三、数学建模--静态优化模型.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三、数学建模-静态优化模型,静态优化模型,现实世界中普遍存在着优化问题,静态优化问题是指最优解是数,(,不是函数,),建立静态优化模型关键之一是根据建模的目的确定恰当的目标函数,求解,静态优化模型一般用微分法,3.1 存贮模型,问题,配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品是因更换设备要付生产准备费，产品大于需求时因积压资金要付贮存费，该厂的生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。,现已知某产品日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最少。,要求,不只是回答问题，而是要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。,问题分析与思考,日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元,每天生产一次,每次,100,件,无贮存费,准备费,5000,元，故,每天费用为,5000,元,。,10,天生产一次,每次,1000,件,贮存费,900+800+,+100=4500,，准备费,5000,元,总计,9500,元。,平均每天费用950元,50,天生产一次,每次,5000,件,贮存费,4900+4800+100=122500,，准备费,5000,元,总计,127500,元。,平均每天费用2550元,10天生产一次平均每天费用最小吗？,问题分析与思考,周期短，产量小,贮存费少，准备费多,周期长，产量大,准备费少，贮存费多,存在最佳的周期和产量，使总费用（准备费+贮存费）最小,这是一个优化问题，关键在于建立目标函数,显然不能用一个周期的费用作为目标函数,目标函数每天总费用的平均值,模型假设,1、产品每天的需求量为常数,r,。,2、每次生产准备费为,c,1,每天每件产品的贮存费为,c,2,3、,T,天生产一次(周期为,T,)，每次生产,Q,件，且当贮存量降到零时，,Q,件产品立即生产出来（生产时间不记）。,4、为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。,建模目的,设,r,，,c,1,，,c,2,已知，求,T,，,Q,，使每天总费用平均值最小,模型建立,离散问题连续化,将贮存量表示为时间的函数,q,(,t,),T,=0时生产,Q,件,贮存量,q,(0)=,Q,q,(,t,)以需求,r,的速度递减直到,q,(,T,)=0,一周期贮存费用,一周期总费用,每天总费用平均值(目标函数),模型求解,模型分析,模型应用,回答问题,c,1,=5000(元),c,2,=1(元/天件),r,=100(件/天),T,=10(天),Q,=1000(件),C,=1000(元)。,经济批量定货公式,（,EQQ,公式,）,用于定货、供应、存贮情形,每天的需求量为,r,，每次定货费为,c,1,每天每件贮存费为,c,2,，,T,天定货一次(周期为,T,)，每次定货,Q,件，且当贮存量降到零时，,Q,件立即到货。,不允许缺货的存贮模型,问：为什么不考虑生产费用？,在什么条件下才不考虑？,允许缺货的存贮模型,当贮存量下降到零时仍有需求,r,，出现缺货，造成损失。,原模型假设：存贮量下降到零时,Q,件产品立即生产出来(立即到货),现假设:允许缺货,每天每件缺货损失费c,3,缺货需补足,.,周期,T,t,=,T,1,贮存量下降到零。,一周期贮存费,一周期缺货费,一周期总费用,每天总费用的平均值（目标函数）,为与,不允许缺货模型,相比，,T,记作,T,，,Q,记作,Q,。,允许缺货模型,不允许缺货模型,不允许缺货,3.2 生猪的出售时机,问 题,饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，,估计,可使80公斤重的生猪体重增加2公斤。,投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大,市场价格目前为每公斤8元，但是,预测,每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。,如果,估计,和,预测,有误差，对结果有何影响。,分析,建模及求解,若当前出售，利润为808=640（元）,估计,r,=2，,g,=0.1,t,天,出售,生猪体重,w,=80+,rt,销售收入,R=pw,出售价格,p,=8-,gt,资金投入,C,=4,t,利润,Q=R-C,=,pw,-,C,Q,(,t,)=(8,-,gt,)(8+,rt,),-,4,t,求,t,使,Q,(,t,)最大,Q,(10),=,660 640,10天后出售，可多得利润20元,敏感性分析,研究,r,g,变化时对模型结果的影响.,估计,r,=2,g,=0.1,设,g,=0.1不变,r,1.5,t,对,r,的（相对）敏感度,生猪每天体重,r,增加1%，出售时间推迟3%。,1.6,1.8,2,2.2,2.4,2.6,2.8,3,0,5,10,15,20,r,t,敏感性分析,研究,r,g,变化时对模型结果的影响,估计,g,=0.1,r,=2,设,r,=2,不变,t,对,g,的（相对）敏感度,生猪价格,g,每天的降低,1%,，出售时间提前,3%,。,0.06,0.08,0.1,0.12,0.14,0.16,0,5,10,15,20,25,30,g,t,强健性分析,研究,r,g,不是常数时对模型结果的影响,w,=80+,rt,w,=,w,(,t,),p,=8,-,gt,p,=,p,(,t,),Q,(,t,)=,w,(,t,),p,(,t,),-,4,t,Q,(,t,),=0,p,(,t,),w,(,t,)+,p,(,t,),w,(,t,)=4,每天利润的增值,每天投入的资金,保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售,由,S,(,r,t,)=3 若1.8,w,2.2(10%),则7,t,13(30%),建议过一周后(,t,=7)重新估计,p,，,p,，,w,，,w,再作计算,3.3、森林救火,问题,森林失火后，要确定排出消防队员的数量。,队员多，森林损失小，救援费用大；,队员少，森林损失大，救援费用小。,问题分析,记队员人数,x,，失火时刻,t,=0，开始救火时刻,t,1,，灭火时刻,t,2,，时刻,t,森林烧毁面积,B,(,t,)。,损失费,f,1,(,x,),为,x,的减函数，由烧毁面积,B,(,t,2,),决定,救援费,f,2,(,x,),为,x,的增函数，由救火队员人数,x,和救火时间决定。,存在恰当的,x,使,f,1,(,x,)，,f,2,(,x,)之和最小。,综合考虑损失费和救援费，确定队员的数量。,问题分析,关键是对,B,(,t,),作出合理的简化假设,失火时刻,t,=0，开始救火时刻,t,1,，灭火时刻,t,2,，画出时刻t森林烧毁面积,B,(,t,)的大致图形。,分析,B,(,t,)比较困难，转而讨论森林烧毁速度,dB,/,dt,模型假设,1)、0,t,t,1,d,B,/d,t,与,t,成正比,系数,(火势蔓延的速度),2)、,t,1,t,t,2,降为,-,x,(,为队员平均灭火速度),3)、,f,1,(,x,)与,B,(,t,2,)成正比，系数,c,1,(烧毁单位面积损失费),4)、每个队员的单位时间灭火费用,c,2,，一次性费用,c,3,假设1)的假设,火势以火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径,r,与,t,成正比,面积B与,t,2,成正比，,dB,/,dt,与,t,成正比,模型建立,假设,1),假设,2),假设3)4),目标函数总费用,模型建立,目标函数总费用,模型解释,求,x,使,C,(,x,)最小,结果解释,/,使火势不继续蔓延的最少队员,结果解释,烧毁单位面积损失费,c,1,，每个队员的单位时间灭火费用,c,2,，一次性费用,c,3,，开始救火时刻,t,1,，火势蔓延速度,，队员平均灭火速度,。,为什么？,结果解释,c,1,。,c,2,，,c,3,已知，,t,1,可估计。,由具体情况给出。可设置一系列参数。,由模型确定队员的费用,3.4、最优价格(1),问题,根据产品的成本和市场需求，在产销平衡的条件下，如何确定商品价格，使利润最大。,假设,1)、产量等于销量，记作,x,；,2)、收入与销量,x,成正比，比例系数,p,即价格；,3)、支出与产量,x,成正比，比例系数,q,即成本；,4)、销量,x,依赖与价格,p,，,x,(,p,)是减函数；,进一步设：,x,(,p,)=,a b p,a,b,0,建模 与求解,求,p,使,U,(,p,)最大,建模 与求解,使利润,U,(,p,)最大的最优价格,p,*,满足,边际收入,边际支出,最大利润在,边际收入,等于,边际支出,时达到,结果解释,x,(,p,)=,a b p,a,b,0,最,优,价格由两个部分组成，,q,/2,是成本的一半,b,是价格上升一个单位时销售量下降的幅度，（需求对价格的敏感度），,b,p,*,a,可视为绝对需求量,(,p,很小时的需求,),a,p,*,若在时间长为,T,的销售过程中，要求总销售量为,Q,，试制定最优价格函数,p,(,t,)。,最优价格（2）,问题,在长为,T,的时间内成本不变，设为,q。,分析与假设,单位时间的需求量,x,仍为价格,p,的减函数，设为,a,消费者的“绝对”需求量,b,消费者对价格的敏感系数,x,f,(,p,)=,a,-,bp,单位时间的利润,U,=销售收入,I,-成本,C,。,即：,目标,制定合理价格函数,p,(,t,)，使得在长为,T,时间内，销售出总量为本,Q,产品条件下，获利最大。,模型为：在满足(2)式的条件 下，求(1)的最大值。,其是泛函条件极值问题（变分问题）,由泛函条件极值的Euler定理，作函数,模型建立,在时间T内总获利为,在时间T内总销量为,（1）,（2）,模型求解,H,只是,p,的函数，式中不含,p,的导数,p,。,其Euler方程为：,其最优价格,p*,亦为常数,最优价格与市场对价格敏感系数成反比。与给定的销售时间长度成反比。,模型解释,在对销售时间,T,和总量,Q,有限制时，最优价格与成本,q,无关。,这显然是应该的，以为,aT,是时间,T,内的“绝对”售量，也就是免费时的供应量，当然大于总售量。,它应随着,T,的增加而提高，随着,Q,的增加而降低。,为什么？,顺便指出,若需求函数与总售量与问题（2）一样，但由于销售过程中存贮费，变质损失费等影响，成本,q,不再是常数，它的相对增长率是,最优价格（3）,问题提出,即设：,该问题其他条件与问题（2）一样，仅成本,q,为时间的变量，其Euler方程一样，所以,将,p,*,式代入约束式,代入,p,(,t,),4、广告投入,商家为提高收入，有两种方法，1、提高商品价格；2、提高商品的销售量。但商品价格越高则销量会降低，为了使在一定的价格下，还有较高的销售量，一种方法是做广告，做广告又需要一定的资金投入。,试建立一数学模型分析，分析如何合理定价，以及合理地投入广告费，才能收入最大。并应用于下例。,某公司要出售一批涂料、根据以往经验，售价越高，售量就越低，提高销售量的一种办法就是做广告，以提高销售量(提高的售量的倍数称为提高因子)下面是历年的统计记录：,表一、涂料预期销售量与价格之间关系,20,22,25,28,29,32,34,38,41,售量(千听),6.00,5.50,5.00,4.50,4.00,3.50,3.00,2.50,2.00,单价(镑),问题,分析,首先售量是价格的减函数，在任何价格下，随着广告费的投入增加售量也在增加，当广告投入增加到一定程度后售量不会再增加，再随着广告费的投入增加，售量会下降。,试对照实际情况，解释为什么？,表二、售量提高因子与广告费之间关系,1.80,1.95,2.00,1.95,1.85,1.70,1.40,1.00,提高因子,k,7,6,5,4,3,2,1,0,广告费(万镑),涂料成本每听2镑，问确定投入多少广告费及涂料如何定价，才能使公司获利最大？,4、广告投入,4、广告投入,假设,x,预期销售量，,y,销售单价；,z,广告费；,c,成本单价；,k,广告提高因子。,S,售量。,售量与单价近似成线性关系,x,a y,b,提高因子与广告费近似成二次关系,k,=,dz,2,+,ez,+,f,，其中,d,2)种商品情况,3.7、冰山运输,背景,波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米,0.1,英磅。,专家建议从,9600,km,远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水。,从经济的角度研究冰山运输的可能性。,建模准备,1、日租金和最大运量,10,8,10,7,510,6,最大运量(米,3,),8.0,6.2,4.0,日租金(英镑),大,中,小,船 型,2、燃料消耗（英镑/千米）,16.2,13.5,10.8,3,19.8,16.5,13.2,5,12.6,10.5,8.4,1,10,7,10,6,10,5,冰山体积(米,3,),船速(千米/小时),0.45,0.15,0,3,0.60,0.20,0,5,0.30,0.10,0,1,4000,1000,0,与南极距离(千米),船速(千米/小时),3、融化速率（米/天）,建模目的,选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较。,模型假设,航行过程中船速不变，总距离,9600,千米。,冰山呈球形，球面各点融化速度相同。,到达目的地后，每立方并可融化,0.85,立方水,模型分析,目的地水体积,目的地冰体积,初始冰山体积,运输过程融化规律,总费用,燃料消耗,租金,模型建立,1、冰山的融化规律,船速,u,(千米/小时)与南极距离,d,(千米)融化速率,r,（米/天）,0.45,0.15,0,3,0.60,0.20,0,5,0.30,0.10,0,1,4000,1000,0,d,u r,d,4000时,r,与,d,无关,1、冰山的融化规律,冰山初始半径为,R,0,航行,t,天时半径为,冰山初始体积,t,天时体积,选定,u,V,0,航行,t,天时冰山体积,到达目的地时冰山体积,2、燃料消耗,16.2,13.5,10.8,3,19.8,16.5,13.2,5,12.6,10.5,8.4,1,10,7,10,6,10,5,V,u,q,1,燃料消耗,q,1,(英镑/千米),q,1,对,u,线性，对log,10,V,线性,选定,u,，,V,0,航行第,t,天燃料消耗,q,(英镑/天)为,总燃料消耗费用,3、拖船租金费用,8.0,6.2,4.0,f,(,V,0,),10,8,10,7,510,6,V,0,冰山的初始体积,V,0,日租金,f,(,V,0,)(英镑),拖船租金费用,总燃料消耗费,冰山运输总费用,4、运送每立方水的费用,冰山到达目的地后得到水的体积,冰山运输总费用,S,(,u,V,0,),运送每立方水费用,模型求解,选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低。,求,u,V,0,使,Y,(,u,V,0,)最小,枚举法：,u,=1,3,5,V,0,=510,6,10,7,10,8,u,=3(千米/小时),V,0,=10,8,(米,3,)，,Y,(,u,V,0,)最小,最小值Y0.0037(英镑/米,3,),结果分析,未,考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后的实际体积会显著小于,V,(,u,V,0,T,),只有当计算出的,Y,(,u,V,0,),显著低于淡化海水的成本,(0.1,英镑,/,米,3,),时，才考虑其可行性。,