,(,反思,),反思回顾,.,查看关键点，易错点及解题规范,.,返回,41/62,课时作业,42/62,1.(,北京东城区模拟,),以下函数中，在区间,(1,，,),上是增函数是,A.,y,x,1B.,y,C.,y,(,x,1),2,D.,y,3,1,x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,A,中，函数在,(1,，,),上为减函数，,C,中，函数在,(1,，,),上为减函数，,D,中，函数在,(1,，,),上为减函数,.,43/62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.,函数,f,(,x,),|,x,2|,x,单调减区间是,A.,1,2,B.,1,0,C.(0,2 D.2,，,),答案,解析,当,x,2,时，,f,(,x,),为增函数，,当,x,0,且,a,1,0,，,即,a,1.,45/62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.,已知,f,(,x,),是,R,上单调递增函数，则实数,a,取值范围是,A.(1,，,)B.4,8),C.(4,8)D.(1,8),答案,解析,46/62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*5.,函数,f,(,x,),定义域为,D,，若对于任意,x,1,，,x,2,D,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，则称函数,f,(,x,),在,D,上为非减函数，设函数,f,(,x,),在,0,1,上为非减函数，且满足以下三个条件：,答案,解析,47/62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由,，令,x,0,，可得,f,(1),1.,48/62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.,定义新运算,：当,a,b,时，,a,b,a,；当,a,b,时，,a,b,b,2,，则函数,f,(,x,),(1,x,),x,(2,x,),，,x,2,2,最大值等于,A.,1 B.1 C.6 D.12,答案,解析,由已知得，当,2,x,1,时，,f,(,x,),x,2,，,当,1,f,(2,a,x,),在,a,，,a,1,上恒成立，则实数,a,取值范围是,_.,答案,解析,(,，,2),53/62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,二次函数,y,1,x,2,4,x,3,对称轴是,x,2,，,该函数在,(,，,0,上单调递减，,x,2,4,x,3,3,，一样可知函数,y,2,x,2,2,x,3,在,(0,，,),上单调递减，,x,2,2,x,3,f,(2,a,x,),得到,x,a,2,a,x,，,即,2,x,a,，,2,x,a,在,a,，,a,1,上恒成立，,2(,a,1),a,，,a,x,2,0,，,x,1,x,2,0,，,x,1,x,2,0,，,x,1,x,2,0,，,f,(,x,1,),f,(,x,2,)0,，即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，,f,(,x,),在,(0,，,),上是增函数,.,55/62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,56/62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.,函数,f,(,x,),4,x,2,4,ax,a,2,2,a,2,在区间,0,2,上有最小值,3,，求,a,值,.,解答,57/62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,f,(,x,),min,f,(0),a,2,2,a,2.,58/62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,f,(,x,),min,f,(2),a,2,10,a,18.,59/62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*13.,已知函数,f,(,x,),lg(,x,2),，其中,a,是大于,0,常数,.,(1),求函数,f,(,x,),定义域；,解答,当,a,1,时，,x,2,2,x,a,0,恒成立，,定义域为,(0,，,),；,当,a,1,时，定义域为,x,|,x,0,且,x,1,；,60/62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2),当,a,(1,4),时，求函数,f,(,x,),在,2,，,),上最小值；,解答,当,a,(1,4),，,x,2,，,),时，,61/62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(3),若对任意,x,2,，,),恒有,f,(,x,)0,，试确定,a,取值范围,.,解答,对任意,x,2,，,),恒有,f,(,x,)0,，,即,x,21,对,x,2,，,),恒成立,.,所以,a,3,x,x,2,，,令,h,(,x,),3,x,x,2,，,所以,h,(,x,),max,h,(2),2,，,所以,a,2.,62/62,
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