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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,3,讲平面向量数量积,1/29,考纲要求,考点分布,考情风向标,1.了解平面向量数量积含义及其物理意义.,2.了解平面向量数量积与向量投影关系.,3.掌握数量积坐标表示式，会进行平面向量数量积运算.,4.能利用数量积表示两个向量夹角，会用数量积判断两个平面向量垂直关系,新课标第13题考查平面向量垂直运算、单位向量；,新课标第15题考查平面向量数量积及其运算法则；,新课标第13题考查平面向量数量积等运算；,新课标第6题考查平面向量运算；,新课标第2题考查平面向量运算；,新课标第13题考查平面向量垂直；,新课标第4题考查平面向量模计算，新课标第13题考查平面向量垂直,从近几年高考试题来看，平面向量数量积运算、平面向量垂直等问题是高考热点，现有选择题、填空题，又有解答题，属中低级题目，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想.预计高考仍将以平面向量数量积运算、平面向量垂直为主要考点，以与三角函数、解析几何等知识交汇命题为考向,2/29,1.,两个向量数量积定义,已知两个非零向量,a,与,b,，它们夹角为,，则数量,|,a,|,b,|cos,叫做,a,与,b,数量积,(,或内积,),，记作,a,b,，即,a,b,|,a,|,b,|cos,.,规,定零向量与任一向量数量积为,0,，即,0,a,0.,2.,平面向量数量积几何意义,数量积,a,b,等于,a,长度,|,a,|,与,b,在,a,方向上投影,|,b,|cos,乘积,.,3/29,3.,平面向量数量积性质,设,a,，,b,都是非零向量，,e,是单位向量，,为,a,与,b,(,或,e,),夹角，则：,(1),e,a,a,e,|,a,|cos,.,(2),a,b,a,b,0.,(3),当,a,与,b,同向时，,a,b,|,a,|,b,|,；,当,a,与,b,_,向时，,a,b,|,a,|,b,|.,(5)|,a,b,|_|,a,|,b,|.,反,4/29,4.,平面向量数量积坐标运算,设向量,a,(,x,1,，,y,1,),，,b,(,x,2,，,y,2,),，向量,a,与,b,夹角为,，则,(1),a,b,x,1,x,2,y,1,y,2,.,5/29,1.(,年新课标,),已知向量,a,(,2,3,),，,b,(3,，,m,),，且,a,b,，则,m,_.,2,解析：,a,b,23,3,m,0,，,m,2.,6/29,2.(,年纲领,),已知向量,m,(,1,1),，,n,(,2,2),，若,(,m,n,)(,m,n,),，则,(,),B,A.,4,C.,2,B.,3,D.,1,解析：,因为,m,n,(2,3,3),，,m,n,(,1,，,1),，由,(,m,n,)(,m,n,),，可得,(,m,n,)(,m,n,),(2,3,3)(,1,，,1),2,6,0.,解得,3.,7/29,3.,已知向量,a,(,x,，,y,),，,b,(,1,2),，且,a,b,(1,3),，则,|,a,|,(,),C,A,4.(,年福建,),设,a,(1,2),，,b,(1,1),，,c,a,k,b,.,若,b,c,，,则实数,k,值等于,(,),8/29,考点,1,平面向量数量积,例,1,：,(1),(,年纲领,),已知,a,，,b,为单位向量，其夹角为,60,，,则,(2,a,b,),b,(,),A.,1,B.0,C.1,D.2,解析：,(2,a,b,),b,2,a,b,b,2,2,|,a,|,|,b,|cos,a,，,b,|,b,|,2,211cos 6010.故选 B.,答案：,B,9/29,(2)如图 4-3-1，已知正六边形,P,1,P,2,P,3,P,4,P,5,P,6,，以下向量数,量积中最大是,(,),图,4-3-1,10/29,答案：,A,11/29,(3)(,年广东广州一模,),已知向量,a,(,1,，,2),，,b,(,x,，,-,1),，,若,a,(,a,b,),，则,ab,_.,12/29,考点,2,平面向量夹角与垂直,例,2,：,(1),(,年新课标,),已知向量,a,(,1,2,),，,b,(,m,1).,若向量,a,b,与,a,垂直，则,m,_.,解析：,a,b,(,m,1,3),，,因为,(,a,b,),a,0,，所以,(,m,1),23,0.,解得,m,7.,答案：,7,(,2)(,年新课标,),设向量,a,(,x,，,x,1,),，,b,(1,2),，且,a,b,，则,x,_.,13/29,则,ABC,(,),A.30,B.45,C.60,D.120,答案：,A,14/29,15/29,【,互动探究,】,C,16/29,考点,3,平面向量模及应用,例,3,：,(1),(,年新课标,),已知向量,a,，,b,夹角为 60，,|,a,|2，|,b,|1，则|,a,2,b,|_.,解析：,方法一，,|,a,2,b,|,2,|,a,|,2,4,a,b,4|,b,|,2,4,4,2,1,方法二，利用如图 D2,8,，能够判断出,a,2,b,模长是以 2 为边长菱形对角线,图,D2,8,17/29,(2)(,年浙江,),已知向量,a,，,b,满足,|,a,|,1,，,|,b,|,2,，则,|,a,b,|,|,a,b,|,最小值是,_,，最大值是,_.,18/29,(3)(,年新课标,),已知,a,与,b,均为单位向量，其夹角为,，,有以下四个命,题：,其中真命题是,(,),A.,p,1,，,p,4,B.,p,1,，,p,3,C.,p,2,，,p,3,D.,p,2,，,p,4,19/29,答案：,A,20/29,21/29,答案：,D,22/29,【,规律方法,】,(1),求向量模方法：,公式法，利用,|,a,|,把向量模运算转化为数量积,运算；,几何法，利用向,量几何意义，即利用向量加减法,平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方,法求解,.,(2),求向量模最值,(,范围,),方法：,代数法，把所求,模,表示成某个变量函数，再用求最值方法求解；,几何法,(,数,形结正当,),，搞清所求模表示几何意义，结合动点表示图,形求解,.,23/29,考点,4,平面向量投影,24/29,答案：,A,25/29,(2),已知向量,a,(1,，,2),，,|b|,(,a,b,),(,a,2,b,),1,，则向量,a,在向量,b,上投影为,(,),答案：,D,26/29,易错、易混、易漏,向量中错误使用充要条件造成问题解答不全,例题：,已知向量,a,(,m,2,，,m,3),，,b,(2,m,1,，,m,2).,(1),若向量,a,与,b,夹角为直角，求实数,m,值；,(2),若向量,a,与,b,夹角为钝角，求实数,m,取值范围,.,正解：,(1),若,a,与,b,夹角为直角，则,a,b,0.,即,(,m,2)(2,m,1),(,m,3)(,m,2),0.,27/29,(2),若向量,a,与,b,夹角为钝角，,则,a,b,0,，且,a,与,b,不共线,.,(,m,2)(2,m,1),(,m,3)(,m,2)0,，,且,(,m,2)(,m,2),(,m,3)(2,m,1)0.,28/29,【,失误与防范,】,两个向量,a,b,0,等价于,a,b,|,a,|,b,|,0,，相当于夹,角余弦值小于零，我们知道,cos,10,，所以,a,b,0,中,包含了两个向量同向共线和夹角为锐角两种情况,.,这两点在解题,中要尤其注意,.,29/29,
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