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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第2章 单自由度系统振动,自由振动-由初位移、初速度引发,在振动中无动荷载作用振动。,分析自由振动目标-确定体系动力特征：频率、周期。,一.运动方程及其解,二阶线性齐次常微分方程,2.1,单自由度系统自由振动,第1页,其通解为,由初始条件,可得,令,其中,第2页,二.振动分析,单自由度体系不计阻尼时自由振动是简谐振动.,自振周期,自振圆频率(自振频率),与外界无关,体系本身固有特征,A,振幅,初相位角,固有频率(HZ),其通解为,由初始条件,可得,令,其中,第3页,假设 分析位移、速度和加速度之间关系,1.速度相位比位移超前 ，加速度相位比速度超前,2.,3.加速度大小与位移成正比，但方向总是与位移相反，即一直指向平衡位置,第4页,2.2,固有圆频率和周期计算,1.计算方法,(1)利用计算公式,(2)利用机械能守恒,第5页,(3)利用振动规律,位移与惯性力同频同时.,1,m,EI,l,幅值方程,第6页,例一.求图示体系自振频率和周期.,m,EI,l,EI,l,=1,=1,l,l/,2,l,解:,2.2,固有圆频率和周期计算,第7页,例二.质点重,W,求体系频率和周期.,解:,EI,k,l,1,k,第8页,并联时弹簧等效刚度,在实际工程系统中，经常会有多个弹性元件以各种形式组合在一起情况，其中最经典是并联和串联两种形式，分别如图,（a）,和,（b）,所表示。,弹性元件组合,所以等效弹簧刚度为,2.2,固有圆频率和周期计算,第9页,串,联时弹簧等效刚度,在图,（b）,所表示串联情况下，能够得到以下关系,将,x,0,消掉，可得,假如有,n,个弹簧串联时，能够证实有以下结论,2.2,固有圆频率和周期计算,第10页,例,三,如图,所表示,，一个半径为,R,半圆形薄壳，在粗糙表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下运动微分方程，并证实此壳体运动为简谐振动，计算振子固有频率。,2.2,固有圆频率和周期计算,第11页,（,a,）,分析:本例运动方程建立过程要比弹簧质量系统复杂一些，利用理论力学中平面运动理论，可建立系统运动方程。,设壳体倾斜角为,（如图,2-6,），设,c,为壳体与粗糙表面接触点，在无滑动情况下，壳体瞬时在绕c 点作转动。对,c,点取矩，可得系统运动微分方程。,解：,2.2,固有圆频率和周期计算,第12页,（,b,）,其中，,I,C,为绕点,C,转动惯量，,M,C,为重力作用下恢复力矩。为方便起见，设壳体长度为单位长度，由图,2-6,，对于给定,，对,C,点恢复力矩,M,C,有以下形式：,（,a,）,2.2,固有圆频率和周期计算,第13页,（,b,）,（,c,）,壳体对,C,点转动惯量为,:,其中,，,dw,是给定角,位置微元体重量，,是壳体单位面积质量。,2.2,固有圆频率和周期计算,第14页,当壳体作,小幅振动,时，即,很小时，引入近似表示式,sin,，,cos,1,，并将（,b,）、（,c,）两式代入（,a,）中，得到:,（,d,）,（,e,）,（,f,）,整理可得,:,（,e,）式表明，当,很小时，系统运动确实象,简谐振子,，其,自然频率,为:,（,a,）,2.2,固有圆频率和周期计算,第15页,例四.求图示体系自振频率和周期.,解:,m,l,m,m,l,l,l,k,k,1.能量法,2.列幅值方程,A,第16页,阻尼元件,通常称为,阻尼器,，普通也假设为无质量。,常见阻尼模型三种形式:,由物体在粘性流体中运动时受到阻力所致粘滞阻尼。,由相邻构件间发生相对运动所致干摩擦（库仑）阻尼。,由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引发内摩擦所致滞后阻尼。,粘滞阻尼是一个最常见阻尼模型。,2.1,单自由度系统自由振动,2.3,有阻尼单,自由度体系自由振动,第17页,在本书中，如无尤其说明，所说阻尼均指,粘滞阻尼,，其阻尼力,F,d,与阻尼器两端相对速度成正比，百分比系数,c,称为,粘性阻尼系数,，它单位为牛顿-秒/米（,N-s/m,），,阻尼器,通惯用,c,表示。,2.1 单自由度系统自由振动,2.3,有阻尼单,自由度体系自由振动,第18页,2.3,有阻尼单,自由度体系自由振动,1.6,自由振动方程通解,上式可改为,式中,阻尼比,固有频率,阻尼力：,在振动分析当中用于代替阻尼作用妨碍振动力。,粘滞阻尼理论假定阻尼力大小与速度成正比，,方向与速度相反。,第19页,由此可得特征方程：,s,2,+,2,n,s,+n,2,=,0。,依据判别式有三种可能情况,：,由常系数常微分方程理论可设,1),1，特征方程有两个实根，称作过阻尼情况。这时体系不发生振荡，从工程角度没有意义。,2),=1，特征方程有两个实重根，称作临界阻尼情况。这时体系也不发生振荡，这时阻尼系数为,，,称作临界,阻尼系数。,2.3 有阻尼单自由度体系自由振动,第20页,式中,由此可得,3),1，特征方程有一对共轭复根，称作欠阻尼情况。此时,积分常数,C,1、,C,2,由初始位移、速度确定，可得,有阻尼频率,2.3有阻尼单自由度体系自由振动,第21页,不一样阻尼比下响应,SDT1_1(z,w,x0,v0,tf)也输出单自由度系统有阻尼自由振动自由响应曲线（二者输入参数不一样）；z,w 是系统阻尼比和固有频率（rad/s）；x0 和 v0 初始条件，tf是响应时间；应用举例2：z=0.02,w=2,x0=1,v0=0,tf=100,第22页,第23页,可见有阻尼自由振动解答是,按指数规律衰减简谐运动。,衰减速度随,、,n,增大而加紧。,假如记振幅为,A,，初相位为,，也即,则运动方程解答也可写为,1.6,有阻尼单,自由度体系自由振动,第24页,2.3 有阻尼单自由度体系自由振动,2.振动分析,周期延长,计算频率和周期可不计阻尼,振动是衰减,对数衰减率,利用此式,经过试验可确定,体系阻尼比.上式也可写成,第25页,例五 对图示体系作自由振动试验.用钢,丝绳将上端拉离平衡位置2,cm,用,力16.4,kN,将绳突然切断,开始作,自由振动.经4周期,用时2秒,振幅,降为1,cm,.求,1.阻尼比,2.刚度系数,3.无阻尼周期,4.重量,5.阻尼系数,6.若质量增加800kg体系,周期和阻尼比为多少,2cm,解:,1.阻尼比,2.刚度系数,第26页,5.阻尼系数,6.若质量增加800kg,体系周期和阻尼比,为多少,3.无阻尼周期,4.重量,第27页,结构阻尼比一个确定方法,设由拉一初位移后突然释放，或给结构一个突然冲击（如放一小火箭），由试验取得了阻尼振动统计,由此可量测得,t,时刻和,n,周后振幅（普通测峰值位移，记,T,为有阻尼周期）分别为,u,t,和,u,t+nT,。记,u,t,/,u,t+nT,自然对数为,（,称为对数衰减率），由阻尼振动解答可得,因为,1，由此可得,普通钢混结构,0.05，钢结构,(0.020.03)。,2.3,有阻尼单,自由度体系自由振动,第28页,无阻尼自由振动深入说明,结构固有频率,n,和阻尼频率,d,严格说不相等，阻尼使,d,降低，从而使周期,T,d,增加。,因为结构阻尼很小，所以可近似认为阻尼频率、周期与无阻尼相等。,结构固有频率有以下各种等价计算公式,改变系统质量或刚度可改变固有频率。不论详细结构怎样，在一样干扰下相同频率结构反应相同。,2.3,有阻尼单,自由度体系自由振动,第29页,作业:,92页 2-3.2-6 2-10 2-22,第30页,
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