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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二节,参 数 方 程,1/85,2/85,【,教材基础回顾,】,1.,曲线参数方程,在平面直角坐标系中,假如曲线上任意一点坐标,x,y,都是某个变数,t,函数,_,而且对于,t,每一个,3/85,允许值,由这个方程组所确定点,M(x,y),都在这条曲线,上,那么,这个方程组就叫做这条曲线参数方程,联络,变数,x,y,变数,t,叫做,_,简称,_.,相对于参数方程而言,直接给出点坐标间关系方程,F(x,y)=0,叫,_,方程,.,参变数,参数,普通,4/85,2.,参数方程和普通方程互化,(1),参数方程化普通方程,:,利用两个方程相加、减、,乘、除或者代入法消去参数,.,(2),普通方程化参数方程,:,假如,x=f(t),把它代入普通方,程,求出另一个变数与参数关系,y=g(t),则得曲线,参数方程,5/85,3.直线、圆与椭圆普通方程和参数方程,轨迹,普通方程,参数方程,直线,y,y,0,=tan(x,x,0,),(,，点斜式,),_,(t,为参数,),圆,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,_,(,为参数,),椭圆,=1,(ab0),_,(,为参数,),6/85,【,金榜状元笔记,】,1.,参数方程化普通方程,(1),惯用技巧,:,代入消元、加减消元、平方后加减,消元等,.,(2),惯用公式,:cos,2,+sin,2,=1,1+tan,2,=,7/85,2.,直线参数方程标准形式应用,过点,M,0,(x,0,y,0,),倾斜角为,直线,l,参数方程是,若,M,1,M,2,是,l,上两点,其对应参数分别为,t,1,t,2,则,8/85,(1)|M,1,M,2,|=|t,1,-t,2,|.,(2),若线段,M,1,M,2,中点,M,所对应参数为,t,则,t=,中点,M,到定点,M,0,距离,|MM,0,|=|t|=,(3),若,M,0,为线段,M,1,M,2,中点,则,t,1,+t,2,=0.,9/85,【,教材母题变式,】,1.,把以下参数方程化为普通方程,并说明它们各表示,什么曲线,?,(1)(t,为参数,),(2)(,为参数,),10/85,【,解析,】,(1),由,y=t-1,得,t=y+1,代入,x=3t+2,得,x=3(y+1)+2,故所求普通方程为,x-3y-5=0,这是一条直线,.,(2),曲线方程化为 所以,这是椭圆,.,11/85,2.,已知曲线,C,参数方程是,(t,为参数,aR),点,M(-3,4),在曲线,C,上,.,(1),求常数,a,值,.,(2),判断点,P(1,0),Q(3,-1),是否在曲线,C,上,?,12/85,【,解析,】,(1),将,M(-3,4),坐标代入曲线,C,参数方程,消去参数,t,得,a=1.,13/85,(2),由,(1),可得,曲线,C,参数方程是,把点,P,坐标,(1,0),代入方程组,解得,t=0,所以,P,在曲线,C,上,把点,Q,坐标,(3,-1),代入方程组,得到,这个方程组无解,所以点,Q,不在曲线,C,上,.,14/85,3.,已知点,P,是椭圆,+y,2,=1,上任意一点,求点,P,到,直线,l,:x+2y=0,距离最大值,.,15/85,【,解析,】,因为椭圆,+y,2,=1,参数方程为,(,为参数,),故可设点,P,坐标为,(2cos,sin,),又直线,l,:x+2y=0.,所以点,P,到直线,l,距离,d=,16/85,又,0,2),所以,d,max,=,即点,P,到直线,l,:x+2y=0,距离最大值为,17/85,【,母题变式溯源,】,题号,知识点,源自教材,1,参数方程化普通方程,P25,例,3,2,用参数方程研究点与曲线位置关系,P22,例,1,3,参数方程研究最值问题,P28,例,1,18/85,考向一 参数方程与普通方程互化,【,典例,1】,将以下参数方程化为普通方程,.,19/85,【,解析,】,(1),由,t,2,-10t1,或,t-1,0 x1,或,-1x0,所以,t,1,t,2,=-11,即,|PA|,|PB|=11.,53/85,考向三 极坐标方程和参数方程综合应用,高频考点,54/85,【,典例,3】,(1)(,全国卷,),在直角坐标系,xOy,中,直线,l,1,参数方程为,(t,为参数,),直线,l,2,参,数方程为,(m,为参数,).,设,l,1,与,l,2,交点为,P,当,k,改变时,P,轨迹为曲线,C.,55/85,写出,C,普通方程,;,以坐标原点为极点,x,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,l,3,:(cos+sin)-=0,M,为,l,3,与,C,交点,求,M,极径,.,56/85,(2)(,衡水模拟,),已知曲线,C,极坐标方程是,2,=4cos+6sin-12.,以极点为原点,极轴为,x,轴正半轴建立平面直角坐标,系,直线,l,参数方程为,(t,为参数,).,57/85,写出直线,l,普通方程与曲线,C,直角坐标方程,并判,断它们位置关系,;,将曲线,C,向左平移两个单位,再向下平移三个单位得到曲线,D,设曲线,D,经过伸缩变换 得到曲线,E,设曲线,E,上任一点为,M(x,y),求 取值范围,.,58/85,(3),在平面直角坐标系,xOy,中,椭圆,C,方程为,(,为参数,).,求过椭圆右焦点,且与直线,(t,为参数,),垂直直线,l,普通方程,;,求椭圆,C,内接矩形,ABCD,面积最大值,.,59/85,【,解析,】,(1),直线,l,1,普通方程为,y=k(x-2),直线,l,2,普通方程为,x=-2+ky,消去,k,得,x,2,-y,2,=4,即,C,普通方程为,x,2,-y,2,=4.,60/85,l,3,直角坐标方程为,x+y=,联立,所以,2,=x,2,+y,2,=,所以,l,3,与,C,交点,M,极径为,61/85,(2),直线,l,普通方程为 曲线,C,直角坐标方程为,(x-2),2,+(y-3),2,=1.,因为 所以直线,l,和曲线,C,相切,.,62/85,曲线,D,为,x,2,+y,2,=1,曲线,D,经过伸缩变换 得到曲线,E,方程为,x,2,+=1.,则其参数方程为,(,为参数,),63/85,代入 得,所以 取值范围为,-2,2.,64/85,(3),椭圆方程为 椭圆右焦点为,(3,0),已知直线斜率,k=,于是所求直线,l,方程可设为,y=-2x+b,又直线过,(3,0),所以所求直线方程为,:y=-2x+6.,65/85,设,A(4cos,sin,),则椭圆,C,内接矩形,ABCD,面积,S=4|xy|=16|sin,cos,|=8|sin 2,|,面积最大为,8 .,66/85,【,技法点拨,】,极坐标方程与参数方程综合问题解题策略,(1),求交点坐标、距离、线段长,.,可先求出直角坐标系方程,然后求解,.,67/85,(2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程,然后再作出判断.,(3)求参数方程与极坐标方程综合问题.普通是先将方程化为直角坐标方程,利用直角坐标方程来研究问题.,68/85,【,同源异考,金榜原创,】,命题点,1,求交点坐标、距离、线段长,1.,在直角坐标系,xOy,中,以坐标原点,O,为极点,x,轴正,半轴为极轴建立极坐标系,曲线,C,1,:,2,-4cos+3,=0,0,2,曲线,C,2,:=,0,2,.,69/85,(1),求曲线,C,1,一个参数方程,.,(2),若曲线,C,1,和曲线,C,2,相交于,A,B,两点,求,|,AB,|,值,.,70/85,【,解析,】,(1),由,2,-4cos+3=0,可知,:x,2,+y,2,-4x+3=0,所以,(x-2),2,+y,2,=1.,令,x-2=cos,y=sin;,所以,C,1,一个参数方程为,(R).,71/85,(2)C,2,:,所以 即,2x-3=0,因为直线,2x-3=0,与圆,(x-2),2,+y,2,=1,相交于,A,B,两点,所以圆心到直线距离为,d=,所以,72/85,命题点,2,判断位置关系,2.,在极坐标系中,已知三点,O(0,0),(1),求经过,O,A,B,圆,C,1,极坐标方程,.,(2),以极点为坐标原点,极轴为,x,轴正半轴建立平面直角坐标系,圆,C,2,参数方程为,(,是参数,),若圆,C,1,与圆,C,2,外切,求实数,a,值,.,73/85,【,解析,】,(1)O(0,0),对应直,角坐标分别为,O(0,0),A(0,2),B(2,2),则过,O,A,B,圆普通方程为,x,2,+y,2,-2x-2y=0,又因为,代入可求得经过,O,A,B,圆,C,1,极坐标方程为,=,74/85,(2),圆,C,2,:(,是参数,),对应普通方程,为,(x+1),2,+(y+1),2,=a,2,当圆,C,1,与圆,C,2,外切时,有,+|a|=2 ,解得,a=.,75/85,命题点,3,求最值和取值范围问题,3.(,唐山模拟,),在直角坐标系,xOy,中,曲线,C,1,:x+y=4,曲线,C,2,:(,为参数,),以坐标原,点,O,为极点,x,轴正半轴为极轴建立极坐标系,.,76/85,(1),求曲线,C,1,C,2,极坐标方程,.,(2),若射线,l,:=(0),分别交,C,1,C,2,于,A,B,两点,求,最大值,.,77/85,【,解析,】,(1),因为在直角坐标系,xOy,中,曲线,C,1,:x+y=4,曲线,C,1,极坐标方程为,(cos+sin)=4,C,2,普通方程为,(x-1),2,+y,2,=1,所以曲线,C,2,极坐标方程为,=2cos.,78/85,(2),设,A(,1,),B(,2,),则,1,=,2,=2cos,2cos(cos+sin),当,=,时,取得最大值,79/85,关键素养系列（六十一）,数学建模,参数方程中关键素养,建立相关曲线参数方程,研究解析几何中位置关系、交点坐标、弦长和最值问题,.,80/85,【,典例,】,(,全国卷,),在直角坐标系,xOy,中,曲线,C,1,参数方程为,(t,为参数,a0).,在以坐标,原点为极点,x,轴正半轴为极轴极坐标系中,曲线,C,2,:,=4cos.,81/85,(1),说明,C,1,是哪一个曲线,并将,C,1,方程化为极坐标,方程,.,(2),直线,C,3,极坐标方程为,=,0,其中,0,满足,tan,0,=2,若曲线,C,1,与,C,2,公共点都在,C,3,上,求,a.,82/85,【,解析,】,(1),消去参数,t,得到,C,1,普通方程为,x,2,+(y-1),2,=a,2,.C,1,是以,(0,1),为圆心,a,为半径圆,.,将,x=cos,y=sin,代入,C,1,普通方程中,得到,C,1,极坐标方程为,2,-2sin+1-a,2,=0.,83/85,(2)C,2,:=4cos,两边同乘,得,2,=4cos,因为,2,=x,2,+y,2,cos=x,所以,x,2,+y,2,=4x.,即,(x-2),2,+y,2,=4.,C,3,:,化为直角坐标方程为,y=2x,84/85,由题意,:C,1,和,C,2,公共弦所在直线即为,C,3,.,-,得,:4x-2y+1-a,2,=0,即为,C,3,所以,1-a,2,=0,所以,a=1.,85/85,
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