《几何与代数》 科学出版社 第一章 行列式和线性方程组的求解3.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,教学内容和基本要求,第一章 行列式和线性方程组的求解,教 学 内 容,学时数,课件,1.1,二阶、三阶行列式,1,11-16,1.2,n,阶行列式,1,16-28,1.3,行列式的性质和计算,4,1.4,线性方程组的求解,2,趣味思考题,二、若行列式,D,=0,，则,D,都可能是什么类型的行列式？,(1),行列式,D,有两行或两列的元素,相同,；,(2),行列式,D,有两行或两列的元素,成比例,；,(3),行列式,D,有至少有一行或一列元素,都是零,；,(4),主对角线,上至少有一个元素等于,零,的,对角行列式,；,(5),主,(,次,),对角线,上至少有一个,零,元素的,三角行列式,；,(6),所有可以利用行列式性质化成上述形式的行列式,三、设,D,=,a,11,a,1,m,a,m,1,a,mm,D,1,=,证明,:,D,=,(,1,),mn,D,1,D,2,.,D,2,=,b,11,b,1,n,b,n,1,b,nn,0 0,a,11,a,1,m,0 0,a,m,1,a,mm,b,11,b,1,n,c,11,c,1,m,b,n,1,b,nn,c,n,1,c,nm,证明,:,将第,n,+1,列与左边的各列逐次对换相邻两列，,可将其移到第一列，以此类推，共做,mn,次相邻对换，即可得到,所以,D,=,=,(,1,),mn,|A|,|B|,.,二,.,行列式的主要计算方法,1.3,行列式的性质及计算,1.,化为三角形,行列式,|,A,T,|,=|,A|,.,3.,行列式按行,(,列,),展开,2.,箭形行列式的计算,4.,降阶递推法,5.,分解行列法,|A|,=,a,i,1,A,i,1,+,a,i,n,A,i,n,=,a,1,j,A,1,j,+,a,n,j,A,n,j,1.3,行列式的性质及计算,例,6,.,1 2 4,2 2 1,3 4 2,1,2 4,0,6 7,0,10 14,=14.,3.,行列式按行,(,列,),展开,例,10.,=2.,注：对三阶四阶数字型行列式，先把行列式化简成某行,(,列,),只有一个非零元素；再按此行,(,列,),展开计算,.,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质及计算,4,3,6,3,1,4,6,3,5,=6,A,31,+3,A,32,+5,A,33,.,那么,4,A,31,+,3,A,32,+,6,A,33,=,4,A,31,+,3,A,32,+,6,A,33,=,4,3,6,3,1,4,4,3,6,=0.,A,31,A,32,A,33,与,a,31,a,32,a,33,的取值无关,0,?,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质及计算,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,a,31,a,32,a,33,=,a,12,A,12,+,a,22,A,22,+,a,32,A,32,.,下面来看,a,11,A,12,+,a,21,A,22,+,a,31,A,32,=,a,11,A,12,+,a,21,A,22,+,a,31,A,32,=,a,11,a,13,a,21,a,23,a,31,a,33,=0.,推广到一般情形,我们有如下结论,:,推论,1.3,.,a,i,1,A,j,1,+,a,i,2,A,j,2,+,a,in,A,jn,=0(,i,j,),a,1,i,A,1,j,+,a,2,i,A,2,j,+,a,ni,A,nj,=0(,i,j,).,A,12,A,22,A,32,与,a,12,a,22,a,32,的取值无关,0,?,第一章 行列式和线性方程组的求解,a,11,a,21,a,31,1.3,行列式的性质及计算,推论,1.3,.,a,i,1,A,j,1,+,a,i,2,A,j,2,+,a,in,A,jn,=0(,i,j,),a,1,i,A,1,j,+,a,2,i,A,2,j,+,a,ni,A,nj,=0(,i,j,).,定理,.,|,B,|,=,a,1,i,A,1,j,+,a,2,i,A,2,j,+,a,ni,A,nj,=,b,1,j,A,1,j,+,b,2,j,A,2,j,+,b,nj,A,nj,证明：,a,i,k,A,j,k,=,k,=1,n,|,A,|,i,=,j,0,i,j,=0,第一章 行列式和线性方程组的求解,a,k,i,A,k,j,=,k,=1,n,|,A,|,i,=,j,0,i,j,例,11.,2,A,21,+4,A,22,8,A,23,=,1 2 4,2 2 1,3 4 2,1 2 4,3 4 2,2 4 8,=0,M,13,M,23,3,M,33,=,A,13,+,A,23,3,A,33,1 2,2 2,3 4,=,1,1,3,1 2,2 2,3 4,0,3,0,=30,定理,.,a,i,k,A,j,k,=,k,=1,n,|,A,|,i,=,j,0,i,j,a,k,i,A,k,j,=,k,=1,n,|,A,|,i,=,j,0,i,j,1.3,行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方程组的求解,例,12,.,证明,n,阶,(,n,2),范德蒙,Vandermonde,行列式,D,n,=,1 1 1,a,1,a,2,a,n,a,1,2,a,2,2,a,n,2,a,1,n,-2,a,2,n,-2,a,n,n,-2,a,1,n,-1,a,2,n,-1,a,n,n,-1,=(,a,i,a,j,).,n,i,j,1,证明,:,当,n,=2,时,D,2,=(,a,2,a,1,).,现设等式对于,(,n,1),阶成立,.,(,a,1,),(,a,1,),(,a,1,),1 1 1 1,0,a,2,a,1,a,3,a,1,a,n,a,1,0,a,2,(,a,2,a,1,),a,3,(,a,3,a,1,),a,n,(,a,n,a,1,),0,a,2,n,-2,(,a,2,a,1,),a,3,n,-2,(,a,3,a,1,),a,n,n,-2,(,a,n,a,1,),D,n,r,n,a,1,r,n,-1,r,3,a,1,r,2,r,2,a,1,r,1,1.3,行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方程组的求解,=(,a,2,a,1,)(,a,3,a,1,)(,a,n,a,1,),1 1 1,a,2,a,3,a,n,a,2,n,-2,a,3,n,-2,a,n,n,-2,=(,a,2,a,1,)(,a,3,a,1,)(,a,n,a,1,),(,a,i,a,j,),n,i,j,2,=(,a,i,a,j,).,n,i,j,1,a,2,a,1,a,3,a,1,a,n,a,1,a,2,(,a,2,a,1,),a,3,(,a,3,a,1,),a,n,(,a,n,a,1,),a,2,n,-2,(,a,2,a,1,),a,3,n,-2,(,a,3,a,1,),a,n,n,-2,(,a,n,a,1,),D,n,=,1.3,行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质,(,未写出的元素都是,0).,例,12.,计算,2,n,阶行列式,D,2,n,=,a,b,a,b,c,d,c,d,4.,降阶递推法,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质,D,2,n,=,=a,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,a,a,b,b,0,c,c,0,d,d,0,0,d,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,0,a,a,b,b,c,0,c,c,0,d,d,0,.,.,.,+(,1,),2,n,+1,b,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,a,0,0,a,a,b,c,d,d,0,0,d,.,.,.,0,b,b,0,0,c,c,0,.,.,.,.,.,.,.,.,.,解,:,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质,=a,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,a,a,b,b,0,c,c,0,d,d,0,0,d,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,0,a,a,b,b,c,0,c,c,0,d,d,0,.,.,.,+(,1,),2,n,+1,b,=(,ad,bc,),D,2(,n,1,),=(,ad,bc,),2,D,2(,n,2,),=(,ad,bc,),3,D,2(,n,3,),=(,ad,bc,),n,1,D,2,=(,ad,bc,),n,.,D,2,n,D,2,n,=,a,(,1,),2(2,n,1),d,D,2(,n,1,),b,(,1,),(2,n,1)+1,c,D,2(,n,1,),D,n,=(,a+,b,),D,n,1,ab,D,n,2,解：按第一行展开,D,n,=(,a,+,b,),D,n,-1,+ab,(,1),1+2,D,n,-2,=,b,n,2,(,D,2,a,D,1,),例,13,.,D,n,=,双轮形,D,n,aD,n,1,=,b,(,D,n,1,a,D,n,2,),=,a,n,2,(,D,2,b,D,1,),D,n,b,D,n,1,=,a,(,D,n,1,b,D,n,2,),D,1,=,a+b,D,2,=,a,2,+,b,2,+,ab,4.,降阶递推法,1.3,行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方程组的求解,D,n,aD,n,1,=,b,n,2,(,D,2,a,D,1,)(3),D,n,b,D,n,1,=,a,n,2,(,D,2,b,D,1,)(4),由,(3),b,(4),a,可得，,D,1,=,a+b,D,2,=,a,2,+,b,2,+,ab,=,b,n,=,a,n,1.3,行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方程组的求解,5.,分解行列法,解：将第一列拆成两列的和,D,n,=,b,D,n,-1,+D,n,例,13,.,D,n,=,D,n,=a,n,D,n,=,b,D,n,-1,+,a,n,=,b,(,bD,n,-2,+,a,n,-1,),+,a,n,1.3,行列式的性质及计算,第一章 行列式和线性方程组的求解,=,b,2,D,n,-2,+,a,n,-1,b,+,a,n,=,二,.,行列式的主要计算方法,1.3,行列式的性质及计算,1.,化为三角形,行列式,3,.,行列式按行,(,列,),展开,2.,箭形行列式的计算,4.,降阶递推法,A,jk,=(,1),j+k,M,jk,计算三四阶,行列式,5.,分解行列法,|,A,T,|,=|,A|,.,Ex.,a,i,k,A,j,k,=,k,=1,n,|,A,|,i,=,j,0,i,j,a,11,a,12,a,21,a,22,记,D,=,b,1,a,12,b,2,a,22,D,1,=,a,11,b,1,a,21,b,2,D,2,=,则当,D,=,a,11,a,22,a,12,a,21,0,时,=,D,1,D,=,D,2,D,.,a,11,x,1,+,a,12,x,2,=,b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,=,b,2,x,1,=,b,1,a,22,a,12,b,2,a,11,a,22,a,12,a,21,有唯一确定的解,x,2,=,a,11,a,22,a,12,a,21,a,11,b,2,b,1,a,21,推广到,n,元线性方程组,Cramer,法则,1.4,线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,线性方程组：,高斯消元法：,初等变换,列向量,矩阵,行向量,例,1.,某厂家向三个代理商发送四种产品,.,A,=,20 50 30 25,16 20 16 16,B,=,200 180 190,100 120 100,150 160 140,180 150 150,单价,(,元,/,箱,),重量,(Kg/,箱,),数量,(,箱,),南京,苏州,常州,啤酒,(,瓶装,),20,16,200,180,190,啤酒,(,易拉罐,),50,20,100,120,100,干啤,30,16,150,160,140,生啤,25,16,180,150,150,一,.,矩阵与向量,1.4,线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,例,2.,四个城市间的单向航线如图所示,.,若,a,ij,表示从,i,市,到,j,市航线的条数,则右图可用矩阵表示为,1 4,2 3,A,=,a,ij,=,0 1 1 1,1 0 0 0,0 1 0 0,1 0 1 0,1.4,线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,用三维向量表示,(8,升,5,升,3,升,),酒壶的酒量,则,平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终点的最短路,.,从图中易得到,上下,两条,路,：显然上面一条较短，路长为,7;,下面一条路长为,8.,(3,2,3),(5,3,0),(2,5,1),(8,0,0),(0,5,3),(2,3,3),(7,0,1),(7,1,0),(4,1,3),(4,4,0),(1,4,3),(1,5,2),(6,2,0),例,3,：,某二人有一只,8,升的酒壶装满了酒,还有两只空壶,分别为,5,升和,3,升,.,问如何尽快将酒平分,?,(3,5,0),(5,0,3),(6,0,2),一,.,矩阵与向量,1.,m,n,矩阵,(,Matrix,),元素,:,a,ij,(,i,=1,m,j,=1,n,),注,:,元素都是实,(,复,),数的矩阵称为,实,(,复,),矩阵,.,今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都,是实矩阵,(,R,m,n,),.,复矩阵,(,C,m,n,),.,A,m,n,=,=,(,a,ij,),m,n,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,m,1,a,m,2,a,mn,n,阶方阵,:,n,n,矩阵,2.,方阵,主对角线元素,:,a,ii,(,i,=1,n,),1.4,线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,3.,向量,(Vector),n,维行向量,:1,n,矩阵,a,i,=,(,a,i,1,a,i,2,a,in,),n,维列向量,:,n,1,矩阵,A,j,=,常用希腊字,母,表示,.,5.,同型矩阵,A,=(,a,ij,),m,n,与,B,=(,b,ij,),m,n,6.,相等,矩阵,A,=,B,a,ij,=,b,ij,1,i,m,1,j,n,同型矩阵,a,1,j,a,2,j,a,n,j,4.,1,1,矩阵,(,a,11,),=,a,11,7.,零矩阵,O,m,n,a,ij,=0,，,1,i,m,1,j,n,1.4,线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.,对角矩阵,(diagonal),=diag(,1,2,n,),=,1,0 0,0,2,0,0 0 ,n,2.,数量矩阵,3.,单位矩阵,引入,Kronecker,记号,ij,=,1,i,=,j,0,i,j,=,(,ij,),=,(,ij,),=,(,i,ij,),几种特殊方阵,1.4,线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,4.,三角矩阵,a,11,a,12,a,1,n,0,a,22,a,2,n,0,0,a,nn,a,11,0 0,a,21,a,22,0,a,n,1,a,n,2,a,nn,a,11,a,1,n,-1,a,1,n,a,21,a,2,n,-1,0,a,n,1,0,0,0,0,a,1,n,0 ,a,2,n,-1,a,2,n,a,n,1,a,1,n,-1,a,nn,上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为,0,下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为,0,1.4,线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.4,线性方程组的求解,二,.,克拉默法则,(Cramer Rule),四,.,矩阵的初等行变换,1.,矩阵的初等行变换,2.,阶梯形矩阵与行简化阶梯阵,3.,阶梯阵的形状与线性方程组的解,五,.,齐次线性方程组有非零解的充分条件,三,.,Gauss,消元法与方程组的初等变换,第一章 行列式和线性方程组的求解,一,.,矩阵与向量,1.4,线性方程组的求解,记,D,=,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,D,1,=,b,1,a,12,a,1,n,b,2,a,22,a,2,n,b,n,a,n,2,a,nn,D,2,=,a,11,b,1,a,1,n,a,21,b,2,a,2,n,a,n,1,b,n,a,nn,D,n,=,.,a,11,a,12,b,1,a,21,a,22,b,2,a,n,1,a,n,2,b,n,二,.,克拉默法则,(Cramer Rule 1750,瑞士,),在,D,=|,A,|,0,有,唯一解,x,1,=,D,1,D,x,2,=,D,2,D,x,n,=,D,n,D,.,第一章 行列式和线性方程组的求解,n,元线性方程组,|,A,|,0,方程数与变量数不等时不能用,1.4,线性方程组的求解,一,.,克拉默法则,(Cramer Rule),在,D,=|,A,|,0,有,唯一解,x,1,=,D,1,D,x,2,=,D,2,D,x,n,=,D,n,D,.,第一章 行列式和线性方程组的求解,按第一列展开,记,D,=,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,D,1,=,b,1,a,12,a,1,n,b,2,a,22,a,2,n,b,n,a,n,2,a,nn,=,a,11,A,11,=,b,1,A,11,+,a,n,1,A,n,1,+,b,n,A,n,1,D,j,=,b,1,A,1,j,+,b,n,A,nj,j,=1,2,n,1.4,线性方程组的求解,一,.,克拉默法则,(Cramer Rule),在,D,=|,A,|,0,有,唯一解,x,1,=,D,1,D,x,2,=,D,2,D,x,n,=,D,n,D,.,第一章 行列式和线性方程组的求解,D,j,=,b,1,A,1,j,+,b,n,A,nj,j,=1,2,n,(1),先证是方程组的解,.,a,i,j,A,k,j,=,j,=1,n,D,i,=,k,0,i,k,1.4,线性方程组的求解,一,.,克拉默法则,(Cramer Rule),在,D,=|,A,|,0,有,唯一解,x,1,=,D,1,D,x,2,=,D,2,D,x,n,=,D,n,D,.,第一章 行列式和线性方程组的求解,D,j,=,b,1,A,1,j,+,b,n,A,nj,j,=1,2,n,(2),再证方程组解的唯一性,.,A,1,j,+,A,2,j,+,+,A,nj,=,D,j,a,i,k,A,i,j,=,i,=1,n,D,k,=,j,0,k,j,1.4,线性方程组的求解,记,D,=,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,D,1,=,b,1,a,12,a,1,n,b,2,a,22,a,2,n,b,n,a,n,2,a,nn,D,2,=,a,11,b,1,a,1,n,a,21,b,2,a,2,n,a,n,1,b,n,a,nn,D,n,=,.,a,11,a,12,b,1,a,21,a,22,b,2,a,n,1,a,n,2,b,n,一,.,克拉默法则,(Cramer Rule),在,D,=|,A,|,0,有,唯一解,x,1,=,D,1,D,x,2,=,D,2,D,x,n,=,D,n,D,.,第一章 行列式和线性方程组的求解,齐次线性方程组,推论,1.4,齐次线性方程组,Ax,=,0,它必然有一组,零解,x,1,=,x,2,=,x,n,=0,若有一组,不全为,零,的数构成,Ax,=,0,的,解,则,称之为,Ax,=,0,的,非,零解,.,推论,1.4,a,.,设,A,R,n,n,若齐次线性方程组,Ax,=,0,的,系数行列式,|,A,|,0,则它,只有零解,.,推论,1.4,b,.,设,A,R,n,n,若,Ax,=,0,有非零解,，则,|,A,|=,0,1.4,线性方程组的求解,第一章 行列式和线性方程组的求解,齐次线性方程组的非零解,定理,1.3,设,A,R,n,n,|,A|,0,时,Ax,=,b,有唯一解,x,j,=,D,j,/|,A|,j=,1,n.,(,A,),填空题选择题：作为课下练习,一,.(A)1(1-7),(B),1,2,3,(,B,),留作业,每周三交作业,(,C,),课下提高题：有时间的话尽量做,二,.(A)2(1-5),(B),4(1,3,4,6),5(1,2),三,.(A)1(8),2(6,7),(B),5(4,6,7,8),6(2),7,四,.(A)1(9,10),2(8,9,10),(B),9,11,12,趣味思考题,一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西渡过河到河东,.,由于船小,一次只能带一物过河，并且狼与羊,羊与菜不能独处,.,你能给出几种给出渡河方法？,哪种方法的渡河次数最少呢？,现代谜题（据说是微软的面试题哦！）,有,4,个女人要过一座桥。她们都站在桥的某一边，要让她们在,17,分钟,内全部通过这座桥。,这时是晚上。她们只有一个手电筒。,最多只能让两个人同时过桥，且必须要带着手电筒。,手电筒必须要传来传去，不能扔过去。,每个女人过桥的速度不同,(,甲乙丙丁分别需要,1,2,5,10,分钟,),，两个人的速度必须以较慢的那个人的速度过桥。,怎样让这,4,个女人在,17,分钟内过桥？,还有其他方法吗？,思考题：交通网络流量分析问题（线性方程组应用）,城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。,问题：某城市有下图所示的交通图，每条道路都是单行线，需要调查每条道路每小时的车流量。图中的数字表示该条路段的车流数。如果每个交叉路口进入和离开的车数相等，整个图中进入和离开的车数相等。,思考题：交通网络流量分析问题（线性方程组应用）,（,1,）建立确定每条道路流量的线性方程组；,（,2,）请写出该线性方程组对应的系数矩阵和增广矩阵,.,300,500,150,180,350,160,220,300,100,290,400,150,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,x,7,x,8,x,9,x,10,x,11,x,12,