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单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,1,第,3,章 静电场及其边值问题,的解法,基本要求：,掌握静电场的基本方程和边界条件；会利用拉普拉斯方程和泊松方程求解简单的问题；会熟练求解直角坐标中的分离变量法的二维问题；会熟练利用镜象法求解导体平面与导体球的镜象问题；会使用计算机利用有限差分法计算简单二维边值问题的数值解。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,2,3.1,静电场的基本方程与边界条件,静电场,由静止电荷所产生的电场。严格地讲，真正不随时间而变化的静止电荷是不存在的。从微观上看，物质中的带电粒子始终是运动着的。但对观察者而言，假如这些带电微粒的运动所产生的宏观效应小到可以忽略的地步，则可以近似认为这个物体所带的电荷是静止的。,3.1.1,静电场的基本方程,静电场是时变电磁场的特殊情形。静电场基本方程是麦克斯韦方程组在各类场量均不随时间而变化时的特殊情形。,当令各类场矢量对时间的变化率均为零时，电场和磁场相互独立，它们之间不再存在相互依存和相互转换的关系。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,3,方程（,3.1.1,）为静电场的环量定律。它表明，当一个试验电荷在静电场中绕闭合回路移动一圈时，电场力所做的功为零。,方程（,3.1.2,）为静电场高斯定律。它表明，穿过任一闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷。,静电场基本方程的积分形式也可以由库仑定律直接证明。,静电场基本方程的积分形式,（,3.1.1,）,（,3.1.2,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,4,方程（,3.1.3,）描述了静电场的旋度特性，表明静电场是一个无旋场。,方程（,3.1.4,）描述了静电场的散度特性，表明静电场是一个有源场。,静电场的微分方程形式可以从的麦克斯韦微分方程组直接得出，也可以借助于高斯定理和斯托克斯定理从静电场基本方程的积分形式推导出来。,静电场基本方程的微分形式,（,3.1.3,）,（,3.1.4,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,5,3.1.2,静电场的边界条件,从第,1,章的亥姆霍兹定理可知，只要知道了矢量场的旋度和散度，就可以在无限大空间中唯一地确定这个矢量场,。这就决定了两个基本方程在静电场研究中的重要地位。但是，如果遇到不同媒质分界面时，还必须知道不同媒质分界面的边界条件。,静电场所涉及的媒质主要有导电率为零的媒质（电介质或理想介质）和导电率为无限大媒质（理想导体）。,静电场是一般时变场在令各类场量均不随时间而变化条件下的特例情况。因此，在这些界面上的静电场边界条件也可以从第,2,章的时变场边界条件直接得出。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,6,1.,不同电介质的分界面的边界条件,在静电场中的不同电介质分界面上，电场强度的切向分量和电位移的法向分量均必然连续。,（,3.1.7,）,（,3.1.8,）,（,3.1.5,）,（,3.1.6,）,分界面上的正法线单位矢量，其方向规定由第,2,种,电介质指向第,1,种,电介质。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,7,2.,理想导体与电介质的分界面,的边界条件,理想导体表面,电场强度的切向分量等于零，,即电力线总是垂直于理想导体表面。,理想导体表面,电位移的法向分量等于导体表面的面电荷密度,。,（,3.1.11,）,（,3.1.9,）,（,3.1.10,）,（,3.1.12,）,理想导体的外法线方向，即从理想导,体内部指向电介质,。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,8,例,3.1.1,设静电场中有一个电介质分界面，两边介质的介电常数分别为 和 。已知在界面的介质,1,一侧，电场强度的大小为,，方向与界面正法线方向的夹角为 。试求介质,2,一侧的电场强度的大小 及其与界面正法线方向的夹角 。,解：从静电场边界条件（,3.1.5,）式和（,3.1.6,）式得出,将上列两式相除，得,（,3.1.13,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,9,容易解的,（,3.1.13,）,式表明，在界面上电场强度的方向将,会,发生突变。这个公式常被称为静电场折射定律。,（,3.1.13,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,10,3.2,电位及其电位方程,1.,电位和电位差,在静电场中，电场强度沿一个开放路径的线积分与该路径的起、终点位置有关，而与积分路径无关。,3.2.1,电位和电位梯度,（,3.2.2,）,（由静电场的环量定律可以证明）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,11,在静电场中，当一个试验电荷从,P,点移动至,Q,点时，电场力所做的功仅与两点的位置有关，而与该试验电荷移动的路径无关。,（,3.2.3,）,比值 与试验电荷 的大小无关，只与,P,，,Q,两点的位置有关。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,12,电位差,电场力将单位电荷从,P,点移动到,Q,点时所作的功（与路径无关）。,（,3.2.4,）,电位差是一个标量，它的单位是伏特（）。,和 都是只与,P,点或,Q,点的位置有关的标量函数。,和 还与产生该静电场的电荷分布有关。,和 被称为电荷分布在,P,点或,Q,点产生的电位。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,13,真空中电量为 的点电荷所产生电位差,（,3.2.5,）,比较可得,与电荷的分布有关的待定常数（不是唯一的）。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,14,当产生静电场的源电荷分布在一个有限的区域内时，人们常常选择无限远处为零电位参考点。这时，由于参考点与源点之间的距离为无限大，即 ，如此一来,为了唯一地确定空间任一点的电位，可以指定一个零电位参考点，例如,P,0,点，即,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,15,真空中电量为 的点电荷在任一点,P,所产生电位,静电场中任一点的电位定义为将单位正电荷由该点移动至零电位点时电场力所做的功，即,（,3.2.6,）,电位与电位差一样，是一个标量，单位为伏特（）。,所求点的位置矢径,点电荷所在点的位置矢径,（,3.2.9,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,16,根据电位叠加原理，体电荷、面电荷和线电荷所产生的电位分布分别为,（,3.2.10,）,（,3.2.12,）,（,3.2.11,）,上述公式都是在无限远处的电位为零的假定下得出的。对源电荷分布区域延伸至无限远的情况，零电位参考点不能选择在无限远处，而必须选择在一个有限远的地方。此时上述公式都应该加上一个待定的常数,【,式（,3.2.8,）,】,。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,17,等位面,电位相同的点组成的空间曲面,由于在场域空间中的每一点对应着也仅对应着一个确定的电位值，因此每一点必属于也仅属于一个等值面。,空间中所有的点均有等值面通过，而所有的等值面均互不相交。,同一个电位值可以对应几个分离的等位面。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,18,例,3.2.1,真空中有一圆形带电结构，如图,3.2.2,所示。设这个圆形带电结构分别为,（,1,）,半径为 的均匀带电圆盘，其上面电荷密度为 ；（,2,）半径为 的均匀带电圆环，其上的线电荷密度为 ，试分别计算圆形结构中心垂直轴线上的电位。,解：取圆柱坐标系，使坐标原点位于圆形结构的中心，轴与圆中心垂直轴线重合。,（,1,）,对圆形面结构而言，场点在 轴上，源点在圆盘上，场点与源点之间的距离为,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,19,取无限远为参考点，则按（,3.2.11,）式计算出轴上的电位为,（,2,）,对圆形线结构而言，场点在 轴上，源点在圆环上，场点与源点之间的距离为,取无限远为参考点，则按（,3.2.12,）式计算出轴上的电位为,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,20,2.,电位梯度,电位与电场强度的关系,恒等式（,1.3.1,）,基本方程（,3.1.3,）,既然电场强度和电位是描述电场性质的两个物理量，不难想像，它们之间必定存在某种形式的联系。我们注意到，静电场是无旋场，电场强度矢量的旋度等于零。在第,1,章矢量恒等式一节已讨论过，任何一个旋度为零的矢量函数必然可以表示为某一标量函数的梯度。我们自然要问，电场强度矢量是否可以表示成为标量电位的梯度呢？,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,21,电场强度矢量等于负的电位梯度矢量。,证明：利用式,（,1.2.15,），即,对体电荷所产生的电位分布求梯度可得,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,22,几点结论：,电场强度的大小等于电位的梯度（最大的方向导数）。,电场强度的方向指向电位减小的方向。,电力线与等位面相互垂直。,空间任一点的电位是不唯一的，它会因零电位参考点选择的不同而相差一个常数。,空间任一点的电场强度总是唯一的，它与零电位参考点的选择是无关的。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,23,例,3.2.2,设真空中的电偶极子由间距为 的一对等值异号电荷 和 构成，试求远离该电偶极子的区域内的电位和电场。,解：空间任一点的电位应等于两个点电荷在该点所产生电位的代数和，即,其中,式中的 ，是该电偶极子的电偶极矩矢量。而远离电偶极子的区域内的电场强度为,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,24,当观察点远离电偶极子时，应用二项式展开，可以近似得到,如此一来，远离电偶极子处的电位就可以近似为,（,3.2.17,）,（,3.2.18,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,25,3.2.2,电位的微分方程和边界条件,描述同一点的场和源之间的微分方程,1.,电位的泊松方程和拉普拉斯方程,将 代入上式得到,电位的泊松（,Poisson,）方程,（,3.2.19,）,在均匀、线性和各向同性的电介质中,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,26,电位的拉普拉斯（,Laplace,）方程,在均匀、线性和各向同性的电介质的无源区,非均匀电介质中电位所满足的微分方程,均匀电介质中电位所满足的微分方程可以看成是非均匀电介质的微分方程的特例,.,（,3.2.20,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,27,2.,电场强度的泊松方程和拉普拉斯方程,电场强度的泊松方程,在均匀、线性和各向同性的电介质中,将静电场的两个基本方程代入矢量恒等式,可以得到,（,3.2.21,）,电荷均匀分布时,（,3.2.25,）,电场强度的拉普拉斯方程,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,28,电场强度的拉普拉斯方程,在均匀、线性和各向同性的电介质的无源区,（,3.2.25,）,非均匀电介质中电场强度所满足的微分方程,均匀电介质中电场强度所满足的微分方程可以看成是非均匀电介质的微分方程的特例。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,29,直角坐标系中的泊松方程和拉普拉斯方程,直角坐标系中电位的泊松方程和拉普拉斯方程,（,1.3.4,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,30,直角坐标系中电场强度的泊松方程和拉普拉斯方程,（,1.3.5,）,（,3.2.22,）,（,3.2.23,）,（,3.2.24,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,31,圆柱坐标系中电位的泊松方程和拉普拉斯方程,球面坐标系中电位的泊松方程和拉普拉斯方程,体电荷密度,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,32,2.,电位的边界条件,电位边界条件可以直接由电场的边界条件导出。,由梯度的定义可以得到电场的沿着某个方向的分量与电位沿该方向的方向导数有关，即,（,3.2.26,）,（,3.2.27,）,电位沿界面的切向方向上的方向导数,电位沿界面的法向方向上的方向导数,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,33,两种不同电介质的分界面的边界条件,（,3.2.29,）,（,3.2.28,）,因为静电场是保守场，由电位的定义（电场力所做的功）可知，电位总是连续的。当然在边界上也不例外。因此，两种不同电介质的分界面处的边界条件可以写成,（,3.2.31,）,（,3.2.30,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,34,理想导体表面的边界条件,由于理想导体内部不可能存在电场，所以理想导体必为等位体，理想导体与电介质的交界面必为等位面，由此可得理想导体表面的边界条件为,（,3.2.32,）,（,3.2.33,）,电位沿导体表面的外法线方向的方向导数,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,35,3.3,静电场的能量和导体的电容,众所周之，电路中的电容器是一种可以储存电场能量的器件。将电源连接到电容器上，在电容器的充电过程中，电源要消耗能量。通常组成电容器的导体和电介质的欧姆损耗都是可以忽略的，充电产生的能量最终都储存到了电容器的电介质中了，也就是储存在电场存在的空间了。因为电容器中的电场可以看成是极板上特殊的面电荷分布所产生的，由此不难想象，任意的电荷分布所产生的电场都储存了能量。同时，任意形状的导体之间都可以定义电容，电容就是导体系统储存能量的一种能力。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,36,3.3.1,静电场的能量和能量密度,静电场是一种具有能量分布的系统，对其中的电荷具有作用力。,由于产生静电场的电荷都是静止的，所以不必考虑与运动状态有关的动能，而只需考虑与位置有关的位能。在讨论静电场的能量时，,必须假设电荷的移动慢到足以使动能和辐射效应都可以忽略,。,一个点电荷的所产生的电场的位能就等于把该点电荷从零电位的无穷远处移动到实际所在位置上时，外力为克服电场力所需做的功。,对于任意形式的电荷分布，情况也是一样的，即静电场所具有的能量就等于建立该电场的过程中所需要的外力。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,37,（,1,）,把第一个点电荷 从无穷远处移动到它在场中的位置 上时，因为此时没有其它的电荷对其作用，所以没有外力做功，即 。,点电荷系 的电场的能量,（,2,）,把第二个点电荷 从无穷远处移动到位置 上时，外力所需做的功由（,3.2.3,）式可知，为,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,38,（,3,）,当整个点电荷系统全部建立时，外力所做的总功，也即该系统的总的电场能量为,由于电场能量的建立与移动电荷的次序无关，上式可改写成,（,3.3.1,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,39,几点说明：,电场能量的单位是焦耳（）。,是点电荷 和 之间的距离。,是由除电荷 本身以外的其它所有的点电荷在 处产生的电位。,这里讨论的能量仅代表相互作用的能量，即互能。互能可以为正，也可以为负。当两个点电荷同性时，互能为正；反之当两个点电荷异性时，互能为负。对于单个点电荷，则相互作用能为零，即 。,上面的讨论中，没有涉及每个点电荷 本身建立时所需的能量，即,自能,。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,40,体电荷分布所产生的电场的能量,（,3.3.2,）,静电场的能量与场矢量之间的关系,（,3.3.3,）,证明：,由高斯定律可得,若取积分域为无限大的空间，左边的面积分将趋于零。由此得到,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,41,静电场的能量,（,3.3.5,）,总储能,静电场的能量密度（线性和各向同性的介质中）,（,3.3.4,）,既然静电场的能量的计算可以等效为计算整个空间的 的体积分，所以完全有理由假设静电场的能量是以能量密度 的形式分布在整个空间的。,能量密度的单位是焦耳每立方米（）。,能量密度恒大于零，也就是说，静电场能量恒为正。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,42,3.3.2,导体系统的电容,导体是一种自身带有大量自由电荷的物质。在静电场的条件下，导体中所有的电荷都将处于一种稳定的静电平衡状态，使得导体内部的总电荷及其电场均为零，电荷只能分布在导体的表面。反过来，这些电荷又会在周围空间产生电场。由导体所组成的电容器就是利用导体的充放电来储存和释放电场能量的，而电容器这种能力的大小就用电容来描述。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,43,“孤立”的带电导体的电容,一个“孤立”的带电导体表面的面电荷在空间所产生的电位分布与该带电导体的所带电量成正比，而其比例系数仅与导体的几何形状、大小以及周围的介质有关，而与导体的电位和所带的电量无关。当然，该“孤立”导体本身的电位也是如此。,我们把这个比例系数称为“孤立”导体的电容,，,即,“孤立”的带电导体的电容就等于导体所带的电量 与导体的电位 之比，即,（,3.3.6,）,例如：,真空中,一个半径为,的带电球体的电容,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,44,两个带电导体的电容,两个带电导体表面的面电荷在空间所产生的电位分布与该两个带电导体的所带电量也是成正比的。根据电位与电量之间的不同的表示关系，我们可以分别定义两个带电导体的电位系数、电容系数以及电容。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,45,（,1,）,两个带电导体的电位系数,（,3.3.7,）,（,3.3.8,）,其中,电位系数都是与导体的电位和带电量无关的常数，仅与带电体的形状、尺寸以及周围的电介质有关。根据互易性，有,自电位系数,互电位系数,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,46,（,2,）,两个带电导体的电容系数,其中,电容系数仅与带电体的形状、尺寸以及周围的电介质有关，都是与导体的电位和带电量无关的常数。根据互易性，有,自电容系数,互电容系数,（,3.3.9,）,（,3.3.10,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,47,（,3,）,两个带电导体的电容,其中,部分电容仅与带电体的形状、尺寸以及周围的电介质有关，都是与导体的电位和带电量无关的常数。根据互易性，有,对于两个以上的多导体系统来说，同样可以引入部分电容的概念。,自部分电容,互部分电容,令,（,3.3.11,）,（,3.3.12,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,48,电容器的电容,电容器,两个带有等值异号电荷的导体，即,两个,带电导体之间的电位差,电容器中两个导体之间的电位差和所带的电量成正比关系,。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,49,电容器的电容,电容器中两个导体之间的电位差和,所带的电量之比的倒数,电容与电容系数之间的关系为,电容器的电容仅与电容器的形状、尺寸以及周围的电介质有关，而与电容器极板上所带的电荷量的多少无关，也与两个极板间的电位差无关。它是一个大于零的正数。,（,3.3.13,）,（,3.3.14,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,50,电容器的电容与场量的关系,电容器的电容与电容器中的储能的关系,（,3.3.17,）,电容器中的储能,（,3.3.18,）,上式再一次证明，静电场能量恒为正。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,51,以平板电容器为例,设电容器的带电量为 ，每个平板的面积为 ，两个平板的间距为,（,3.3.19,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,52,3.4,静电场边值问题的分类以及唯一性定理,静电场问题分为两大类：分布型问题和边值型问题。,静电场分布型问题,已知场中的电荷分布，求取场内的电场强度分布或电位分布。例如利用库仑定律或高斯定律求静电场分布。,静电场边值型问题,根据已知某一给定区域内的电荷分布以及包围该区域的表面上的边界条件来求电场的问题。其中最常见的是已知两种不同媒质分界面上（主要是指导体与电介质的分界面上）的电位边界条件，通过求解电位泊松方程或拉普拉斯方程以获取电介质内的电位分布。,3.4.1,静电场边值问题的分类,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,53,（,1,）,第一类边值问题（,Dirichlet,狄利赫里边值问题）,已知边界上（导体表面）的电位分布,（,2,）,第二类边值问题（,Neumann,诺依曼边值问题）,已知的是边界上（导体表面）的电位沿法线方向的,方向导数分布（即导体表面的面电荷密度分布）,（,3,）,第三类边值问题（混合边值问题）,已知部分边界上的电位,和另一部分边界上电位沿法线方向的方向导数,静电场的边值问题根据不同的边界条件可以分为三类：,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,54,3.4.2,静电场唯一性定理,如果带电导体的形状、尺寸和位置均已固定，则满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的，这就是静电场解的唯一性定理。,证明：我们以泊松方程为例并采用反证法来证明这一定理。设在静电场的场域空间中有两个解 和 ，它们满足同样的边界条件和泊松方程，而两个解的差 应满足拉普拉斯方程，即,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,55,在格林第一定理中，令 ，可得,（,3.4.1,）,即,如果将 取为诸导体外部的无限大空间，则包围该体积的闭合曲面 将由 各个导体表面 和无限大球面 所组成。当电荷分布在有限区域内时，在无限大球面上的面积分必趋于零，于是有,（,3.4.2,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,56,对第一类边值问题而言，在诸导体表面 上，,所以上式右端为零，得,即,因为被积函数 不小于零，上式必然导致,常数,又因为在诸导体表面上，已知 ，则上式中的常数必为零，即在 内各点有,这说明，第一类边值问题的解是唯一的。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,57,对第二类边值问题而言，在诸导体表面上，,同样可得,同样因为被积函数 不小于零，上式必然导致,这时，不一定为零，即 与 相差一个常数。然而，电场强度在 内各点却是处处相等的，即,从这个意义上讲，我们仍然可以认为静电场的解是唯一的。,即,常数,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,58,对第三类边值问题而言，它是上述两类边界条件的混合情形，因而可借助上面的证明方法来证明这类边值问题的解的唯一性。,需要说明的是，上面我们证明静电场中唯一性定理的过程，完全可以推广到以后的恒定电场和恒定磁场以及时变电磁场中。也就是说，满足给定的源分布和给定的边界条件的任意一种场，其解必是唯一的。,本章将要介绍的边值问题的各种不同的解法，不论是作为解析方法的分离变量法和镜像法，还是作为数值方法的有限差分法和矩量法，虽然都是从静电场问题引出来的，但它们完全可以推广应用至一般的电磁场边值问题的分析中去。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,59,边值问题解法：,直接积分法,求解一维场满足的常微分方程。,分离变量法,解析解（无穷级数），坐标曲面边界内的拉普拉斯方程。,镜象法,间接求解法，形状简单的边界及其附近的点电荷和线电荷。,复变函数法,二维平面场，由解析函数确定的特殊边界。,数值解法,有限差分法，有限元法，矩量法,其它解法,格林函数法,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,60,3.5,直接积分法,（,Direct Integral Method,）,在某些电磁问题中，通过选择适当的坐标系，可以使得电位仅为一个坐标变量的函数，这时的电位微分方程也就成为二阶常微分方程。而这种方程通常都可以直接进行求解。,所谓直接积分法，也就是直接求解二阶常微分方程,。由于不同区域的电位满足不同的二阶常微分方程，而每个二阶常微分方程的通解都具有两个待定常数。这些待定常数可以通过边界条件来确定。一旦待定常数确定了，各个区域的电位分布也就确定了。也就可以求出各个区域的电场分布以及静电场的能量和电容了。下面，给出几个实例来介绍这种方法的应用。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,61,例,3.5.1,有一平行板电容器，设极板之间的距离 远小于极板平面的尺寸，极板之间充满着介电常数为 的电介质和均匀分布着体电荷密度为 的电荷，极板之间的电压 ，如图,3.5.1,所示。试求极板之间的电位和电场强度。,解：因为极板平面的尺寸远大于板间距离，所以可以忽略边缘效应，近似认为板间电位仅与坐标 有关，它应满足下列泊松方程，即,将上式直接积分，得出电位的通解表示式为,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,62,式中，和 为积分常数，它可以通过边界条件来确定，即,从而求得极板平面之间的电位和电场强度分别为,注意：因为在两个极板之间分布有电荷并且两块极板上的的带电量是不相等的，所以该两块平行平板组成的并不是所谓的电容器，不能定义该平行平板的电容。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,63,例,3.5.2,设有一根长直的同轴电缆，内外导体的半径分别为 和 （），它们之间填充了介电常数为 的电介质，其截面如图,3.5.2,所示。已知内外导体之间的电压为 ，试求内外导体之间的电位和电场强度分布以及单位长度电缆的电容。,解：由于内外导体之间的电位仅随 坐标 而变化，即内外导体之间的电位应满足一维的拉普拉斯方程,对上式直接积分，得出通解表示式为,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,64,式中的积分常数，和 可以通过下面的边界条件来确定,从而求出内外导体之间的电位及其电场强度分布分别为,由于内导体的表面的电荷密度为,由此可得单位长度同轴电缆的电容为,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,65,例,3.5.3,有一半径为 的球体，均匀分布着密度为 的体电荷。设球内外介质的介电常数分别为 和 ，试求球内外的电位和电场强度分布。,解：设球内的电位和电场强度分别表示为 和 ，球外的电位和电场强度分别表示为 和 ，它们均仅为坐标 的函数。和 分别满足一维的泊松方程和拉普拉斯方程，即,将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,66,在球体表面上，依不同介质的分界面上的边界条件有,除此以外还有另外两个定解条件,和,前一个条件是由设定无限远为零电位参考点得到，而后一个条件可以借助积分形式的高斯定律直接求出。将上面这四个定解条件代入电位的通解表达式，就可以确定四个积分常数为,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,67,最终得出球内外的电位和电场强度分布分别为,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,68,可以采用直接积分法分析的电磁场问题必须满足的条件：,（,1,）,电荷分布本身是一元函数；,（,2,）,媒质分界面都是坐标曲面；,（,3,）,给定的等位面必须是坐标曲面。,直接积分法的解题步骤：,（,1,）,根据题目给定的条件设定各区域内的一元电位函数；,（,2,）,求解每个电位分布所满足的泊松方程或拉普拉斯方程得到电位函数的通解；（每个函数带有两个待定常数）,（,3,）,利用边界条件以及特殊的定解条件（有界、零电位、对称性,）确定待定常数得到各区域内的电位分布，从而得到其它得物理量。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,69,3.6,分离变量法,（,Method of Separation of Variables,）,当电位函数是一个多变量函数时，常用的方法求解方法就是分离变量法。,所谓分离变量法，就是将待求的多变量的未知函数表示为三个未知函数的乘积，其中每一个函数仅为一个坐标变量的函数,。将这个表示为乘积的电位表示式代入拉普拉斯方程，则该偏微分方程转化为三个常微分方程。在分别求解出这些常微分方程的通解以后，再利用边界条件确定通解中的积分常数，从而最后求出边值问题的解答。,用分离变量法来求解边值问题时，必须选择适当的坐标系，以使得坐标面与边界面相一致。只有这样，才能比较方便地利用边界条件确定边值问题的解。在不同的坐标系中，分离变量的过程都是一样的，但是结果却是不同的。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,70,分离变量法的适用范围,求解给定边界条件的标量拉普拉斯方程 或标量亥姆霍兹方程,（,1,）,和 ，但 ，；,（,2,）,边界为坐标曲面。,分离变量法的解题步骤,分为三个步骤：,（,1,）,选定坐标系，分离变量，找出含有分离常数和积分常数的通解；,（,2,）,由边界条件确定分离常数以及解的具体形式；,（,3,）,利用,调和函数,的正交性定出积分常数，得到问题的特解。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,71,3.6.1,直角坐标系中的分离变量法,直角坐标系中的变量分离,直角坐标系中的标量拉普拉斯方程,（,3.6.1,）,令 ，其中 、是相互独立的单变量函数。代入拉普拉斯方程得,等式两端同除以 可得,（,3.6.3,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,72,在上式左边的三项中，每一项仅与一个坐标变量有关，要满足（,3.6.3,）式，每一项必然与任何坐标变量都无关，即均为常数。否则，它就不能满足对任意的 均使三项之和为零的要求。,由此可得,式中，称为,分离常数,。,（,3.6.4,）,（,3.6.5,）,（,3.6.6,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,73,分离常数 满足下列,分离方程,（,3.6.7,）,（,1,）,可以是一切实数，即可以 ，也 就是说，可以是实数、虚数或零；,（,2,）,不能同时大于零或小于零，即不能同号；,（,3,）,二维场（）的两个分离常数的平方必定是异号的，即 。,分离常数的性质：,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,74,为不同情况时 的解：,（,1,）,、为实数时,（,2,）,、为虚数时,（,3,）,、时,（,3.6.8,）,（,3.6.9,）,（,3.6.10,）,式中的 都是待定的常数。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,75,和 的通解与 的通解具有类似的形式。三者的乘积即成为拉普拉斯方程（,3.6.1,）的通解。,利用分离变量法得到的通解包含了三种函数形式，即线性函数、三角函数和指数函数（或双曲函数）。不过该通解只是满足了直角坐标系中边值问题所满足的微分方程，即拉普拉斯方程。这个通解对所有能够采用直角坐标系中的分离变量法求解的边值问题都是适用的。而边值问题的解还必须满足特定的边界条件，很显然，只有在通解中满足边界条件的函数才是该特定边值问题的解。因此，在利用分离变量法求解静电场边值问题时，最重要的就是确定既能满足拉普拉斯方程又能满足边界条件的函数形式。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,76,选择通解中的函数形式的几个原则：,（,1,）,通解中的分离常数可以取各种不同的数值。在三维空间中，三个分离常数中只有两个是独立的，第三个由分离方程所确定。如果是二维场，只有一个独立的分离常数；,（,2,）,三个分离常数的平方（）不能同时大于零或小于零，即不能同号。所以静电场的三个分离函数的通解不可能同为三角函数和同为指数函数（或双曲函数）。对于二维静电场而言，通解中的两个分离函数一个是三角函数，另一个必为指数函数（或双曲函数）。,（,3,）,当分离常数为离散值，解为将所有的分离常数所对应的解的和，即级数形式；当分离常数为连续值，利用分离变量法所得到的解是一个积分。,（,4,）,分离常数是利用给定的边界条件，根据三角函数、线性函数和双曲函数的性质来确定；例如，三角函数具有两个以上的函数或导函数的零点，双曲函数在无穷远处趋于无限大等等。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,77,由边界条件确定通解形式,以二维场为例,两种典型的二维问题的边界面,无限长的矩形区域和无限长的半无限深的矩形区域,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,78,二维场的基本问题,在沿着某一个坐标方向的两个边界上场的边界条件为齐次（函数或导函数为零）的二维场。,利用场的叠加性，可以将任意的二维场分解成若干个二维基本问题的场的叠加。（有时还要加上一个线性项）,由于分解的方式不只一种，所以最后得到的解的形式也是不一样的。但是根据解的唯一性，它们都是原问题的解。,原二维问题,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,79,三种不同的分解方式：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,80,二维基本问题的场的通解,（,1,）,沿 方向的两个边界上具有齐次的边界条件,（,2,）,沿 方向的两个边界上具有齐次的边界条件,一般情况下，场域有限时，选取双曲函数；场域无限时，选取指数函数。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,81,由边界条件确定解的具体形式的两个步骤：,（,1,）,代入相关的齐次边界条件确定分离常数和部分待定常数。由于分离常数通常不只一个，所以将会得到级数形式的解，其中级数的每一项的系数还是未定的；,（,2,）,代入非齐次的边界条件，利用三角函数的正交性确定级数中每一项的待定系数，得到问题的最终解。也可以直接利用确定傅立叶级数系数的公式来确定级数的系数。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,82,三角函数的正交性,：,一般形式,常用形式,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,83,周期函数的傅立叶级数展开的系数计算公式,：,一般情况,常用情况,周期,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,84,例,3.6.1,有一只长直的金属槽，其横截面如图,3.6.1,所示。上方的盖板与槽壁有无限小的间隙以使之相互绝缘，盖板的电位为 ，槽壁电位为零。试求该槽内的电位分布。,解：这是一个二维场的基本问题。由于在槽内场沿着 轴方向将出现两个电位零点，即电位沿着 轴方向必为三角函数分布，所以通解应选择成下列形式：,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,85,将边界条件 代入上式，得出,上式要在满足 的所有 值上均成立，必有 ，所以通解变成为,将边界条件 代入上式，得出,同理，上式要在满足 的所有 值上均成立，必有 。但是，。否则将导致槽内电位为零，这与实际情况不符。因而只能 ，即,（,3.6.16,）,（,3.6.15,）,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,86,此时,如此一来，通解变成为,再将边界条件 代入上式，得,（,3.6.17,）,（,3.6.18,）,上面已提到，因此必然有 ，于是得到,式中，。,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边值问题的解法,3-,87,由傅立叶级数展开的系数计算公式,可得,最后，将边界条件 代入上式，得,将上式对,求和，可将此边值问题的解写成,（,3.6.19,）,（,3.6.20,）,即,电磁场与电磁波理论,第,3,章静电场及其边
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