波形和频谱分析一.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,波形、频谱与随机信号分析,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,波形、频谱与随机信号分析,*,波形和频谱分析一,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,第一章 波形、频谱与随机过程分析,信息产业的三大支柱：,1.,信息获取（传感器、仪器：量值信息）,2.,信息传递（通讯设备）,3.,信息处理（计算机）,本课程主要是研究,“,信息处理,”,问题。,波形,、,频谱,与,随机信号,处理是现代信息处理,技术的主要内容之一,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,1.1.1,观测数据的波形与频谱,1.,波形：,时间,横坐标,、物理观测量（,幅值,）,纵坐,标,，得到一种变化的图形，称之为,时域波形,；,电、磁、光,力、位移、速度、加速度,（机械量）,观测数据,时间,幅值,O,1.1,波形与频谱的基本概念,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,2.,频谱：,频率,横坐标,、经数学变换后的物理观测量,（如：,幅值,、,相位,、,功率,）,纵坐标,，得到一种变化的图,形或谱线，称之为频谱。,3.,波形分析：,一般是指对观测信号在,时间域,和,幅值域,里,进行分析,，,以得到描述观测信号的各种特征或关系。,例如：,波形的起始时间与持续时间,波形的时间滞后,波形的畸变,波形与波形之间的相似程度,4.,频谱分析：,是对观测信号在,频率域,内进行分析，得,到：,幅值谱,/,相位谱,，,功率谱,，,互谱密度,等,分析,结果。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,5.,波形与频谱的关系,：,波形分析 频谱分析，即,式中，,X,(,),是,x,(,t,),的,傅立叶变换,，,x,(,t,),是,X,(,),的,傅立叶,逆变换,。,图,1-1,直观地表示了,时间域,和在,频率域,观测信号之间的,有机联系。,谱分析,的,数学工具,傅立叶级数,傅立叶积分,FT,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,t,谱线,2,f,图,1-1,波形与频谱,（,a,）时域波形,；,（,b,）时频关系,；,（,c,）频域谱线,(b),(a),幅值,幅值,时域观测,频域观测,(c),2,f,幅值,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,绝大多数观测中是,看不到真实波形,的；,实际观测到的波形,无法与真实波形进行比较,。,这样就可能把已“扭曲”的测试数据当作结果加以应用！,因此，,未经分析处理、修正反演,而简单地根据,测试波形,直接,求得的,结果，,往往会产生很大的,误差，,有时甚至会得出,错误,的结果,。,波形的分析与处理,的目的之一,就是要避免出现这种情,况。,观测波形,失真,畸变,哈哈镜,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,1.1.2,观测数据的类型与描述,观测波形,在,容差,内,可重复,在,容差,内,不可重复,确定性,数据,随机性,数据,观测波形,周期性,数据,非周期性,数据,简谐周期,数据,复杂周期,数据,准周期,数据,瞬变,数据,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,1.,简谐周期数据,:,可用下列形式的函数来描述：,（,1.1.1,）,式中：,A,振幅,；,f,0,=1/,T,频率,，表示波在,单位时间内,的,循环数,；,T,周期,，表示正弦波完成,一次循环,所需的,时间,；,0,=,2,f,0,角频率,；,相对时间原点,的,初始相位,（弧度）,。,例如,:,交流发电机的电压输出，偏心转子的振动,从数据分析的角度出发，简谐数据是观测数据中最简单,的形式。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,2.,复杂周期数据,:,可用周期时变函数表示：,（,1.1.2,）,与简谐周期波形一样，一个波经历的时间称为,周期,T,，,单位时间内,的,循环数,称为,基频,f,1,。显然，简谐周期波是复杂,周期波的一个特例。,复杂周期波可以展成,傅立叶级数,：,（,1.1.3,）,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,式中：,复杂周期数据还可以用,傅立叶级数,的,另一种表达形式,:,（,1.1.4,）,其中,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,如果只考虑复杂周期数据的,幅值谱,，则可用图,1-2,所示的,离散谱线,来表示式（,1.1.4,）的,幅频特性,。,3.,准周期数据,:,准周期数据是一种,非周期数据,，可用下,式表示为,图,1-2,复杂周期数据的频谱（幅值谱,）,X,3,X,2,X,1,X,0,幅值,f,f,0,f,1,f,2,f,3,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,（,1.1.5,）,式中，,f,n,/,f,m,（,n,m,）,在任何情况下都,不等于有理数,。,当两个或多个无关联的周期性现象混合作用时，常常会,出现准周期数据。,例如：多机组内燃机车在发动机不同步时的振动响应就是准周期数,据。,准周期数据,也可用图,1-2,所示的,离散谱线,来表示它的,幅值谱,，其差,别仅仅是,各个分量的频率不再是有理数的关系,。,4.,瞬变非周期数据,:,除了准周期以外的所有非周期信号,都属于瞬变数据。瞬变数据与周期数据不同的一个重要特,征，就是它,不能用离散谱来表示,（连续谱）,。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,在多数情况下，瞬变数据可用傅立叶积分表示,（,1.1.6,）,式中，,|,X,(,)|,幅频特性，,(,),相频特性。二者均为,连续谱,。,1.2,随机过程及其数学特征,观测数据,单个时间历程,样本,函数,某一时间区间,样本,记录,全部时间历程,随机过程,随机数据,确定性变化规律,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,1.2.1,随机过程的基本数字特征,随机过程的,分布函数族,能完善地刻画随机过程的,统计特,性,，但在实际观测中，往往只能得到,部分样本,，用这些样本,来确定分布函数是困难的，甚至是不可能的，因而有必要引,入基本,数字特征,来,描述,随机过程的,统计特性,。,1.,一阶矩或期望值,给定,实,或,复,随机过程,x,(,t,),，固定,t,，则,x,(,t,),是一随机变量，其一阶矩一般与,t,有关，记为,（,1.2.1,）,称,m,x,(,t,),为随机过程,x,(,t,),的,均值,函数,或,数学期望,。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,2.,二阶矩与相关函数,将实或复随机变量,x,(,t,),的,二阶原,点矩,记作,（,1.2.2,）,称它为随机过程,x,(,t,),的,均方值,函数,；而将随机过程,x,(,t,),的,二阶中心矩,分别记作,（,1.2.3,）,称它为随机过程,x,(,t,),的,方差,函数,；其中，,x,称为,均方差,或,标准差,，它表示随机变量,x,(,t,),在,t,时刻,相对于,均值,的,平均偏,离程度,。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,对于任意,t,1,，,t,2,，定义随机变量,x,(,t,1,),和,x,(,t,2,),的,二阶原,点,混合矩,（即,自相关函数,，或简称,相关函数,）为,（,1.2.4,）,式中，,x*,(,t,2,),是,x,(,t,2,),的复共轭。类似地，还可定义随机变量,x,(,t,1,),和,x,(,t,2,),的,二阶中心,混合矩,：,（,1.2.5,）,通常，称它为随机过程,x,(,t,),的,自协方差函数,，简称,协方差,函数,。,自相关函数和自协方差函数是,刻画,随机过程自身在,两个,不同时刻,的状态变量,之间的,统计依赖,关系,。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,自相关函数和协方差函数之间具有如下关系：,当,t,1,=t,2,=t,时，上式变为,类似地，两个随机过程,x,(,t,),和,y,(,t,),的,互相关函数,定,义为,（,1.2.6,）,而它们的,互协方差函数,为,（,1.2.7,）,方差,均方值,均值的平方,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,其中,m,y,(,t,),是随机过程,y,(,t,),的,均值函数,。,若两个随机过程,x,(,t,),和,y,(,t,),分别是为,n,1,和,m,1,的列向量，用上标,H,表示,共轭转置,，则它们的,自相关函数,和,互相关函数,可表示为,式中，,R,x,(,t,1,，,t,2,),为,n,n,矩阵，,R,xy,(,t,1,，,t,2,),为,n,m,矩阵。,相应的,协方差函数,和,互协方差函数,也是,矩阵函数,。,3.,不相关，正交，独立过程,考虑两个随机过程,x,(,t,),和,y,(,t,),：,如果,x,(,t,),和,y,(,t,),是,不相关,的，则,互协方差,函数,为,0,，即：,（,1.2.8,）,先乘后取均值与取均值后再相乘,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,如果,x,(,t,),和,y,(,t,),正交,，则,相关函数,为,0,，即,（,1.2.9,）,如果两个随机变量,x,(,t,),和,y,(,t,),独立,，则有,（,1.2.10,）,其中，,p,(,x,),p,(,y,),和,p,(,x,，,y,),分别表示随机变量,x,(,t,),，,y,(,t,),的,概率密度函数,及二者的,联合概率密度函数,。,对于,零均值,随机过程,不相关,和,正交,是,等价,的,。,上述关系,很容易推广到,n,个随机过程，不赘述。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,1.2.2,平稳过程的基本数字特征,如果随机过程的,统计特性不随时间的推移而变化,。严格,地说，对于某一实数域（通常是指时间域,），如果对任意,的,t,1,，,t,2,，,，,t,n,和任意实数,h,，当,t,1,+h,，,t,2,+,h,，,，,t,n,+h,时，,n,维随机变量,x,(,t,1,),，,x,(,t,2,),，,，,x,(,t,n,),和,x,(,t,1,+h,),，,x,(,t,2,+h,),，,，,x,(,t,n,+h,),具有,相同,的,分布函数,，则称随机过程,x,(,t,),，,t,具有平稳,性，并称此过程为,平稳随机过程,，简称,平稳过程,。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,由平稳过程的定义，对于任意,t,，,t+,T,，一维随机变,量,x,(,t,),和,x,(,t+,),同分布。取,=-t,，则有,（,1.2.11,）,同样，,x,(,t,),的,均方值函数,x,2,和,方差函数,x,2,亦均为,常,数,。在式（,1.2.4,）和（,1.2.5,）中，令,t,2,=t,和,t,1,t,2,=,，就有,（,1.2.12,）,这表明,平稳过程,的,相关函数,和,协方差函数,仅是,时间差,=t,1,t,2,的函数,。当,x,(,t,),为,零均值,平稳过程，就有,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,满足式（,1.2.11,）和（,1.2.12,）的随机过程称为,弱平稳,过程,或,广义平稳过程,；反之，则为,非平稳过程,。相对地，按,分布函数,定义的平稳过程称为,严格平稳过程,。,类似地，如果,R,xy,(,t,1,，,t,2,),只是,时间差,t,1,t,2,=,的,单变量,函数,，记为,R,xy,(,),，则称,x,(,t,),和,y,(,t,),是,平稳相关,的。,平稳相关过程,x,(,t,),和,y,(,t,),的,互协方差函数,可写成,由上式可见，当,x,(,t,),和,y,(,t,),中有一个是,零均值,的，则,互,相关函数,和,互协方差函数,相等,。,前面讨论的平稳和非平稳性概念，是指随机过程,总体平,均,特性而言的。如果可用总体中的某个,样本函数,的,时间平均,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,来代替,总体平均,即对于任意,T,，平稳过程,x,(,t,),中的第,k,个样本函数,x,k,(,t,),的,均值,和,自相关函数,可分别表示成,（,1.2.13,）,（,1.2.14,）,则称此平稳过程具有,各态历经性,或,遍历性,（,ergodicity,）。,在大多数情况下，表示平稳物理现象的随机数据，一般,是,近似各态历经,的。因此，如果能够事先确定某随机过程是,各态历经的，则,只要验证单个样本记录的平稳性，就可有效,地判定该记录所属的随机过程能否满足平稳性和遍历性。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,1.2.3,相关函数的性质,假设,x,(,t,),和,y,(,t,),是平稳相关过程，,R,x,(,),，,R,y,(,),和,R,xy,(,),分别是它们的,自相关函数,和,互相关函数,，则它们具有,以下五个性质,:,R,x,(0),=,E,x,2,(,t,),=,x,2,0,，表示平稳过程,x,(,t,),的“,平,均功率,”。,R,x,*,(,-,),=R,x,(,),；,R,xy,*,(,),=R,yx,(,-,),。,这些关系,可以从它们的定义直接得到。,关于,相关函数,和,互相关函数,有下列不等式：,根据定义和,Cauchy-Chwartz,不等式,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,可证得。,相关函数,表示同一过程（或波形）,相差时刻,的,相似程,度,。在相关函数中还可以定义,自相关系数,（或归一化协方,差），即波形,x,(,t,),的,协方差函数,与,均方差,之比,：,（,1.2.15,）,互相关函数,表示,两个过程,（或波形）,相差时刻,的,相似,程度,。定义,互相关系数,为,（,1.2.16,）,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,显然,|,x,(,)|1,，,|,xy,(,)|1,。注意，许多教科书将,xy,(,),定义,相关系数,。,如果,x,(,t,),和,y,(,t,),不相关，根据定义式（,1.2.8,），则有,xy,(,),=,0,。这表明随机变量,x,(,t,)-,m,x,和,y,(,t,)-,m,y,是,正交,的，于是,即,（,1.2.17,）,R,x,(,),是,半正定,的，即对于任意数组,t,1,t,n,和,任,意实或复值函数,g,(,t,),都有,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,如果,R,u,是半正定矩阵函数，那么，对于,t,1,t,k,和,C,1,C,k,C,n,有,（,1.2.19,）,（,5,）如果平稳过程,x,(,t,),的概率分布函数满足,P,x,(,t+T,0,),=x,(,t,),=,1,则称它是,周期,为,T,0,的,平稳过程,。,周期平稳过程,的,相关函数,必,是,周期,为,T,0,的,函数,。,1.2.4,功率谱及其性质,首先给出,傅立叶变换对重要定理,，然后将,确定性函数,的,功率谱密度,的定义推广到,随机过程,，建立起,相关函数,与,功率,谱密度,之间的,关系,。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,（,1,）帕塞瓦尔,（,Parseval,）,定理,假设确定性函数,x,(,t,),的傅立叶变换存在，即,（,1.2.20,）,式中，,X,(,),称为,x,(,t,),的,频谱,，它一般是角频率的复函数。,当,x,(,t,),为实函数时，有,其中，,X,*(,),表示,X,(,),的共轭函数。,在,x,(,t,),和,X,(,),之间存在如下关系，即（,Parseval,）定,理：,（,1.2.21,）,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,等式左边表示,x,(,t,),在时域上的总能量，而右边的被积函数,|,X,(,)|,2,称为,x,(,t,),的能谱密度。这样，,Parseval,定理又可理解,为总能量的谱表达式。,（,2,）功率谱密度,很多确定性函数的总能量是无限的，,所以式（,1.2.21,）是无意义的。为此，选有限时间,T,，对,x,(,t,),构造限时（截尾）函数：,（,1.2.22,）,令,T,，则由式（,1.2.21,）可以写出限时函数,x,T,(,t,),在区间,-T,，,T,上的总平均功率：,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,式中，,X,T,(,),是,X,T,(,t,),在,区间,-T,，,T,上的傅立叶变换。,定义,如果,（,1.2.23,）,则称,x,(,),为,x,(,t,),的,功率谱密度函数,，简称,谱密度,；而,x,(,)d,称为,谱分布函数,。,（,3,）平稳过程的谱密度,考虑随机过程,x,(,t,),，当然,x,2,(,t,),也是随机过程。对于随机过程直接使用上式是不方便,的，但只要对式,（,1.2.23,）,两边取,均值,，就可得到适合于平,稳过程的平均功率表达式：,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,（,1.2.24,）,其中，将随机变量,x,(,t,),的谱密度定义为,（,1.2.25,）,对于平稳随机过程,x,(,t,),，均方值函数,E,x,2,(,t,),与时间无,关，由式,（,1.2.24,）,可知,即,平稳过程,的,平均功率,等于该过程的,均方值,或,R,x,(0),。,p.47,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,(4,）维纳,-,辛钦（,Wiener-Khintchine,）公式,谱密度的,一个重要性质表现在它与相关函数的关系上。具体地说，对,于平稳随机数据，这两者可由傅立叶变换联系起来，即,（,1.2.26,）,（,1.2.27,）,证明,考虑式（,1.2.25,），将,x,(,T,),中的平方项写成二,重积分，得到,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,根据相关函数的定义，,E,x,(,t,1,),x,*(,t,2,),=R,x,(,t,1,t,2,),。故有,令,t,1,-,t,2,=,，,t,1,=t,，并将它们代入上式进行变量置换，则,在,图,1-3,的,阴影区域,，有,R,x,(,)=,常数。容易看出，该区域的,面积,等于,(2,T,-|,|,)d,，而,的变化范围为,（,-,2,T,2,T,）,。因,此,于是，由式（,1.2.25,），可得,显然，上式成立的条件是,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,对所考虑的平稳过程，这个条件必须加以检验,证毕,。,图,1-3,x,(,),的二重积分示意图,0,2,T-|,|,t,2,t,1,t,1,t,2,=+,d,t,1,t,2,=,d,d,T,-T,-T,T,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,在式（,1.2.27,）中，令,=,0,，则有,因而，对于所有的,，有,x,(,),0,。,如果随机变量,x,(,t,),是实的，则,R,x,(,),是实的,偶函数,，因此,x,(,),也是,偶函数,，即,x,(,)=,x,(-,),。在这种情况下，基,本关系式（,1.2.26,）和（,1.2.27,）变成,（,1.2.28,）,（,1.2.29,）,按以上定义的谱密度,x,(,),对,的,正负值,都是有定义,的，故称为“,双边谱密度,”。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,为了适应实际测量，考虑定义在,0,，,上的平稳过程,x,(,t,),，定义“,单边谱密度,”如下：,（,1.2.30,）,在此，,X,T,(,),是,x,(,t,),的单边傅立叶变换。,功率谱密度,x,(,),是在频域上描述随机过程,x,(,t,),的统计,规律的最重要数字特征，它的物理意义表示,随机变量,x,(,t,),的,平,均功率,在,频域,上的,分布,。,（,5,）平稳过程的互谱密度,互谱密度函数是在频域上描,述两个随机过程之间的相关性的。在实际应用中，常常利用,测控系统,输入输出的互谱密度,来确定,系统的传递特性,。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,考虑两个平稳数据,x,(,t,),和,y,(,t,),，它们的互谱密度定义为,（,1.2.31,）,式中，,X,T,(,),和,Y,T,(,),分别是,x,T,(,t,),和,y,T,(,t,),的傅立叶变换。容,易证明，,互相关函数,与,互谱密度,是一,傅立叶变换对,，即,（,1.2.32,）,（,1.2.33,）,令,=,0,，就有,若,x,(,t,),是通过一个双端网络的,电压,，,y,(,t,),是产生的输入,电,流,，则,R,xy,(0),就等于输送到该网络的,功率期望值,。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,如果,x,(,t,),和,y,(,t,),正交，则有,（,1.2.34,）,这时就有,（,1.2.35,）,例,1-1,如果随机过程,x,(,t,),的均值为零，且,功率谱密度,等于,正常数,，即,则称此过程为,白噪声过程,，它的功率（或能量）与频率无,关，具有与,白色光,相同的能量分布性质。反之，,功率谱不等,于常数的噪声称为,有色噪声,。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,白噪声的相关函数为,图,1-4,表示白噪声的相关函数和谱密度。可见，,白噪声,可,定义为,均值为零,，,且,相关函数为,函数,的随机过程,x,(,t,),。,这个过程在,t,1,t,2,时，,x,(,t,1,),和,x,(,t,2,),是不相关的。,图,1-4,白噪声,:(a),相关函数,(b),谱密度,N,0,N,0,(,),x,(,),R,x,(,),0,0,(,a,),(,b,),2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,白噪声是一种,理想化,的数学模型，它的,平均功率,R,x,(,0,),是,无限,的。实用上，如果,噪声,的,频谱,在一个,比,实际系统频带,宽,得多,的,范围内,具有,比较“,平坦,”,的,曲线,，就可,近似,地当成,白噪,声,来处理。,通常，把这种噪声称为,限带白噪声,，它的谱密度,满足,对上式求傅立叶逆变换，可得,例,1-2,二进制伪随机（,Pseudo-noise,）序列或,PN,序列,是,由,1,和,0,组成的序列，它的相关函数与白噪声很相似，它近,似为一个脉冲，但有一个,重复周期,T,。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,最常用的,PN,序列,就是,M,序列，可用图,1-5,带有线性反馈,的,M,阶线性移位寄存器产生，其长度为,N=,2,M-,1,比特，周,期,T=,15,t,（,M=,4,），其中,t,为,时钟脉冲,的,周期,。在每个,周期,T,产生,2,M,-1,个,1,，,2,M,-1,个,0,，具有良好的平衡性。,将由,0,，,1,组成的二进制序列变换为一个由,-1,，,1,组成,的二进制序列。这个由,-1,，,1,组成的,等价序列,c,n,称之为,双,极性序列,。,图,1-5,用于产生伪随机序列的,4,阶移位寄存器,时钟,（移位脉冲）,t,输出伪随机码,0,，,1,，,0,，,0,，,0 1,T,2,0 1,T,3,0 1,T,4,0 1,T,1,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,周期,T=Nt,，幅度,A=,1,的,M,序列的自相关函数可用下式,表示：,因为,序列,c,n,是,周期性,函数，故其,自相关函数,R,M,(,),也,具有,周期性,，如图,1-6,所示。参数,N,和,t,决定了,M,序列的特,性。显然，,当,N,，,R,M,(,),(,),。,由于,R,M,(,),是,实的,偶函数,，故可根据式（,1.2.29,）来计算它的谱密度，即,可见，,M,序列的功率谱密度函数是离散谱，且有一个,sinc,形,包络曲线，如图,1-7,所示。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,Lt,(,N-,1,),t,1,/N,0,t,t,R,M,(),1,图,1-6 M,序列的自相关函数,2/,t,2,/,（,3,t,）,O,M,(,),t,3dB,图,1-7 M,序列的功率谱密度函数,3dB,带宽,截止频率,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,（,6,）限时限带函数及采样定理,考虑实的周期函数或限,时函数,x,(,t,),。,若时间函数,x,(,t,),仅在一段有限时间（,0,，,T,）内,有非零值,，则称为,限时函数,。限时函数,x,(,t,),经周期延拓之,后，可化为周期函数，因此可表示为傅立叶级数：,（,1.2.36,）,其中,X,(,n,),称为,x,(,t,),在频率为,n,=,2,n/T,处的傅立叶系数，,且满足,X,(-,n,),=,X*,(,n,),。如果,X,(,n,),仅仅在以下频率范围,内才有非零值，则称,x,(,t,),为,限时限带函数,。这里，,W,表示频,带宽度（谱宽），,TW,表示不超过,T,W,的最大整数。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,为方便起见，下面用,TW,代替,TW,。将式（,1.2.36,）中,的第一式可写成,（,1.2.37,）,式中，,X,(,n,)=,a,(,n,)+j,b,(,n,),，通常,X,(0),=,0,。,式（,1.2.37,）表明：完整地描述一个持续时间为,T,，谱宽,为,W,的,限时限带实值函数,，需要也仅需要,2,TW,个实数,a,(,n,),和,b,(,n,),或,TW,个复数,X,(,n,),。这个结论实际上是,采样定理的另一,种叙述方式,。在工程上，采样频率一般取为信号,上限频率,的,3,5,倍,。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,（,7,）周期函数的帕塞瓦尔公式,周期函数或限时限带函,数的帕塞瓦尔公式可表示为,（,1.2.38,）,证明 由式（,1.2.36,），并利用,零均值,条件、实函数傅立,叶变换的,共轭对称性,和,三角函数的,正交性,，可得,式中，,Re,表示取实部。如果,x,(,t,),是在,（,t-T,，,t,）,内被观测，,则式（,1.2.24,）中的积分区间（,0,，,T,）可改为（,t-T,，,t,）。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,1.3,线性系统的时频分析,假设施加于图,1-8,所示系统,的输入信号为,x,(,t,),，则系统产生,的输出,y,(,t,),为,（,1.3.1),线性系统,物理可实现,稳定的,频率响应函数,H,(j,),脉冲响应,函数,h,(,t,),傅立叶变换,传递函数,H,(s),s,=,+,j,|,=,0,拉普拉斯变换,y,(,t,),x,(,t,),h,(,t,),H,(,j,),图,1-8,线性系统的输入,-,输出,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,对于物理,可实现的因果系统,，其,脉冲响应函数,h,(,t,),是实,数，且对于,负的,t,取,零值,。但在下面的讨论中不一定要作这,样的假设。,1.3.1,线性系统的相关分析,相关分析,和,最小二乘法,是系统分析和参数估计最常用的,两种方法。这此仅介绍相关分析法。,（,1,）均值,假设线性系统的输入信号,x,(,t,),是一平稳过,程，对式（,1.3.1,）的两边取均值，则有,显然，,y,(,t,),的期望值是常数，由下式给出,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,（,1.3.2),（,2,）相关分析,在式（,1.3.1,）的两边同乘以,x,*,(,t-,),，,得到,（,1.3.3),由于,所以，在式,（,1.3.3,）,两边取期望值，就有,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,上式右边积分显然与,t,无关，且等于,R,x,(,),与,h,(,),的卷,积。因而上式左边也与,t,无关。于是，根据互相关的定义，,得到,（,1.3.4,）,将式（,1.3.1,）,两边的复共轭,乘以,y,(,t+,),，有,再取期望值,，又有,（,1.3.5,）,上式是令,=-,的结果。同样的推理，可类似地证明,（,1.3.6,）,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,合并以上二式，可得,（,1.3.7,）,（,3,）功率谱,利用卷积定理，式（,1.3.6,）可写成,（,1.3.8,）,其中,H*,(j,),是,h*,(-,),的傅立叶变换。于是有,（,1.3.9,）,上述关系可用图,1-9,来表示。,（,4,）传递函数,H,(j,),在平稳输入信号,x,(,t,),作用下，产,生的输出,y,(,t,),。当用功率谱表示时，由式（,1.3.9,）可得到增,益因子的估计：,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,（,1.3.10,）,上式只含有系统的,幅频特性,。,为了求出系统的,相频特性,(,),，还需要互谱分析。由,（,1.3.8,）的第一式，可知,(,),可用下式估计：,（,1.3.11,）,图,1-9,平稳过程的线性滤波,x,(,)|,H,(,j,)|,2,x,(,),H,*,(,j,),R,y,(,),x,(,),R,x,(,),h,*,(-,),H,*,(,j,),h,(,),H,(,j,),R,xy,(,),2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,此外，还定义两个平稳随机过程,x,(,t,),和,y,(,t,),的,相干函数,(,Coherence function,),为,（,1.3.12,）,它表示两个平稳过程在,频域上,的“互相关”程度，故也称,为谱相关函数。显然，,0,xy,2,(,),1,。,如果在,某些频率点上,xy,2,(,),=,1,，则表示,x,(,t,),和,y,(,t,),是,完全相干,的；,如果在,某些频率点上,xy,2,(,),=,0,，则表示,x,(,t,),和,y,(,t,),在这些频率点上,不相干,（不凝聚），这也是不相关的另一种,提法。,如果,x,(,t,),和,y,(,t,),是统计独立，则恒有,xy,2,(,),=,0,。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,在上述相干函数计算中，谱密度和互谱密度的估计必须,是经过,总体平均,的，,否则,，,不论,两个过程,是否相干,，直接计,算谱密度和互谱密度所得到的相干函数值将,恒等于,1,。,在作系统的相关分析时，输入信号,x,(,t,),的谱宽,应,大于,线,性系统,H,(,j,),的谱宽,，这样才能把线性系统,H,(,j,),的,所有,振型,激励出来，使分析结果能反映系统的动态特性。,（,5,）系统简化,考虑图,2-10,中的两个系统。设,x,1,(,t,),，,x,2,(,t,),分别是它们的输入，而,y,1,(,t,),，,y,2,(,t,),是对应的输出，即,（,1.3.13,）,y,1,(,t,),x,1,(,t,),h,1,(,t,),H,1,(,j,),y,2,(,t,),x,2,(,t,),h,2,(,t,),H,2,(,j,),图,2-10,两个单输入,-,输出系统,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,将第一式乘,以,y,2,*,(,t,-,),，第二式的复共轭乘以,x,1,(,t,+,),则有,对这两式取期望值,，得到,（,1.3.14,）,上式的傅立叶变换为,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,故有,（,1.3.15,）,这相当于两个系统,h,2,*,(-,),和,h,1,(,),串联成一个系统，并,用,R,x,1,x,2,(,),作为系统的输入。,（,6,）分离系统,若两个系统的幅频特性（或频带）,不重,叠,，如图,1-10,所示，则有,那么，式（,1.3.15,）表明，对于,任意的,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),，通过,分离系,统得到的输出,y,1,(,t,),和,y,2,(,t,),是正,交的,。,0,|,H,1,(,j,),|,|,H,2,(,j,),|,图,2-10,分离系统,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,利用该结论，只须把单个过程,x,(,t,),作为两个分离系统,的公共输入，就可以产生两个正交过程,y,1,(,t,),和,y,2,(,t,),。若,E,x,(,t,),=,0,则两个输出的期望值也是零，且不相关的。,1.3.2,线性系统的随机激励,在系统的输入端施加,统计特性已知,的,噪声扰动,，然后观,测系统的输出。从这些受到随机干扰的局部观测数据出发，,应用适当的数学工具可以,分析系统的动态特性，或建立数学,模型,。,常用,的噪声序列有,白噪声,和,伪随机信号,，因为二者都,有明确的统计特性，而且易于用仪器或数字计算机产生,。,（,1,）输入信号为白噪声,设线性因果系统的脉冲响应函,数为,h,(,t,),，输入信号,x,(,t,),为白噪声，不妨设,R,x,(,)=,(,),，,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,则由式（,1.3.6,）可知系统输出,y,(,t,),与输入,x,(,t,),之间的互相关,函数为,可见，只须对,0,，计算出,R,yx,(,),，就能知道系统的脉冲响,应函数,h,(,t,),。该算法可用,Matlab/Simulink,图示化方块图（见,图,1-11,）进行仿真。,y,(,t,),x,(,t,),白噪声,信号源,线性系统,H,(,s,),延迟,乘,法,器,积分器,1,/,(,Ts,),示波器,图,1-11,输入信号为白噪声的系统辨识框图（,Simulink,）,干扰,n,(,t,),2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,如果干扰,n,(,t,),与激励,x,(,t,),互不相关,，即,R,nx,(,),=,0,，则,仿真“示波器”显示的曲线就是系统的,脉冲响应函数,h,(,t,),。该,结论证明如下：如果过程具有遍历性，那么对充分大的,T,，,积分器的输出,z,(,),为,在多数情况下，可以把,白噪声,信号,叠加在,正常,输入信号,上，对,测控系统进行在线辨识；,白噪声,的,自相关函数,是,脉冲函数,，因而,它与其它噪声几乎都互不,相关,。因此,用白噪声作为输入信号能够排除其它干扰信号的影响。,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,为了取得精确的估计值，必须,延长积分时间,T,，计算互相关函数,就要耗费大量的时间，从而影响,在线辨识,的,实时性,。,（,2,）输入信号为伪随机序列,为了保持白噪声作为输入,信号时的优点，克服其缺点，可采用伪随机噪声信号（简称,伪随机信号）作为激励信号。在例,1-2,中给出的,M,序列,的,相,关函数,与,白噪声,信号,很相似,，可视为脉冲信号，但它有一个,重复周期,T,。,如果,M,序列的幅值是,-,a,a,，且序列的长度,N,足够大，那,么它自相关函数,R,x,(,),在,=,，,-2,T,-,T,0,T,2,T,各点取,值为序列的均方值,a,2,，而其余各处均接近于零，故,R,x,(,),是,一个脉冲序列,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,可将,M,序列,看作出现在,每一周期内,T,的,白噪声,信号。,在选择,M,序列,x,(,t,),的周期,T,时，应事先估计系统的调整时,间,t,s,，使得,T t,s,。,这样，在,T,时间内，系统的单位脉冲响应,h,(,t,),已经衰减,到几乎为零。于是，可在,0,T,之间按,图,1-11,来计算,R,yx,(,),从而得到完整的,h,(,t,),。,要适当选取,M,序列的时钟脉冲的周期,t,时（参见,图,1-7,），确,保它的谱宽,（,1/3,t,),大于系统的谱宽,。,这样，采用,伪随机信号,作为,激励信号,进行系统辨识的结,果与采用,白噪声,作为,激励信号,的,结果,才能,基本相同,。,由于,伪随机信号是物理可实现,的，而,白噪声是理想化的,数学模型,，因此，,伪随机信号,在测控技术领域中的,应用更为,广泛,。,t,s,2025/10/28 周二,波形、频谱与随机信号分析,1.4,平