高等数学第二章 极限与连续.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二章 极限与连续,2.1,数列的极限,2.2,函数的极限,2.3,变量的极限,2.4,无穷大量与无穷小量,2.5,极限的运算法则,2.6,两个重要的极限,2.7,利用等价无穷小量代换求极限,2.8,函数的连续性,1,第二章,2.1,数列的极限,定义,：由无穷多个数，构成的有序的一列数：,称为无穷数列，简称数列，,简记为,数列中的各个数称为数列的项，,称为通项。,数列,可以看成以正整数,为自变量的函数。,(,一,),数列,2,例,1,例,2,例,3,这种数列称为常数数列。,例,4,例,5,3,1.,数列极限的定性描述,引例,1.,设有半径为,r,的圆,逼近圆面积,S,.,如图所示,可知,当,n,无限增大时,无限逼近,S,(,刘徽割圆术,),用其内接正,n,边形的面积,(,二,),数列极限,4,“割之弥细,所失弥小，割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想,我国古代魏末晋初杰出数学家刘徽指出：,5,引例,例,1,中的数列来源于我国一篇古典名著,.,公元前四世纪，我国春秋时期的哲学家庄子（约公元前,369,前,286,）在,庄子,天下篇,一书中有一段,富有哲理的名句：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”,.,我们把逐日取下的棰的长度顺次列出来,.,便得到数列,当,n,无限增大时,无限逼近,0,6,定义,设,数列,实数。,如果,无限增大时，,无限趋近于常数,则称数列,以,为极限，记作,或,此时，称数列,收敛,.,否则（即,时，,不以任何常数为极限）,称数列,发散。,7,说明,：,(1).,引例,1,中，圆的面积,(2).,引例,2,中，剩余棒头的长度,8,观察上例中，数列的极限：,例,2,中,例,3,中,例,4,中,不存在；,时,数列,没有固定变化趋势，发散。,当,例,5,中，,不存在。当,时,数列,的变化趋势为无限增大，发散。记,9,2,、数列极限的定量描述,逐次加入定量成分，把极限定性描述转为定量描述。,(1),如果,无限增大时，,无限趋近于常数,则称数列,以,为极限,.,(2),当,充分大时，,任意小，则称数列,以,为极限,.,(3),当,充分大时，,则称数列,以,为极限,.,(4),当,n,N,时,总有,则称数列,以,为极限,.,10,定义,:,若数列,及常数,a,有下列关系,:,当,n,N,时,总有,记作,此时也称数列,收敛,否则称数列,发散,.,几何解释,(,动态地看定义,):,即,或,则称该数列,的极限为,a,当,n,N,时,所有的点,都落在,内。,只有有限个点,落在,的,邻域,之外。,11,几点注意,12,13,例,6.,已知,证明数列,的极限为,1.,证,:,因此,取,则当,时,就有,故,由定义来证，,当,时,就有,当,时,有,当,时,有,当,时,有,对问题进行等价的转化,14,例,6.,已知,证明数列,的极限为,1.,证,2:,欲使,只要,因此,取,则当,时,就有,故,15,“,N,”,定义证明,的步骤，,分三步：,第一步，给定任意正数,；,第二步，由,寻找正整数,N,，这是关键的一步；,第三步，按照定义的模式写出结论,.,16,例,7.,已知,证明,证,:,欲使,只要,取,则当,时,就有,故,故也,可取,也可由,N,与,有关,但不唯一,.,不一定取最小的,N,.,说明,:,取,放大！,17,例,8.,设,证明等比数列,证,:,欲使,只要,即,亦即,因此,取,则当,n,N,时,就有,故,的极限为,0.,为什么限制，,可以限制吗？,18,(,三,),收敛数列的性质,(,补充内容,),证明思想,:,用反证法,.,1.,收敛数列的极限唯一,.,及,且,假设,选,使,a,的,邻域与,b,的,邻域不相交,当,n max(,N,1,N,2,),时,x,n,同,时在这两邻域内,矛盾,19,证,:,用反证法,.,及,且,取,因,故,存在,N,1,从而,同理,因,故,存在,N,2,使当,n,N,2,时,有,使当,n,N,1,时,假设,从而,矛盾,.,因此收敛数列的极限必唯一,.,则当,n,N,时,故假设不真,!,满足的不等式,20,例,4.,证明数列,是,发散的,.,证,:,用反证法,.,假设数列,收敛,则有,唯一极限,a,存在,.,取,则,存在,N,但因,交替取值,1,与,1,内,而此二数不可能同时落在,长度为,1,的开区间,使当,n,N,时,有,因此该数列发散,.,21,2.,收敛数列一定有界,.,即如果,直观,证明思想,邻域内有几乎所有的,x,n,邻域内外只有有限个,x,n,说明,:,此性质反过来不一定成立,.,22,证,:,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界,.,有,说明,:,此性质反过来不一定成立,.,例如,虽,有界但不收敛,.,数列,23,3.,收敛数列的保号性,.,若,且,时,有,直观,:,24,证明思想,:,若,且,时,有,证,:,对,a,0,取,问,:,ab,时,会有什么结论,?,25,推论,2:,若,数列从某项起,推论,1:,若,且,时,有,26,第二章,2.2,函数的极限,函数极限问题是研究当自变量,趋向于,的变化趋势,或趋向于无穷大时，函数,自变量变化,过程有六种形式,:,趋向于一点,趋向于无穷,27,(,一,),自变量趋于有限值时函数的极限,时,函数极限的定义,仿数列极限定义,(,不论多么小,),，,有：,描述,任意地接近,表示,接近,的过程,28,定义,.,设函数,在点,的某去心,邻域内有定义,当,时,有,则称常数,A,为函数,当,时的,极限,或,若,记作,29,注意,30,例,9.,证明,证,:,故,对,任意的,当,时,因此,总有,31,例,10.,证明,证,:,欲使,取,则当,时,必有,因此,只要,32,例,11.,证明,证,:,故,取,当,时,必有,因此,欲使,33,例,12.,证明,:,当,证,:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证,.,必有,放大,只要“大的”,则“小的”必,0,则存在,(,A,0,时,取,正数,则在对应的邻域,上,(0,则存在,以,A,0,为例,50,定理,3.,若在,的某去心,邻域内,且,则,证,:,用反证法,.,则由,定理,2,的某去心,邻域,使在该,邻域内,与已知,所以假设不真,(,同样可证,的,情形,),存在,假设,A,0,总有,则称,函数,当,时为,无穷大,(,正数,X,),记作,总存在,56,又如,铅直渐近线。,57,比如，,渐近线,直线,为,曲线,的,铅直渐近线,.,1.,无穷大是变量,不能与很大的数混淆,;,注,58,(,二,),无穷小,定义,.,若,时,函数,则称,函数,为,时的,无穷小,.,极限为零的变量,称为,无穷小,.,1,、无穷小量的概念,59,当,例如,:,函数,当,时为,无穷小,;,函数,时为,无穷小,;,函数,当,时为无穷小,.,说明,:,2.,零是可以作为无穷小的唯一的数,!,1.,无穷小是变量,不能与很小的数混淆,;,60,其中,(,x,),为,时的,无穷小量,.,定理,.,(,无穷小与函数极限的关系,),意义,1.,将一般极限问题转化为特殊极限问题,(,无穷小,);,61,证,:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证,.,其中,为,时的,无穷小量,.,定理,1,62,2,、无穷小量的性质,性质,1.,有限个无穷小的代数和还是无穷小,.,由此可证,:,有限个,无穷小之和仍为无穷小,.,以三个无穷小的和为例！,设,无穷小,无穷小,只需,证明，两个无穷小的和，仍为无穷小。,分析：,63,时,有,证,:,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,来证,64,说明,:,无限个无穷小之和不一定是无穷小,!,例如，,性质,2.,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,.,即,65,证,:,当,时,有,取,则当,时,就有,故,66,推论,2,.,常数与无穷小的乘积是无穷小,.,推论,2.,有限个无穷小的乘积是无穷小,.,推论,1.,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小,.,都是无穷小,67,例,14.,求,解,:,利用,性质,2,可知,说明,:,y,=0,是,的,渐近线,.,注意，有重要公式：,函数极限与自变量的变化过程有关。,68,(,三,),无穷小与无穷大的关系,若,为,无穷大,为,无穷小,;,若,为,无穷小,且,则,为,无穷大,.,则,据此定理,关于无穷大的问题都可转化为,无穷小来讨论,.,性质,3.,说明,:,69,(,四,),无穷小量阶的比较,都是无穷小,引例,.,但,可见无穷小趋于,0,的速度是多样的,.,观察各极限,70,定义,.,若,则,称,是比,高阶,的无穷小,若,若,若,或,设,是自变量同一变化过程中的无穷小,记作,则,称,是比,低阶,的无穷小,;,则,称,是,的,同阶,无穷小,;,则称,是,的,等价,无穷小,记作,例如,当,时,71,例,15.,证明,:,当,时,证,:,72,第二章,2.5,极限的运算法则,则有,证,:,因,则有,(,其中,为,无穷小,),于是,由性质,1,可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理,知定理结论成立,.,定理,.,若,73,说明,:,此定理可推广到有限个函数相加、减的情形,.,定理,.,若,则有,证明略,.,说明,:,此定理,可推广到有限个函数相乘的情形,.,推论,1.,(,C,为常数,),推论,2.,(,n,为正整数,),74,例,16.,设,n,次多项式,试证,证,:,75,定理,.,若,且,B,0,则有,证明略,例,17.,设有分式函数,其中,都是,多项式,试证,:,证,:,说明,:,若,不能直接用商的运算法则,.,若,76,x,=3,时分母为,0!,例,18.,练习求,77,例,19.,求,解,:,x,=1,时,分母,=0,分子,0,但因,78,例,20.,求,解,:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“,抓大头,”,原式,79,一般有如下结果：,为非负常数,),80,例,21,求,解,注意两个同号的无穷大量之和是无穷大量，两个异号的无穷大量之和是“,”,型不定式,.,本例求极限的方法称为有理化法,.,81,第二章,2.6,两个重要的极限,(,一,),极限存在准则,夹逼准则,;,单调有界准则,;,柯西审敛准则,(,略,).,1.,夹逼准则,(,准则,1-,数列,),直观,:,82,当,时,有,想证,证明直观,:,nN,2,时,nN,1,时,n,max,(N,1,N,2,),时,83,证,:,由,条件,(2),当,时,当,时,取,则当,时,有,由,条件,(1),即,故,84,夹逼准则,(,准则,1-,变量,),直观,:,例,1.,证明,证明：,85,例,2.,证明,证明：,86,例,3.,证明,证,:,利用夹逼准则,.,且,由,87,2.,单调有界数列必有极限,(,准则,2),(,证明略,),88,例,.,设,证明数列,极限存在,.,证,:,利用二项式公式,有,89,大,大,正,又,比较可知,90,根据准则,2,可知数列,记此极限为,e,e,为无理数,其值为,即,有,极限,.,又,91,圆扇形,AOB,的面积,(,二,),两个重要极限,证,:,当,即,亦即,时，,显然有,AOB,的面积,AOD,的面积,故有,92,例,4.,求,解,:,例,5.,求,解,:,令,则,因此,原式,93,例,6.,求,解,:,原式,=,例,.,已知圆内接正,n,边形面积为,证明,:,证,:,说明,:,计算中注意利用,94,2.,证,:,当,时,设,则,95,当,则,从而有,故,说明,:,此极限也可写为,时,令,96,例,.,求,解,:,令,则,说明,：,若利用,则,原式,97,例,7.,求,解,:,例,8.,求,解,:,98,例,.,计算复利息问题：,每期结算一次，本利和为,设本金为 ，,利率为 ，,期数为 。,每期结算 次，期本利和为,如果立即产生，立即结算，即,期本利和为,99,第二章,2.7,利用等价无穷小量代换求极限,定理,1.,证,:,即,即,100,定理,2,.,设,且,存在,则,证,:,等价无穷小替换定理,例如,在极限的,乘除,运算中，等价无穷小可以相互替换！,101,设对同一变化过程,为无穷小,说明,:,无,穷小性质,Th1,2,(1),和差取大规则,:,由等价,得简化某些极限运算的下述规则,.,若,=o(,),例如,(2),因式代替规则,:,界,则,例如,102,例,1.,求,解,:,原,式,103,例,2.,求,解,:,原,式,104,例,3.,求,解,:,原,式,不能滥用等价无穷小代换,.,对于代数和中各无穷小不能分别替换,.,注意,105,例,4.,证明,证明,:,106,第二章,2.8,函数的连续性,可见,函数,在点,（一）、函数连续性的定义,定义,:,在,的,某邻域内有定义,则称,函数,(1),在点,即,(2),极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件,:,存在,;,且,有定义,存在,;,107,continue,若,在,某区间上每一点都连续,则称它在该,区间上,连续,或称它为该,区间上的,连续函数,.,例,1,在,上,连续,.,(,有理整函数,),例,2,有理分式函数,在其,定义域内连续,在,闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,.,108,对自变量的增量,有,函数的增量,左连续,右连续,当,时,有,函数,在点,连续有下列,等价命题,:,109,例,3.,证明函数,在,内,连续,.,证,:,即,这,说明,在,内,连续,.,同样可证,:,函数,在,内,连续,.,110,例,4.,证明函数,在,内,连续,.,证,:,即,这,说明,在,内,连续,.,来证,要使,只要,即,取,即可,111,例,5,证,由定义知,112,例,6,解,右连续但不左连续,113,在,在,（二）、函数的间断点,(1),函数,(2),函数,不,存在,;,(3),函数,存在,但,不连续,:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一,函数,f,(,x,),在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为,间断点,.,在,无定义,;,114,间断点分类,:,第一类间断点,:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点,:,及,中至少一个不存在,称,若,其中有一个为振荡,称,若,其中有一个为,为,可去间断点,.,为,跳跃间断点,.,为,无穷间断点,.,为,振荡间断点,.,115,为其,无穷间断点,.,为其,振荡间断点,.,为,可去间断点,.,例如,:,116,显然,为其,可去间断点,.,(4),(5),为,其跳跃间断点,.,117,例,7,解,118,小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,在点,连续的等价形式,119,可去型,第一类间断点,o,y,x,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,o,y,x,o,y,x,o,y,x,120,（三）、连续函数的运算法则,极限性质,容易把极限性质转化为连续函数性质,如,121,定理,1.,在某点连续的,有限个,函数经,有限次,和,差,积,(,利用极限的四则运算法则证明,),商,(,分母不为,0),运算,结果仍是一个在该点连续的函数,.,在其,定义域内连续,例如,122,定理,2.,连续单调递增 函数的反函数,例如,在,上,连续单调递增，,其,反函数,(,递减,).,(,证明略,),在,1,1,上也连续单调递增,.,递增,(,递减,),也,连续单调,反三角函数在其定义域内皆连续,.,123,在,上,连续 单调 递增,其,反函数,在,上也连续单调递增,.,又,如,124,定理,3,定理,4.,连续函数的复合函数是连续的,.,即,:,设函数,则复合函数,且,即,加强条件有,:,注意定理,4,是定理,3,的特殊情况,.,(,证明略,),125,意义,极限符号可以与函数符号互换,;,例,8.,求,解,:,原式,126,例,9,.,是由连续函数链,因此,在,上连续,.,复合而成,127,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,.,基本初等函数的连续性,(,均在其定义域内连续,),（四）、初等函数的连续性,Ex,128,基本初等函数在定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在,定义区间内,连续,例如,的,连续区间为,(,端点为单侧连续,),的,连续区间为,的,定义域为,因此它无连续点,而,定义区间是指包含在定义域内的区间,.,129,例,10,.,讨论,的连续性。,解,:,130,的连续性。,例,10.,讨论,131,(,五,),利用函数连续性求函数极限,1.,利用初等函数连续性求函数极限,例,11.,求,解,:,初等函数,在,例,12,求,解,:,132,例,13.,求,解,:,令,则,原式,说明,:,当,时,有,2.,利用连续函数符号与极限符号可交换,如例,8,中，,133,例,14.,求,解,:,原式,说明,:,若,则有,134,小结,基本初等函数在定义域内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,极限计算中的应用,135,（六）在闭区间上连续函数的性质,定义,.,设函数,则称,如果,定义在,D,上，,有,在,D,上有,最大值，,并称,在,D,上的,最大值,为,称,在,D,上的,最大值点,为,小,小,小,例如：,在,内最大值为,1,，最小值为,1,在,内最大值为,2,，最小值为,0,1.,最值定理,136,注意,:,若函数在,开区间,上连续,结论不一定成立,.,定理,4.,在,闭区间,上连续的函数,即,:,设,则,使,值和最小值,.,或在闭区间内,有间断,在该区间上一定有最大,(,证明略,),点,137,例如,无,最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,138,推论,.,由,定理,1,可知有,证,:,设,上,有界,.,在闭区间上连续的函数在该区间上有界,.,139,定理,5.,(,零点定理,),至少有一点,且,使,(,证明略,),2,、介值定理,140,定理,6.,(,介值定理,),设,且,则对,A,与,B,之间的任一数,C,一点,证,:,作辅助函数,则,且,故由,零点定理知,至少有一点,使,即,使,至少有,141,几何解释,:,推论,:,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值,之间的任何值,.,142,例,15.,证明方程,一个根,.,证,:,显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明,:,内必有方程的根,;,取,的中点,内必有方程的根,;,可用此法求近似根,.,二分法,在区间,内至少有,则,则,143,例,16.,证明方程,内各有,一个实根,.,证,:,显然,又,在区间,是所给方程的实根。,又三次方程只有三个根，,所以各,区间只存在一个实根。,故据零点定理,存在,使,144,小结,在,上达到最大值与最小值,;,上可取最大与最小值之间的任何,值,;,4.,当,时,使,必存在,上有界,;,在,在,145,