资源描述
,10.2,排列与组合,1/67,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/67,基础知识自主学习,3/67,1.,排列与组合概念,知识梳理,名称,定义,排列,从n个不一样元素中取出m(mn)个元素,按照,排成一列,组合,并成一组,一定次序,4/67,2.,排列数与组合数,(1),排列数定义：从,n,个不一样元素中取出,m,(,m,n,),个元素,个数，叫做从,n,个不一样元素中取出,m,个元素排列数，用,表示,.,(2),组合数定义：从,n,个不一样元素中取出,m,(,m,n,),个元素,个数，叫做从,n,个不一样元素中取出,m,个元素组合数，用,表示,.,全部排列,全部组合,5/67,3.,排列数、组合数公式及性质,公式,(1)A,_,性质,(1)0,！,；,_,n,(,n,1)(,n,2),(,n,m,1),1,n,！,_,6/67,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),全部元素完全相同两个排列为相同排列,.(,),(2),一个组合中取出元素考究元素先后次序,.(,),(3),两个组合相同充要条件是其中元素完全相同,.(,),(4)(,n,1),！,n,！,n,n,！,.(,),思索辨析,7/67,考点自测,由题,意,可知，五位数要为奇数，则个位数只能是,1,3,5,；分为两步：先从,1,3,5,三个数中选一个作为个位数有,种情况，再将剩下,4,个数字排列得到,种情况，则满足条件五位数有,(,个,).,1.(,四川改编,),用数字,1,2,3,4,5,组成没有重复数字五位数，其中奇数个数为,_.,答案,解析,72,8/67,“,插空法,”,，先排,3,个空位，形成,4,个空隙供,3,人选择就座，所以任何两人不相邻坐法种数为,4,3,2,24.,2.6,把椅子摆成一排，,3,人随机就座，任何两人不相邻坐法种数为,_.,答案,解析,24,9/67,3.(,苏州模拟,),安排,6,名歌手演出次序时，要求歌手乙、丙都排在歌手甲前面或者后面，则排法种数为,_.,答案,解析,先全排列有,，甲、乙、丙次序有,，乙、丙都排在歌手甲前面或者后面次序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，共,4,种次序，所以不一样排法种数为,.,480,10/67,4.,某班级要从,4,名男生、,2,名女生中选派,4,人参加某次小区服务，假如要求最少有,1,名女生，那么不一样选派方案有,_,种,.,答案,解析,14,不一样选派方案有,8,6,14(,种,).,11/67,5.(,教材改编,),用数字,1,2,3,4,5,组成无重复数字四位数，其中偶数个数为,_.,答案,解析,48,12/67,题型分类深度剖析,13/67,题型一排列问题,例,1,(1)3,名男生，,4,名女生，选其中,5,人排成一排，则有,_,种不一样排法,.,答案,解析,问题即为从,7,个元素中选出,5,个全排列，,2 520,14/67,(2),六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不一样排法共有,_,种,.,答案,解析,216,15/67,引申探究,1.,本例,(1),中，若将条件,“,选其中,5,人排成一排,”,改为,“,排成前后两排，前排,3,人，后排,4,人,”,，其它条件不变，则有多少种不一样排法？,解答,16/67,2.,本例,(1),中，若将条件,“,选其中,5,人排成一排,”,改为,“,全体站成一排，男、女各站在一起,”,，其它条件不变，则有多少种不一样排法？,相邻问题,(,捆绑法,),：男生必须站在一起，是男生全排列，有,种排法；女生必须站在一起，是女生全排列，有,种排法；,全体男生、女生各视为一个元素，有,种排法,.,依据分步计数原理，共有,(,种,),排法,.,解答,17/67,3.,本例,(1),中，若将条件,“,选其中,5,人排成一排,”,改为,“,全体站成一排，男生不能站在一起,”,，其它条件不变，则有多少种不一样排法？,不相邻问题,(,插空法,),：先安排女生共有,种排法，男生在,4,个女生隔成,5,个空中安排共有,种排法，故共有,(,种,),排法,.,解答,18/67,4.,本例,(1),中，若将条件,“,选其中,5,人排成一排,”,改为,“,全体站成一排，甲不站排头也不站排尾,”,，其它条件不变，则有多少种不一样排法？,先安排甲，从除去排头和排尾,5,个位置中安排甲，有,5(,种,),排法；再安排其它人，有,720(,种,),排法,.,所以共有,(,种,),排法,.,解答,19/67,排列应用问题分类与解法,(1),对于有限制条件排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时普通采取特殊元素优先标准，即先安排有限制条件元素或有限制条件位置，对于分类过多问题能够采取间接法,.,(2),对相邻问题采取捆绑法、不相邻问题采取插空法、定序问题采取倍缩法是处理有限制条件排列问题惯用方法,.,思维升华,20/67,跟踪训练,1,由,0,1,2,3,4,5,这六个数字组成无重复数字自然数,.,求：,(1),有多少个含,2,3,，但它们不相邻五位数？,解答,21/67,(2),有多少个含数字,1,2,3,，且必须按由大到小次序排列六位数？,解答,22/67,题型二组合问题,例,2,(1),若从,1,2,3,，,，,9,这,9,个整数中同时取,4,个不一样数，其和为偶数，则不一样取法种数是,_.,答案,解析,66,因为,1,2,3,，,，,9,中共有,4,个不一样偶数和,5,个不一样奇数，要使和为偶数，则,4,个数全为奇数或全为偶数或,2,个奇数和,2,个偶数，故有,(,种,),不一样取法,.,23/67,(2),要从,12,人中选出,5,人去参加一项活动，,A,，,B,，,C,三人必须入选，则有,_,种不一样选法,.,只需从,A,，,B,，,C,之外,9,人中选择,2,人，即有,36(,种,),不一样选法,.,36,答案,解析,24/67,引申探究,1.,本例,(2),中，若将条件,“,A,，,B,，,C,三人必须入选,”,改为,“,A,，,B,，,C,三人都不能入选,”,，其它条件不变，则不一样选法有多少种？,解答,25/67,2.,本例,(2),中，若将条件,“,A,，,B,，,C,三人必须入选,”,改为,“,A,，,B,，,C,三人只有一人入选,”,，其它条件不变，则不一样选法有多少种？,解答,26/67,3.,本例,(2),中，若将条件,“,A,，,B,，,C,三人必须入选,”,改为,“,A,，,B,，,C,三人最少一人入选,”,，其它条件不变，则不一样选法有多少种？,解答,27/67,组合问题常有以下两类题型改变,(1),“,含有,”,或,“,不含有,”,一些元素组合题型：,“,含,”,，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；,“,不含,”,，则先将这些元素剔除，再从剩下元素中去选取,.,(2),“,最少,”,或,“,至多,”,含有几个元素组合题型：解这类题必须十分重视,“,最少,”,与,“,至多,”,这两个关键词含义，谨防重复与漏解,.,用直接法和间接法都能够求解，通惯用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理,.,思维升华,28/67,跟踪训练,2,某市工商局对,35,种商品进行抽样检验，已知其中有,15,种假货,.,现从,35,种商品中选取,3,种,.,(1),其中某一个假货必须在内，不一样取法有多少种？,从余下,34,种商品中，选取,2,种有,561(,种,),，,某一个假货必须在内不一样取法有,561,种,.,解答,29/67,(2),其中某一个假货不能在内，不一样取法有多少种？,某一个假货不能在内不一样取法有,5 984,种,.,解答,30/67,(3),恰有,2,种假货在内，不一样取法有多少种？,解答,恰有,2,种假货在内不一样取法有,2 100,种,.,31/67,(4),最少有,2,种假货在内，不一样取法有多少种？,解答,最少有,2,种假货在内不一样取法有,2 555,种,.,32/67,(5),至多有,2,种假货在内，不一样取法有多少种？,解答,至多有,2,种假货在内不一样取法有,6 090,种,.,33/67,题型三排列与组合问题综合应用,命题点,1,相邻问题,例,3,(,扬州,月考,),把,5,件不一样产品摆成一排，若产品,A,与产品,B,相邻，且产品,A,与产品,C,不相邻，则不一样摆法种数为,_.,答案,解析,36,34/67,35/67,命题点,2,相间问题,例,4,某次联欢会要安排,3,个歌舞类节目，,2,个小品类节目和,1,个相声类节目标演出次序，则同类节目不相邻排法种数是,_.,答案,解析,120,36/67,先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空,.,安排小品节目和相声节目标次序有三种：,“,小品,1,，小品,2,，相声,”,，,“,小品,1,，相声，小品,2,”,和,“,相声，小品,1,，小品,2,”.,对于第一个情况，形式为,“,小品,1,歌舞,1,小品,2,相声,”,，有,(,种,),安排方法；同理，第三种情况也有,36,种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成,4,个空，其形式为,“,小品,1,相声,小品,2,”,，有,(,种,),安排方法,.,由分类计数原理知共有,36,36,48,120(,种,),安排方法,.,37/67,命题点,3,特殊元素,(,位置,),问题,例,5,(,常州检测,),从,1,2,3,4,5,这五个数字中任取,3,个组成无重复数字三位数，当三个数字中有,2,和,3,时，,2,需排在,3,前面,(,不一定相邻,),，这么三位数有,_,个,.,51,答案,解析,38/67,分三类：第一类，没有,2,3,，由其它三个数字组成三位数，有,6(,个,),；,第二类，只有,2,或,3,其中一个，需从,1,4,5,中选两个数字组成三位数，有,(,个,),；,第三类，,2,3,都有，再从,1,4,5,中选一个，因为,2,需排在,3,前面，所以可组成,(,个,).,由分类计数原理，知这么三位数共有,51,个,.,39/67,排列与组合综合问题常见类型及解题策略,(1),相邻问题捆绑法,.,在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们,“,内部,”,排列,.,(2),相间问题插空法,.,先把普通元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端空当中，它与捆绑法有同等作用,.,(3),特殊元素,(,位置,),优先安排法,.,优先考虑问题中特殊元素或位置，然后再排列其它普通元素或位置,.,(4),多元问题分类法,.,将符合条件排列分为几类，而每一类排列数较易求出，然后依据分类计数原理求出排列总数,.,思维升华,40/67,跟踪训练,3,(1),有,5,名优异毕业生到母校,3,个班去做学习经验交流，则每个班最少去一名不一样分配方法种数为,_.,150,答案,解析,41/67,(2),将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大,3,所大学，若每所大学最少保送,1,人，甲不能被保送到北大，则不一样保送方案共有,_,种,.,100,答案,解析,先将五人分成三组，因为要求每组最少一人，所以可选择只有,2,2,1,或者,3,1,1,，所以共有,(,种,),分组方法,.,因为甲不能被保送到北大，所以有甲那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下两组无限制，一共有,4,种方法，所以不一样保送方案共有,25,4,100(,种,).,42/67,现场纠错,纠错心得,(1),解排列、组合问题基本标准：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采取间接法，转化为求它对立事件,.,(2),解题时要细心、周全，做到不重不漏,.,错解展示,典例,有,20,个零件，其中,16,个一等品，,4,个二等品，若从,20,个零件中任意取,3,个，那么最少有,1,个一等品不一样取法有,_,种,.,排列、组合问题,现场纠错系列,12,43/67,答案,2 736,返回,44/67,解析,方法一将,“,最少有,1,个是一等品不一样取法,”,分三类：,“,恰有,1,个一等品,”,，,“,恰有,2,个一等品,”,，,“,恰有,3,个一等品,”,，由分类计数原理，知有,.,方法二考虑其对立事件,“,3,个都是二等品,”,，用间接法：,1 136(,种,).,答案,1 136,返回,45/67,课时作业,46/67,1.,两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位父亲，另外，两个小孩一定要排在一起，则这,6,人入园次序排法种数为,_.,答案,解析,24,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,47/67,2.(,镇江模拟,),某同学忘记了自己,QQ,号，但记得,QQ,号是由一个,1,，一个,2,，两个,5,和两个,8,组成六位数，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己,QQ,号最多尝试次数为,_.,答案,解析,依据题意，其,QQ,号共由,6,个数字组成，将这,6,个数字全排列，有,种情况，而这,6,个数字中有两个,5,和两个,8,，则共能够组成,180(,个,),六位数，那么他找到自己,QQ,号最多尝试,180,次,.,180,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,48/67,3.,在航天员进行一项太空试验中，要先后实施,6,个程序，其中程序,A,只能出现在第一或最终一步，程序,B,和,C,在实施时必须相邻，问试验次序编排方法共有,_,种,.,答案,解析,96,由分步计数原理，知试验编排共有,2,48,96(,种,),方法,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,49/67,4.,将,A,，,B,，,C,，,D,，,E,排成一列，要求,A,，,B,，,C,在排列中次序为,“,A,，,B,，,C,”,或,“,C,，,B,，,A,”,(,能够不相邻,),，这么排列数有,_,种,.,答案,解析,40,因为要求,A,，,B,，,C,次序一定,(,按,A,，,B,，,C,或,C,，,B,，,A,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,50/67,5.(,南京,质检,),某校高二年级共有,6,个班级，现从外地转入,4,名学生，要安排到该年级两个班级且每班安排,2,名，则不一样安排方案种数为,_.,90,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,51/67,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,52/67,6.(,南京师大附中模拟,),用,1,2,3,4,这四个数字组成无重复数字四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间四位数个数为,_.,答案,解析,首先排两个奇数,1,3,，有,种排法，再在,2,4,中取一个数放在,1,3,排列之间，有,种方法，然后把这,3,个数作为一个整体与剩下另一个偶数全排列，有,种排法，即满足条件四位数个数为,.,8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,53/67,7.,现有,5,名教师要带,3,个兴趣小组外出学习考查，要求每个兴趣小组带队教师至多,2,人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不一样带队方案有,_,种,.(,用数字作答,),答案,解析,54,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,54/67,第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外,3,人分成两组，再分配到,3,个小组中，有,18(,种,),；第二类，先把另外,3,人分配到,3,个小组，再把甲、乙分配到其中,2,个小组，有,36(,种,).,依据分类计数原理可得，共有,36,18,54(,种,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,55/67,8.,在,8,张奖券中有一、二、三等奖各,1,张，其余,5,张无奖,.,将这,8,张奖券分配给,4,个人，每人,2,张，不一样获奖情况有,_,种,.(,用数字作答,),答案,解析,分两类：第一类：,3,张中奖奖券分给,3,个人，共,种分法；,第二类：,3,张中奖奖券分给,2,个人相当于把,3,张中奖奖券分两组再分给,4,人中,2,人，共有,种分法,.,总获奖情况共有,60(,种,).,60,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,56/67,答案,解析,9.,把,5,件不一样产品摆成一排，若产品,A,与产品,B,相邻，产品,A,与产品,C,不相邻，则不一样摆法有,_,种,.,先考虑产品,A,与,B,相邻，把,A,，,B,作为一个元素有,种摆法，而,A,，,B,可交换位置，所以有,48(,种,),摆法，又当,A,，,B,相邻且又满足,A,，,C,相邻，有,12(,种,),摆法，,故满足条件摆法有,48,12,36(,种,).,36,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,57/67,10.,若把英语单词,“,good,”,字母次序写错了，则可能出现错误方法共有,_,种,.,答案,解析,把,g,、,o,、,o,、,d 4,个字母排一列，可分两步进行，第一步：排,g,和,d,，共有,种排法；第二步：排两个,o,，共一个排法，所以总排法种数为,12.,其中正确有一个，所以错误共有,1,12,1,11(,种,).,11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,58/67,11.,将,A,，,B,，,C,，,D,，,E,，,F,六个字母排成一排，且,A,，,B,均在,C,同侧，则不一样排法共有,_,种,.(,用数字作答,),从左往右看，若,C,排在第,1,位，共有,120(,种,),排法；,若,C,排在第,2,位，,A,和,B,有,C,右边,4,个位置能够选，共有,72(,种,),排法；,若,C,排在第,3,位，则,A,，,B,可排,C,左侧或右侧，共有,48(,种,),排法；,若,C,排在第,4,5,6,位时，其排法数与排在第,3,2,1,位相同，故共有,2,(120,72,48),480(,种,),排法,.,480,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,59/67,12.,年某通讯企业推出一组手机卡号码，卡号前七位数字固定，后四位数从,“,0000,”,到,“,9999,”,共,10 000,个号码中选择,.,企业要求：凡卡号后四位恰带有两个数字,“,6,”,或恰带有两个数字,“,8,”,一律作为,“,金猴卡,”,，享受一定优惠政策,.,如后四位数为,“,2663,”,，,“,8685,”,为,“,金猴卡,”,，求这组号码中,“,金猴卡,”,张数,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,60/67,当后四位数恰有,2,个,6,时，,“,金猴卡,”,共有,9,9,486(,张,),；,当后四位数恰有,2,个,8,时，,“,金猴卡,”,也共有,9,9,486(,张,).,但这两种情况都包含了后四位数是由,2,个,6,和,2,个,8,组成这种情况，所以要减掉,6,，即,“,金猴卡,”,共有,486,2,6,966(,张,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,61/67,13.,有,9,名学生，其中,2,名会下象棋但不会下围棋，,3,名会下围棋但不会下象棋，,4,名既会下围棋又会下象棋,.,现在要从这,9,名学生中选出,2,名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不一样选派方法？,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,62/67,设,2,名会下象棋但不会下围棋同学组成集合,A,，,3,名会下围棋但不会下象棋同学组成集合,B,4,名既会下围棋又会下象棋同学组成集合,C,，则选派,2,名参赛同学方法能够分为以下,4,类：,第一类：,A,中选,1,人参加象棋比赛，,B,中选,1,人参加围棋比赛，方法数为,(,种,),；,第二类：,C,中选,1,人参加象棋比赛，,B,中选,1,人参加围棋比赛，方法数为,(,种,),；,第三类：,C,中选,1,人参加围棋比赛，,A,中选,1,人参加象棋比赛，方法数为,(,种,),；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,63/67,第四类：,C,中选,2,人分别参加两项比赛，方法数为,12(,种,).,由分类计数原理，知不一样选派方法共有,6,12,8,12,38(,种,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,64/67,*14.,设三位数,n,，若以,a,，,b,，,c,为三条边长能够组成一个等腰,(,含等边,),三角形，则这么三位数,n,有多少个？,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,65/67,a,，,b,，,c,要能组成三角形边长，显然均不为,0,，即,a,，,b,，,c,1,2,3,，,，,9.,若组成等边三角形，设这么三位数个数为,n,1,，因为三位数中三个数字都相同，所以,n,1,9,；,若组成等腰,(,非等边,),三角形，设这么三位数个数为,n,2,，因为三位数中只有,2,个不一样数字，设为,a,，,b,，注意到三角形腰与底能够交换，所以可取数组,(,a,，,b,),共有,组，但当大数为底时，设,a,b,，必须满足,b,a,2,b,，此时，不能组成三角形数字是,a,9,8,7,6,5,4,3,2,1,b,4,3,2,1,4,3,2,1,3,2,1,3,2,1,1,2,1,2,1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,66/67,综上，,n,n,1,n,2,165.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,67/67,
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