第三章 点、线、面的投影.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 点、线、面的投影,学习目标与要求：,本章主要介绍立体表面点、直线、平面投影的基本概念及其投影特性。通过学习,应该达到以下要求:,1.掌握点的类型、投影特性和两点的相对位置,了解重影点概念。,2.掌握直线的类型、投影特性。,3.掌握平面的表示方法及其投影特性。,点、线、面的符号,规定,空间形体,上的点用大写字母,A,、,B,、,C,表示，其,H,面投影,用相应的,a,、,b,、,c,表示，,V,面投影,用相应的,a,、,b,、,c,表示，,W,面投影,用,a,、,b,、,c,。,投影图中直线段,的标注，用直线段两端的字母表示。,空间的面,通常用,P,、,Q,、,R,表示。,第一节 点的投影,任一形体都可视为由点、线、面所组成，其中,点,是最基本的几何元素。,一、点的三面投影及其规律,空间点,A,放置在三面投影体系中，过点,A,作垂直于,H,面、,V,面、,W,面的投影线,A,H,V,O,X,Y,Z,a,a,a,x,a,a,y,a,z,W,a,a,a,O,X,Y,H,Z,Y,W,点的三面投影图,a,x,a,y,a,z,a,y,a,a,a,O,X,Y,H,Z,Y,W,点的投影规律,a,x,a,y,a,z,a,y,水平投影和正面投影的连线垂直于,OX,轴,（长对正）,；,正面投影和侧面投影的连线垂直于,OZ,轴,（高平齐）,；,水平投影到,OX,轴的距离等于侧面投影到,OZ,轴的距离,（宽相等）,。,可得出点的投影特性如下：,（,1,）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。,（,2,）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。,一般只画出投影轴，不画投影面的边框,【,例,3-1】,已知点,A,的水平投影,a,和正面投影,a,，求其侧面投影,a,解,:,作图步骤如下,二、点的投影与坐标,H,面：,a(x,y),V,面：,a,(x,z),W,面：,a,(y,z),1,、投影与坐标,引入直角坐标系的概念，点,A,的空间位置可用直角坐标表示为,A,（,x,，,y,，,z,），其中,x,表示,A,点到,W,面的距离，,y,表示,A,点到,V,面的距离，,z,表示,A,点到,H,面的距离。,【,例,3-2】,已知点,A(14,10,，,20),，作其三面投影图。,解,:,作图步骤如下,（,1,）方法一,（,2,）方法二,2,特殊位置点的投影,（,1,）投影面上的点,（,2,）投影轴上的点,三、两点的相对位置,空间两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断另一个点在该点的,前或后、左或右、上或下,。,空间两点的相对位置用坐标来表示：,X,坐标大者在左，小者在右；,Y,坐,标大者在前，小者在后；,Z,坐标大者在上，小者在下。,如果已知两点的相,对位置，以及其中一点的投影，也可以作出另一点的投影。,在投影面的重影点,H,面的重影点,W,面的重影点,V,面的重影点,重影：,当两个点处于某一投影面的同一条投射线上，则两个点在这个投影面上的投影便互相重合。,直观图,投影图,重影的特性：,如图所示：点,A,在点,B,的正上方，则其在,H,面上的投影,a,和,b,重合，,A,、,B,点即为,H,面的重影点。由于,A,点在上，,B,点在下，向,H,面投影时，投射线先遇点,A,，后遇点,B,，所以点,A,的投影,a,可见，点,B,的投影,b,不可见。因此,为了区别重影点的可见性，将不可见点的投影用字母加括号表示,，即为,a(b),。则它们的,X,、,Y,坐标相同，,Z,坐标不同。,V,H,X,O,B,A,a,b,a,b,由于直线的投影一般,情况下仍为直线，且,两点,决定一直线，故,要获得直线的投影，,只需,作出,已知直线上,的,两个点的投影,，再,将它们相连即可。,第二节 直线的,投影,按直线与三个投影面之间的相对位置，将直线分为三类：,投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线。,前两类统称为特殊位置直线。,直线与投影面垂直,直线与投影面平行,直线与投影面倾斜,直线的分类,定义：,平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的直线。,水平线,平行于,H,面，同时倾斜于,V,、,W,面的直线。,正平线,平行于,V,面，同时倾斜于,H,、,W,面的直线。,侧平线,平行于,W,面，同时倾斜于,H,、,V,面的直线。,一、投影面平行线,分类：,A,B,V,W,H,X,Y,Z,O,水平线,（,平行,H,面，同时倾斜于,V,、,W,面的直线）,a,a,b,a,b,b,X,a,b,a,b,b,a,O,Z,Y,H,Y,W,水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于,OZ,轴,V,W,H,X,Y,Z,O,A,B,正平线,（平行,V,面，同时倾斜于,H,、,W,面的直线）,a,a,b,a,b,b,正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于,OY,轴,X,a,b,a,b,b,a,O,Z,Y,H,Y,W,V,W,H,X,Y,Z,O,A,B,侧平线,（平行,W,面，同时倾斜于,H,、,V,面的直线）,a,a,b,a,b,b,侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于,OX,轴,b,X,Z,a,b,b,a,O,Y,H,Y,W,a,投影面平行线的投影特性,投影面平行线的投影特性可概括如下：,（,1,）直线在它所平行的投影面上的投影,反映实长,，且倾斜于投影轴，该投影与相应投影轴之间的夹角，,反映直线与另两个投影面的倾角,。,（,2,）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且小于实长。,事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与其他两投影面夹角的实形。,如图所示：,直线与投影面之间的夹角，称为直线的倾角。直线对,H,面、,V,面、,W,面的倾角分别用希腊字母,、,、,标记。,定义：,垂直于一个投影面。,二、投影面垂直线,分类：,铅垂线,垂直于,H,面，同时平行于,V,、,W,面的直线。,正垂线,垂直于,V,面，同时平行于,H,、,W,面的直线。,侧垂线,垂直于,W,面，同时平行于,H,、,V,面的直线。,V,W,H,X,Y,Z,O,A,B,铅垂线,（垂直于,H,面，同时平行于,V,、,W,面的直线）,Z,b,X,a,b,a(b),O,Y,H,Y,W,a,b,a(b),a,a,b,1.,ab,积聚为一点,;,2.,a,b,a,b,OZ,;,3.,a,b,=,a,b,=,AB,特性：,V,W,H,X,Y,Z,O,A,B,正垂线,（垂直于,V,面，同时平行于,H,、,W,面的直线）,Z,X,(a,)b,b,a,O,Y,H,Y,W,a,b,b,a,b,a,b,a,1.,c,d,积聚为一点,2.,cd,OYH,c,d,OYW,3.,cd,=,c,d,=,CD,特性：,V,W,X,Y,Z,O,A,B,H,侧垂线,（垂直于,W,面，同时平行于,H,、,V,面的直线）,b,a,a,b,a,b,Y,W,Z,X,a,(b,),b,a,O,Y,H,a,b,1.,e,f,积聚为一点,2.,ef,e,f,OX,3.,ef,=,e,f,=,EF,特性：,投影面垂直线的投影特性,投影面垂直线的投影特性可概括如下：,（,1,）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；,（,2,）直线的另外两个投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。,事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必垂直于积聚投影所在的投影面。,【例3,-,3】已知直线,AB,的水平投影,ab,AB,对,H,面的倾角为30,端点,A,距水平面的距离为10,A,点在,B,点的左下方,求,AB,的正面投影,a,b,如图3,-,8a所示。,图3-8作正平线的V投影,解:(1)作图分析,由已知条件可知,AB,的水平投影,ab,平行于,OX,轴,因而,AB,是正平线,正平线的正面投影与,OX,轴的夹角反映直线与,H,面的倾角。,A,点到水平面的距离等于其正面投影,a,到,OX,轴的距离,从而先求出,a,。,(2)作图步骤,1)过,a,作,OX,轴的垂线,aaX,在,aaX,的延长线上截取,a,aX,=10,如图3-8b所示。,2)过,a,作与,OX,轴成30,的直线,与过,b,作,OX,轴垂线,bbX,的延长线相交,因,A,点在,B,点的左下方,故所得交点即为,b,连接,a,b,即为所求,如图3-8c所示。,A,B,V,W,H,X,Y,Z,O,三、一般位置直线,定义：,对三个投影面都倾斜（既不平行又不垂直）的直线。,Z,X,a,b,a,O,Y,H,Y,W,a,b,b,b,b,a,b,a,a,一般位置直线的投影特性,一般位置直线的投影特性：,1,）,一般线在三个投影面上的投影都倾斜于投影轴,其投影与相应投影轴的夹角不能反映真实的倾角。,2,）,三个投影的长度都小于实长。,事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。,例题：用直角三角形法求一般位置直线的实长与倾角。,如图3-10a所示,AB,为一般位置直线,在,AB,与其水平投影,ab,所决定的平面,ABba,内,过点,A,作,AB,1,ab,与,Bb,相交于,B,1,由于,Bb,ab,所以,AB,1,BB,1,ABB,1,为直角三角形。该直角三角形的斜边是一般线,AB,本身,BAB,1,=,是,AB,对,H,面的倾角,直角边,AB,1,等于,ab,另一直角边,BB,1,是,A,、,B,两点到,H,面的距离差,ZB,-,ZA,如果能作出,ABB,1,便可以求出一般线,AB,的实长和倾角。,在图3-10b中,AB,的水平投影,ab,已知,以,ab,为一直角边,以,A,、,B,高度的差值(即,ZB,-,ZA,:在投影图中,过,a,作一水平线,与连线,bb,相交于,b,1,b,b,1,即为,ZB,-,ZA,)为另一直角边,作直角三角形(符号为),abB,0,abB,0,ABB,1,aB,0即为一般线,AB,的实长,baB,0为直线,AB,与,H,面的倾角,。,同理,求,AB,对,V,面的倾角,可以,a,b,作一直角边,A,、,B,两点的,y,坐标差,YA,-,YB,(即,a,、,b,前后方向的距离差,可在水平投影中找出)为另一直角边,在,V,投影上作,A,0,a,b,A,0,a,b,ABA,1,0,b,即为一般线,AB,的实长,A,0,b,a,为直线,AB,与,V,面的倾角,如图3-10c所示。,第三节 平面的投影,一、平面的表示方法,二、各种位置平面的投影,一、平面的表示方法,1,、用几何元素表示平面,平面的空间位置，可用下列任何一组几何元素来表示。,（,1,）不在同一直线上的三点,A,、,B,、,C,最基本的表示方法,（,2,）一直线和该直线外一点,BC,、,A,（,3,）相交两直线,ABAC,（,4,）平行两直线,AB/CD,（,5,）平面图形,ABC,不但能确平面的位置，而且能表示平面的形状和大小。,2,、用迹线表示平面,迹线：平面与投影面的交线。,迹线平面：用迹线来表示的平面。,水平迹线：,P,平面与,H,面的交线，用,P,H,表示,正面迹线：,P,平面与,V,面的交线，用,P,V,表示,侧面迹线：,P,平面与,W,面的交线，用,P,W,表示,用迹线表示平面,一般情况下，相邻两条迹线相交于投影轴上，它们的交点也就是平面与投影轴的交点。分别用,Px,，,Py,，,Pz,来表示。三条迹线的任意两条就可以确定平面的空间位置。,迹线的投影及其表示：,由于迹线位于投影面上，它的一个投影与自身重合，另外两个投影与投影轴重合，通常用,只画出与自身重合的投影并加标记的办法来表示迹线，凡是与投影轴重合的投影均不标记。,二、各种位置平面的投影,空间平面,特殊位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,平,面的投影,平面之投影：平面,与,投影面之相,对,位置的不同，而有下列三,种,情形：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,1.,投影面平行面,对一个投影面平行，同时垂直于其它两个投影面的平面。,水平面,平行于,H,面，同时垂直于,V,、,W,的平面,正平面,平行于,V,面，同时垂直于,H,、,W,的平面,侧平面,平行于,W,面，同时垂直于,H,、,V,的平面,V,X,H,W,Y,Z,O,（,1,）水平面,p,p,p,1,、水平投影,p,反映实形；,2,、正面投影,p,和侧面投影,p,积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。,X,Y,W,Z,O,Y,H,p,p,p,P,（,1,）迹线平面,1,、无水平迹线；,2,、,Pv/OX,轴，,Pw/OYw,轴，有积聚性。,V,X,H,W,Y,Z,O,（,2,）正平面,1,、正面投影,q,反映实形；,2,、水平投影,q,和侧面投影,q,积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。,q,q,q,X,Y,W,Z,O,Y,H,q,q,q,Q,（,2,）迹线平面,1,、无正面迹线；,2,、,Q,H,/OX,轴，,Qw/OZ,轴，有积聚性。,V,X,H,W,Z,O,Y,（,3,）侧平面,r,r,r,1,、侧面投影,r,反映实形；,2,、水平投影,r,和正面投影,r,积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。,X,Y,W,Z,Y,H,O,r,r,r,Q,（,3,）迹线平面,1,、无侧面迹线；,2,、,R,H,/OY,H,轴，,R,V,/OZ,轴，有积聚性。,总结,投影面平行面的投影特性可概括如下：,（,1,）平面在它所平行的投影面上的投影反映实形；,（,2,）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。,事实上，在平面的两面投影中，若有一面投影积聚为平行于某投影轴的直线，则此平面必为该投影轴相邻的投影面的平行面。,2.,投影面垂直面,垂直于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的平面。,铅垂面,垂直于,H,面，同时倾斜于,V,、,W,的平面,正垂面,垂直于,V,面，同时倾斜于,H,、,W,的平面,侧垂面,垂直于,W,面，同时倾斜于,H,、,V,的平面,V,X,H,W,Z,O,Y,X,Z,O,Y,H,Y,W,（,1,）铅垂面,1,、,水平投影积聚为一直线，并反映对,V,、,W,面的倾角,、,的实形；,2,、,正面投影,p,和侧面投影,p,均不反映实形且变小。,P,p,p,p,p,（,1,）迹线平面,1.,P,H,有积聚性,它与,OX,轴的夹角反映,;它与,OY,H,的夹角反映,2.,P,V,OX,轴,P,W,OYW,轴,V,X,H,W,Z,O,Y,（,2,）正垂面,1.正面投影,q,积聚为一直线,并反映对,H,、,W,面的倾角,、,2.水平投影,q,和侧面投影,q,是,Q,相类似的图形,且面积缩小,X,Z,O,Y,H,Y,W,Q,q,q,q,（,2,）迹线平面,1.QV有积聚性,它与OX,轴的夹角反映;它与OZ,轴的夹角反映,2.QHOX轴,QWOZ,轴,V,X,H,W,Z,O,Y,（,3,）侧垂面,1.侧面投影,r,积聚为一直线,并反映对,H,、,V,面的倾角,、,2.水平投影,r,和正面投影,r,是,R,相类似的图形,且面积缩小,X,Z,O,Y,H,Y,W,R,r,r,r,（,3,）迹线平面,1.无侧面迹线,RW,2.,RH,OYH,轴，,RV,OZ,轴,有积聚性,总结,投影面垂直面的投影特性可概括如下：,（,1,）平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条斜线，该斜线与投影轴的夹角反映该平面与相应投影面的夹角；,（,2,）平面在另外两个投影面上的投影不反映实形，且变小。,事实上，在平面的投影中，若某一投影面上的投影积聚为一条斜线，则该平面必为该投影面的垂直面。,3.,一般位置平面,对三个投影面都倾斜的平面。,V,X,H,W,Z,O,Y,X,Z,O,Y,H,Y,W,三个投影均为类似形，不反映实形和倾角，也不积聚。,【,例,3-4】,如图,3-14a,所示，已知正方形平面,ABCD,垂直于,V,面以及,AB,的两面投影，求作此正方形的三面投影图。,解：,(1),作图分析,(2),作图步骤,本章小结,1.,点的投影,2.,直线的投影,3.,平面的投影,