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,3.3.3,函数最大(小)值与导数,1/61,2/61,主题函数最值,1.观察图中在a,b上函数y=f(x)图象,找出它们极大值和极小值.,3/61,提醒:,f(c),f(e)是函数y=f(x)极小值,f(d),f(g)是函数y=f(x)极大值.,4/61,2.观察1中函数y=f(x)图象,你能找出函数f(x)在区间a,b上最大值、最小值吗?若将区间改为(a,b),f(x)在(a,b)上还有最值吗?,提醒,:,函数,y=f(x),在区间,a,b,上最大值是,f(g),最小值是,f(b).,若区间改为,(a,b),则,f(x),有最大值,f(g),无最小值,.,5/61,3.观察如图所表示函数y=f(x)图象,该函数有最大值吗?,6/61,提醒:,由图可见在最高点处图象是间断,所以该函数没有最大值.,7/61,结论:函数有最值条件,假如在闭区间a,b上函数y=f(x)图象是一条连续不停曲线,那么它必有最大值和最小值.,8/61,【微思索】,1.函数在某一区间上最大值一定是这个区间上全部函数值中最大值吗?,提醒,:,是,.,9/61,2.极值能在区间端点处取得吗?最值呢?,提醒,:,极值只能在区间内取得,不过最值能够在区间端点处取得,.,10/61,3.函数最值和“恒成立”问题有什么联络?,提醒,:,处理,“,恒成立,”,问题,可将问题转化为函数最值问题,.,如,f(x)0,恒成立,只要,f(x),最小值大于,0,即可,.,对含参不等式恒成立问题,求参数范围时,可先分离参数,.,11/61,【预习自测】,1.以下说法正确是(),A.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值,B.闭区间上连续函数一定有最值,也一定有极值,12/61,C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值,D.若函数在给定区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值,【解析】,选,D.,由极值与最值区分知选,D.,13/61,2.连续函数f(x)在(a,b)上有最大值是有极大值,(),A.充分无须要条件B.必要不充分条件,C.充要条件D.既不充分也无须要条件,14/61,【解析】,选A.因为区间(a,b)为开区间,所以连续函数f(x)在(a,b)上有最大值能推出函数有极大值,但有极大值函数不一定有最大值.,15/61,3.函数f(x)=x,2,-4x+1在1,5上最小值和最大值为,(),A.-2,6B.-3,-2,C.2,6D.-3,6,16/61,【解析】,选D.f(x)=2x-4.当x(1,2)时,f(x)0,又因为f(1)=1,2,-41+1=-2,f(5)=5,2,-45+1=6.所以f(x)=x,2,-4x+1在1,5上最小值为f(2)=2,2,-42+1=-3,最大值为6.,17/61,4.以下是函数f(x)在a,b上图象,则f(x)在(a,b)上无最大值是(),18/61,【解析】,选D.在开区间(a,b)上,只有D选项所表示函数f(x)无最大值.,19/61,5.已知函数y=-x,2,-2x+3在区间a,2上最大值为 ,则a等于_.,20/61,【解析】,当a 时,y0,所以y在 上为增函数,所以,函数y在-2,+)上只有最小值-28 ,无最大值.,27/61,【方法总结】,闭区间a,b上连续函数f(x)必有最值,(1)给定区间必须是闭区间,f(x)在开区间上即使连,续但不能确保有最大值或最小值.如f(x)=,x(0,1),f(x)在区间(0,1)连续,但没有最大值和最小值(如图).,28/61,(2)在闭区间上每一点必须连续,即在闭区间上有间,断点,也不能确保f(x)有最大值和最小值,如函数,f(x)=,在-1,1上有间断点,没有最小值(如图).,29/61,(3)若连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值.,30/61,【巩固训练】,函数y=在0,2上最大值是(),A.当x=1时,y=B.当x=2时,y=,C.当x=0时,y=0D.当x=时,y=,31/61,【解析】,选A.y=令y=0,得x=1.,因为x=0时,y=0,x=1时,y=,x=2时,y=,所以最大值为 (x=1时取得).,32/61,类型二与参数相关最值问题,【典例2】,(1)已知函数f(x)=2x,3,-6x,2,+a在-2,2上有最,小值-37,求a值,并求f(x)在-2,2上最大值.,(2)(秦皇岛高二检测)设函数f(x)=-x,3,+2ax,2,-,3a,2,x+b,0af(2)f(-2),所以当x=-2时,f(x),min,=a-40=-37,得a=3.,所以当x=0时,f(x),max,=3.,35/61,(2)f(x)=-x,2,+4ax-3a,2,.令f(x)=0,解得x=a或x=3a,x0,3a,列表以下:,x,0,(0,a),a,(a,3a),3a,f(x),-,0,+,0,f(x),b,递减,-a,3,+b,递增,b,36/61,由表知:当x(0,a)时,函数f(x)为减函数;,当x(a,3a)时,函数f(x)为增函数.,所以当x=a时,f(x)最小值为-a,3,+b;,当x=0或x=3a时,f(x)最大值为b.,37/61,【方法总结】,已知函数最值求参数步骤,(1)求出函数在给定区间上极值及函数在区间端点处函数值.,(2)经过比较它们大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值.,(3)结合已知求出参数,进而使问题得以处理.,38/61,【巩固训练】,(包头模拟)若函数f(x)=(x-1),(x+2)(x,2,+ax+b)图象关于x=0对称,则f(x)最小值为(),39/61,【解析】,选C.因为函数f(x)=(x-1)(x+2)(x,2,+ax+b)图象关于x=0对称,所以f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),即,-2(1-a+b)=0,0=4(4+2a+b),求得,b=-2,a=-1,所以,f(x)=(x-1)(x+2)(x,2,-x-2)=x,4,-5x,2,+4,40/61,所以f(x)=4x,3,-10 x=2x(2x,2,-5)=,显然,在,上,f(x)0,f(x)为增函数,故当x=-时,y=-,当x=时,y=-,所以函数f(x)取最小值-.,41/61,类型三与最值相关恒成立问题,【典例3】,(潍坊高二检测)已知函数,f(x)=x,3,+ax,2,+bx+c在x=-与x=1处都取得极值.,(1)求a,b值及函数f(x)单调区间.,(2)若对x-1,2,不等式f(x)c,2,恒成立,求c取值,范围.,42/61,【解题指南】,(1)由已知条件求a,b值并确定函数f(x)单调区间.(2)对x-1,2,不等式f(x)c,2,恒成立应进行转化.,43/61,【解析】,(1)f(x)=x,3,+ax,2,+bx+c,f(x)=3x,2,+2ax+b,因为f(1)=3+2a+b=0,解得a=-,b=-2,所以f(x)=3x,2,-x-2=(3x+2)(x-1),当x改变时,f(x),f(x)改变情况如表:,44/61,x,-,1,(1,+),f(x),+,0,-,0,+,f(x),单调递增,极大值,单调递减,极小值,单调递增,45/61,所以函数f(x)递增区间为 和(1,+);,递减区间为 .,46/61,(2)由(1)知,f(x)=x,3,-x,2,-2x+c,x-1,2,当x=-,时,为极大值,因为f(2)=2+c,所以f(2)=2+c为最大值.,要使f(x)f(2)=2+c,解,得c2.,47/61,【延伸探究】,1.若典例(1)中条件不变,问法改为求函数f(x)在区间-1,2上最值,结果怎样.,48/61,x,-1,-,1,(1,2),2,f(x),+,0,-,0,+,f(x),+c,单调递增,+c,单调,递减,-,+c,单调,递增,2+c,【解析】,f(x)=(3x+2)(x-1),当x改变时,f(x),f(x)改变情况如表:,49/61,因为 所以f(x)在区间-1,2,上最大值为2+c,最小值为-+c.,50/61,2.若典例(2)中条件不变,问法“若对x-1,2,不等式f(x)c,2,恒成立”改为“若存在x-1,2,不等式f(x)c-,所以f(1)=c-为最小值.,因为存在x-1,2,不等式f(x)f(1)=c-,解得cR.,52/61,【方法总结】,1.证实不等式,研究方程根个数、两函数图象交点个数、图象分布范围等问题,导数和数形结合是一个很有效工具,经常经过分析函数改变情况,结合图形分析求解.,53/61,2.恒成立问题向最值转化也是一个常见题型,(1)要使不等式f(x)f(x),max,则上面不等式恒成立.,54/61,(2)要使不等式f(x)h在区间m,n上恒成立,可先在区间m,n上求出函数f(x)最小值f(x),min,只要f(x),min,h,则不等式f(x)h恒成立.,55/61,【赔偿训练】,设函数f(x)=2x,3,+3ax,2,+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.,(1)求a,b值.,(2)若对于任意x0,3,都有f(x)0;,当x(1,2)时,f(x)0.,所以,当x=1时,f(x)取极大值f(1)=5+8c,58/61,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.,所以当x0,3时,f(x)最大值为f(3)=9+8c.,因为对于任意x0,3,都有f(x)c,2,恒成立,所以9+8cc,2,解得c9.,所以c取值范围为(-,-1)(9,+).,59/61,【课堂小结】,1.知识总结,60/61,2.方法总结,求最值方法,(1)极值法:对开区间上连续函数,最值一定是其极值.,(2)比较法:对于闭区间上连续函数,经过比较极值与端点函数值大小求最值.,61/61,
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