泊松方程和拉普拉斯方程.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 静 电 场,静电场计算中两类问题,已知场空间分布，求源电荷分布,利用高斯定理微分形式,已知源电荷分布，求空间场分布,电荷分布在有限区域内，场区域为无限大，,且其中介质是均匀线性和各向同性。,应用场强叠加原理,场区域有限,区域边界上场量要受到某种边界条件限制,边值问题,利用高斯定理积分形式,（当电场分布含有某种空间对称性）,直接法,间接法,1/32,2.5 泊松方程和拉普拉斯方程,微分形式,：,积分形式:,2.5.1 静电场基本方程,本构关系:,线形、各向同性媒质,静电场:无旋有散场,2/32,2.5.2 泊松方程和拉普拉斯方程,电位 满足泊松方程,当 场中无电荷分布,(即 )区域:,拉普拉斯方程,拉普拉斯算子,3/32,拉普拉斯算子在不一样坐标系中计算公式,直角坐标系中:,圆柱坐标系中:,球坐标系中:,4/32,四.一维泊松方程求解,P.66 例2-9,例2-10,5/32,例 1,设有一个半径为,a,球体,其中均匀充满体电荷密度为,v,(C/m3)电荷,球内外介电常数均为,0,试用电位微分方程,求解球内、外电位和电场强度。,解：,设球内、外电位分别为,1,和,2,1,满足泊松方程,2,满足拉普拉斯方程,因为电荷均匀分布,场球对称,所以,1,、,2,均是球坐标,r,函数。;,6/32,(1)分别列出球内、外电位方程:,当,r,a,时,当,r,a,时,将上述两个方程分别积分两次可得,1,、,2,通解:,7/32,(2)依据边界条件,求出积分常数,A、B、C、D,:,边界条件是:;,r,=,a,1,=,2,;,r,=,a,r,2,=0(以无限远处为参考点);,r,=0,(因为电荷分布球对称,球心处场强,E,1,=0,即,E,r,=0)。,由上述条件,确定通解中常数:,8/32,例 2,如图所表示三个区域,它们介电常数均为,0,区域2中厚度为,d,(m),其中充满体电荷密度为,v,(C/m,3,)均匀体电荷,分界面为无限大。试分别求解、区域位函数与电场强度。,平板形体电荷几何关系,9/32,解,设、区域电位函数分别为,1,(,y,)、,2,(,y,)、,3,(,y,)。,(1)分别列出三个区域电位方程。在、两个区域内电位满足拉普拉斯方程,而第区域电位满足泊松方程:,10/32,将上面三个方程分别分两次可得,由场分布y=0平面对称性，可知,3,(,y,)=,1,(-,y,)，所以我们只需求解,1,和,2,，也就是只要依据边界条件确定常数,C,1,、,C,2,、,C,3,、,C,4,。,11/32,(2)由边界条件确定常数:边界条件为:,时,1,=,2,;,(交界面上无自由面电荷);,y,=0,2,=0 因体电荷板无限大,不能选择无限远处为参考点,这里选择,y,=0处为参考点。,12/32,由场分布对称性,2,(,y,)=,2,(-,y,);,由条件、可得:,由条件可得,13/32,依据公式,可求得三个区域电场分布:,14/32,场量在不一样媒质分界面上各自满足关系,将场量在分界面上分解成:,法向,normal分量 (以下标,n,表示)-垂直于分界面,切向,tangency分量(以下标,t,表示)-平行于分界面,由静电场基本方程积分形式:,2.6 分界面上边界条件,两种不一样媒质分界面边界条件,15/32,两种不一样媒质分界面边界条件,法向边界条件,切向边界条件,16/32,法向边界条件,一.,D,满足边界条件,17/32,若界面上无自由电荷分布，即在,S,=0时:,或,或,结论:若两种媒质交界面上有自由电荷,则D法向分量不连续,高斯通量定理,18/32,(1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体;,静电场中导体内部电场为零,故,两种特殊情况,(2)两种介质都是电介质,且分界面上没有自由电荷,即,s,=0,则,即,结论:当,1,2时,E,法向分量不连续,其原因是交界面上有束缚面电荷密度,19/32,结论：在介质交界面上,电场强度切向分量一直连续,或,静电场无旋性:,二.,E,满足边界条件,20/32,三.电位,满足边界条件,(1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体;,(2)两种介质都是电介质,且分界面上没有自由电荷,即,s,=0,则,21/32,电场方向在 交界面上波折,两式相除:,改写:,四,、,介质分界面上电场方向关系,边界条件,:,当两种介质分界面上没有自由电荷,即,s,=0,则,-静电场折射定理,22/32,边界条件,组成,边值问题必不可少条件;,判断,不一样媒质界面两侧场量大小,、,方向及连续,、,突变;,23/32,例 1,同心球电容器内导体半径为a，外导体内半径为,b,，其间填充两种介质，上半部分介电常数为,1,，下半部分介电常数为,2,，如图 所表示。设内、外导体带电分别为,q,和-,q,，求内外导体之间空间电位移矢量和电场强度。,Er1,Er2,Er2,Er1,24/32,解：,在半径为r球面上作电位移矢量面积分，有,25/32,例 3.11,如图所表示,两个无限长同轴圆柱,内、外导体半径分别为,a,和,b,两导体间部分填充介电常数为电介质,内外导体间电压为,U,0,。图(,a,)中电介质与空气分界面半径为c;图(,b,)中0,1,间部分填充电介质。试对该二同轴线分别求出:,(1)内、外导体间电场强度,E,及电通量密度,D,;,(2)导体表面上单位长度带电量,l,。,26/32,解,因为同轴圆柱是轴对称结构,故只有沿半径,方向电场。图(a)结构中,电场垂直于介质与空气交界面,依据两介质交界面上法向分量电通量密度相等边界条件,可知道不一样介质内D表示式相同。而在图(,b,)结构中,电场平行于介质与空气交界面,由交界面上电场强度切向分量连续边界条件,得知不一样介质内E表示式相同。,(1)图(,a,)结构:当,=,c,时,令内、外导体表面上单位长度电量分别为+,l,、-,l,(C/m),依据高斯定理可得,27/32,a,c,时,c,b时,28/32,所以,内导体带电量为+,l,，外导体带电量为-,l,29/32,(2)图(,b,)结构:当,=0时,当0,1,当,1,360,。,时,30/32,所以,因而得,31/32,作业：,2-8,2-17,32/32,