高三数学二轮复习第一篇专题突破专题四数列刺第1讲等差数列与等比数列文.ppt

*,*,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,*,*,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,考情分析,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,总纲目录,*,*,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,考点聚焦,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,随堂检测,*,*,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,典题精练,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,题型特点,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,题组训练,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,真题回访,第1讲等差数列与等比数列,考情分析,总纲目录,考点一 等差、等比数列的基本运算(高频考点),考点二 等差、等比数列的性质,考点三 等差、等比数列的判断与证明,考点四 数列中的数学文化,考点一等差、等比数列的基本运算(高频考点),命题点,1.等差(比)数列中,a,1,、,n,、,d,(,q,)、,a,n,、,S,n,的计算;,2.等差、等比数列的交汇运算.,1.等差数列的通项公式及前,n,项和公式,a,n,=,a,1,+(,n,-1),d,;,S,n,=,=,na,1,+,d,.,2.等比数列的通项公式及前,n,项和公式,a,n,=,a,1,q,n,-1,(,q,0);,S,n,=,=,(,q,1).,典型例题,(2017课标全国,17,12分)已知等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,等比数列,b,n,的前,n,项和为,T,n,a,1,=-1,b,1,=1,a,2,+,b,2,=2.,(1)若,a,3,+,b,3,=5,求,b,n,的通项公式;,(2)若,T,3,=21,求,S,3,.,解析,设,a,n,的公差为,d,b,n,的公比为,q,则,a,n,=-1+(,n,-1),d,b,n,=,q,n,-1,.,由,a,2,+,b,2,=2得,d,+,q,=3.,(1)由,a,3,+,b,3,=5得2,d,+,q,2,=6.,联立和解得,(舍去),或,因此,b,n,的通项公式为,b,n,=2,n,-1,.,2.(2017课标全国理,9,5分)等差数列,a,n,的首项为1,公差不为0.若,a,2,a,3,a,6,成等比数列,则,a,n,前6项的和为,(),A.-24B.-3C.3D.8,答案,A设等差数列,a,n,的公差为,d,依题意得,=,a,2,a,6,即(1+2,d,),2,=(1,+,d,)(1+5,d,),解得,d,=-2或,d,=0(舍去),又,a,1,=1,S,6,=6,1+,(-2)=-24.故,选A.,考点二等差、等比数列的性质,1.等差数列的性质,(1)若,m,n,p,q,N,*,且,m,+,n,=,p,+,q,则,a,m,+,a,n,=,a,p,+,a,q,;,(2),S,m,S,2,m,-,S,m,S,3,m,-,S,2,m,仍成等差数列;,(3),a,m,-,a,n,=(,m,-,n,),d,d,=,(,m,n,N,*,);,(4),=,(,A,2,n,-1,B,2,n,-1,分别为,a,n,b,n,的前2,n,-1项的和).,2.等比数列的性质,(1)若,m,n,r,s,N,*,且,m,+,n,=,r,+,s,则,a,m,a,n,=,a,r,a,s,;,(2),a,n,=,a,m,q,n,-,m,;,(3)当,a,n,的公比,q,-1(或,q,=-1且,m,为奇数)时,数列,S,m,S,2,m,-,S,m,S,3,m,-,S,2,m,是等,比数列.,典型例题,(1)(2017陕西西安八校联考)已知数列,a,n,是等比数列,数列,b,n,是,等差数列,若,a,1,a,6,a,11,=-3,b,1,+,b,6,+,b,11,=7,则tan,的值是,(),A.-,B.-1C.-,D.,(2)设,S,n,是等差数列,a,n,的前,n,项和,S,10,=16,S,100,-,S,90,=24,则,S,100,=,.,(3)在数列,a,n,中,a,1,=,a,2,=,a,n,a,n,+2,=1,则,a,2 016,+,a,2 017,=,.,答案,(1)A(2)200(3),解析,(1)依题意得,=(-,),3,3,b,6,=7,a,6,=-,b,6,=,又,=,=-,故tan,=tan,=tan,=-tan,=-,选A.,(2)依题意,知,S,10,S,20,-,S,10,S,30,-,S,20,S,100,-,S,90,依次成等差数列,设该等差数列的,公差为,d,.,又,S,10,=16,S,100,-,S,90,=24,因此,S,100,-,S,90,=24=16+(10-1),d,=16+9,d,解得,d,=,因此,S,100,=10,S,10,+,d,=10,16+,=200.,(3)依题意知,a,3,=2,a,4,=3,a,5,=,a,6,=,数列,a,n,是周期为4的数列,a,2 016,+,a,2 017,=,a,4,+,a,1,=,.,应用数列性质解题的方法,(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关,系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.,(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质,特别是等差数列中“若,m,+,n,=,p,+,q,则,a,m,+,a,n,=,a,p,+,a,q,(,m,n,p,q,N,*,)”这一性质与求和公式,S,n,=,的综合,应用.,方法归纳,跟踪集训,1.在正项等比数列,a,n,中,a,n,+1,a,n,a,2,a,8,=6,a,4,+,a,6,=5,则,=,(),A.,B.,C.,D.,答案,D由题意可知,a,2,a,8,=,a,4,a,6,=6,又,a,4,+,a,6,=5,a,n,+1,a,n,所以,a,4,=3,a,6,=2,所,以,=,=,.,2.在等差数列,a,n,中,a,3,+,a,4,+,a,5,+,a,6,+,a,7,=50,前,k,项之和,S,k,是一个不含,k,的常,数,则,的值为,(),A.5B.10C.15D.20,答案,B解法一:由等差数列的性质及,a,3,+,a,4,+,a,5,+,a,6,+,a,7,=50,得,a,3,+,a,7,=,20.,而,S,9,=,=,=90(常数),k,=9,S,9,=90.,=,=10.故选B.,解法二:由,S,k,=,知,=,.,只需,为常数即可,由等差数列的性质及,a,3,+,a,4,+,a,5,+,a,6,+,a,7,=50,得,a,3,+,a,7,=20.,即,a,1,+,a,9,=,a,3,+,a,7,=20,为常数,=,=,=10.故选B.,解法三:由,a,3,+,a,4,+,a,5,+,a,6,+,a,7,=50,得,a,1,+4,d,=10.,S,k,=,ka,1,+,d,=,k,(10-4,d,)+,d,=,d,+10,k,.,要使,S,k,为常数,则,=0,即,k,=0(舍去)或,k,=9.,S,9,=9,a,1,+36,d,=9(,a,1,+4,d,)=9,10,=10,故选B.,考点三等差、等比数列的判断与证明,1.证明数列,a,n,是等差数列的两种基本方法,(1)利用定义证明,a,n,+1,-,a,n,(,n,N,*,)为一常数;,(2)利用等差中项,即证明2,a,n,=,a,n,-1,+,a,n,+1,(,n,2,n,N,*,).,2.证明数列,a,n,是等比数列的两种基本方法,(1)利用定义证明,(,n,N,*,)为一不为零的常数;,(2)利用等比中项,即证明,=,a,n,-1,a,n,+1,(,n,2,n,N,*,).,典型例题,(2017课标全国,17,12分)记,S,n,为等比数列,a,n,的前,n,项和.已知,S,2,=2,S,3,=,-6.,(1)求,a,n,的通项公式;,(2)求,S,n,并判断,S,n,+1,S,n,S,n,+2,是否成等差数列.,解析,(1)设,a,n,的公比为,q,由题设可得,解得,q,=-2,a,1,=-2.,故,a,n,的通项公式为,a,n,=(-2),n,.,(2)由(1)可得,S,n,=,=-,+(-1),n,.,由于,S,n,+2,+,S,n,+1,=-,+(-1),n,=2,=2,S,n,故,S,n,+1,S,n,S,n,+2,成等差数列.,判断或证明一个数列是等差、等比数列时应注意的问题,(1)判断一个数列是等差(等比)数列,还有通项公式法及前,n,项和公式法,但不作为证明方法.,(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列,只需判断存在连续三项不成,等差(等比)数列即可.,(3),=,a,n,-1,a,n,+1,(,n,2,n,N,*,)是,a,n,为等比数列的必要而不充分条件,也就,是判断一个数列是等比数列时,要注意各项不为0.,方法归纳,跟踪集训,数列,a,n,满足,a,1,=1,a,2,=2,a,n,+2,=2,a,n,+1,-,a,n,+2.,(1)设,b,n,=,a,n,+1,-,a,n,证明,b,n,是等差数列;,(2)求,a,n,的通项公式.,解析,(1)证明:由,a,n,+2,=2,a,n,+1,-,a,n,+2得,a,n,+2,-,a,n,+1,=,a,n,+1,-,a,n,+2,即,b,n,+1,=,b,n,+2.,又,b,1,=,a,2,-,a,1,=1.,所以,b,n,是首项为1,公差为2的等差数列.,(2)由(1)得,b,n,=1+2(,n,-1),即,a,n,+1,-,a,n,=2,n,-1.,于是,所以,a,n,+1,-,a,1,=,n,2,即,a,n,+1,=,n,2,+,a,1,.,又,a,1,=1,所以,a,n,的通项公式为,a,n,=,n,2,-2,n,+2.,考点四数列中的数学文化,典型例题,中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请,公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第,二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问,第二天走了,(),A.192里B.96里C.48里D.24里,解析,由题意,知每天所走路程形成以,a,1,为首项,公比为,的等比数列,则,=378,解得,a,1,=192,则,a,2,=96,即第二天走了96里.故选B.,答案,B,方法归纳,涉及等比数列的数学文化题频繁出现在考试试题中.解决这类问题的关,键是将古代实际问题转化为现代数学问题,掌握等比数列的概念、通项,公式和前,n,项和公式.,跟踪集训,1.(2017湖南长沙模拟)九章算术是我国古代第一部数学专著,全书,收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自,上而下各节的容积成等比数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容,积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中第2节,第3节,第8,节竹子的容积之和为,(),A.,升B.,升C.,升D.,升,答案,A自上而下依次设各节竹子的容积分别为,a,1,a,2,a,9,依题意,有,因为,a,2,+,a,3,=,a,1,+,a,4,a,7,+,a,9,=2,a,8,故,a,2,+,a,3,+,a,8,=,+,=,.,选A.,2.(2017河南郑州质量检测(一)张丘建算经卷上第22题为:“今有,女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为今有女,子善织布,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第一天织5尺,布,现在一个月(按30天计)共织390尺布.则该女最后一天织,尺布.,(),A.18B.20C.21D.25,答案,C依题意得,该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等,差数列,设为,a,n,(,n,=1,2,30),其中,a,1,=5,S,30,=390,于是有,=390,解得,a,30,=21,即该女最后一天织21尺布,选C.,1.(2017河北石家庄质量检测(一)已知等差数列,a,n,的公差为5,前,n,项和,为,S,n,且,a,1,a,2,a,5,成等比数列,则,S,6,=,(),A.80B.85C.90D.95,随堂检测,答案,C由题意,得(,a,1,+5),2,=,a,1,(,a,1,+4,5),解得,a,1,=,所以,S,6,=6,+,5=90,故选C.,2.(2017四川成都质量检测(二)在等比数列,a,n,中,已知,a,3,=6,a,3,+,a,5,+,a,7,=,78,则,a,5,=,(),A.12B.18C.24D.36,答案,B,a,3,+,a,5,+,a,7,=,a,3,(1+,q,2,+,q,4,)=6(1+,q,2,+,q,4,)=78,1+,q,2,+,q,4,=13,q,2,=3,所,以,a,5,=,a,3,q,2,=6,3=18.故选B.,3.(2016课标全国,17,12分)已知各项都为正数的数列,a,n,满足,a,1,=1,-,(2,a,n,+1,-1),a,n,-2,a,n,+1,=0.,(1)求,a,2,a,3,;,(2)求,a,n,的通项公式.,解析,(1)由题意得,a,2,=,a,3,=,.,(2)由,-(2,a,n,+1,-1),a,n,-2,a,n,+1,=0得2,a,n,+1,(,a,n,+1)=,a,n,(,a,n,+1).,因为,a,n,的各项都为正数,所以,=,.,故,a,n,是首项为1,公比为,的等比数列,因此,a,n,=,.,