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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,第一章 离散时间信号与系统,本章主要内容,离散时间信号,序列,线性时（移）不变系统,线性时不变系统的输入输出描述法,线性常系统差分方程,连续时间信号的采样,2,第一章 离散时间信号与系统,1.1,离散时间信号,序列,信号的幅度和时间可以取连续值也可以取离散值，据此信号可以分为：,（,1,）连续时间信号：时间和幅度均取连续值的信号，也称为模拟信号。,（,2,）离散时间信号：时间上取离散值而幅度是连续变化的信号。,（,3,）数字信号：时间和幅度均取离散值的信号。,3,离散时间信号,定义,一个离散时间信号是自变量为整数,n,的函数，称之为序列。,表示为：,x(n)-,n,为简便起见，直接写成,x(n),。,注意：,x(n),仅仅当,n,为整数时才有定义。,4,序列的变化规律可用公式表示，也可用图形来表示。图,1.1.1,表示了一个具体的离散时间信号,序列，横轴为,n,。,图,1.1.1,离散时间信号的图形表示,5,1.1.1,几种常用序列,1.,单位采样序列（单位冲激）,（,1.1.1,）,类似于连续时间信号于系统中的单位冲激函数，但是,t,=0,时脉宽趋于零、幅值趋于无穷大、面积为的信号，是极限概念的信号。而这里 在 时取值为,1,。,单位采样序列如图,1.1.2,所示。,图,1.1.2,单位采样序列,6,2.,单位阶跃序列,（,1.1.2,）,它类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数。但在,t,=0,时常不给予定义，而在时定义为，如图,1.1.3,所示。,图,1.1.3,单位阶跃序列,7,3.,矩形序列,（,1.1.3,）,如图,1.1.4,所示。一般,N,称为矩阵序列的长度。,图,1.1.4,矩形序列,、的关系如下：,8,4.,实指数序列,为实数 （,1.1.4,）,如图,1.1.5,所示。当 时序列是收敛的，而当 时序列时发散的。,图,1.1.5,实指数序列,9,5.,复指数序列,（,1.1.5,）,式中 为数字域频率。,复指数序列也可以用其实部虚部或者极坐标表示：,如果 ，由于 只取整数，下面等式成立,上式表明当,=0,时，复指数序列的频率具有以 为周期的周期性。,10,6.,正弦序列,其一般形式为 （,1.1.6,）,式中,A,为幅度，为初始相位，为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示二个相邻序列值之间变化的弧度数。,11,1.1.2,序列的基本运算,序列的基本运算包括序列的移位、反转、和、积、卷积等。,1.,移位,序列的移位是指将原序列,x,(,n,),逐项依次平移 位而得到的一个新序列 。当 为正时，为 依次左移（超前）位，为 依次右移（延时）位。为负时，则相反。,例,1.1.1 ,则 如图,1.1.6,所示。,图,1.1.6,序列移位,12,2.,反转,反转序列 是原序列 相对于纵轴的镜像。,例,1.1.2 ,则 ，如图,1.1.7,所示。,图,1.1.7,序列的反转,13,3.,和,两序列的和是指它们同序号（,n,）的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。,例,1.1.3,已知二序列如下：,则,如图,1.1.8,所示。,14,图,1.1.8,两序列相加,15,4.,积,两序列之积是指它们同序号（,n,）的序列值逐项对应相乘得到的一个新序列。,例,1.1.4 x(n),y(n),序列，如上例中图,1.1.8,所示。则,5.,序列乘以常数,a,序列乘以常数,a,是指序列,x(n),的每一序号的值都乘以常数,a,所得到的新序列。,16,6.,卷积,设两序列为,x(n),、,h(n),，则它们的卷积定义为,(1.1.7),其中，用,“,*,”,来表示卷积。卷积运算在图形表示上可以分为四步：反转、移位、相乘、求和。,例,1.1.5,试计算图,1.1.9,中二序列的卷积,图,1.1.9,例,1.1.5,的两个序列,17,1.1.3,序列的周期性,如果对所有,n,存在一个最小的正整数,N,，使,x(n),满足,（,1.1.8,）,则称序列,x(n),是周期序列，其周期为,N,。,下面讨论正弦序列的周期性,由于,则,若,k,为整数时，则,即,18,这时正弦序列就是周期序列，其周期满足 （,N,K,必须为整数）。具体可分以下三种情况：,（,1,）当 为整数时，只要,k,=1,，就为最小正整数，故正弦序列的周期即为 。,（,2,）当 不是整数，而是一个有理数时，,k,值逐步增加，其取值使 为最小整数，这就是正弦序列的周期。此时 ，其中,k,N,是互为素数的整数，,（,3,）当 为无理数时，则任何,k,都不能使为正整数，此时正弦序列不是周期序列。这和连续信号时是不一样的。,同样，指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。,19,例,1.1.6,试确定以下序列的周期。,(1),(2),1.1.4,序列的能量,序列,x(n),的能量定义为序列各采样值的平方和，即,（,1.1.9,）,20,1.2,线性时（移）不变系统,一个离散时间系统可由图,1.2.1,来表示，即,我们研究的是,“,线性时（移）不变,”,的离散时间系统,图,1.2.1,离散时间系统,21,1.2.1,线性系统,输入分别为 和 时，其输出分别为 和 ，即，,当且仅当,(1.2.1),时，该系统称为线性系统。式中,a,和,b,为任意常数。,22,1.2.2,时不变系统,若系统的响应与激励加于系统的时刻无关，则称为时不变系统,(,或称移不变系统,),。,即若,则,(1.2.2),其中 为任意整数,23,例,1.2.1,试根据 判断系统是否线性系统和时不变系统。,解,:,判断系统的线性,因为,所以,而,因此,所以此系统不是线性系统。,24,判断系统的时不变性,因为,而,由于二者相等，故此系统是时不变系统。,1.2.3,线性时不变系统输入输出的关系,假设系统输入为一般序列,x(n),系统输出为,25,根据线性系统的叠加性质,又根据时不变性质,（,1.2.3,）,(1.2.3),式说明，线性时不变系统的输出序列等于输入序列和,系统的单位采样响应的卷积。,26,例,1.2.2,设线性时不变系统的单位采样响应 ，,，其输入序列 ，求输出序列,y(n),。,解,:,根据线性时不变系统输入输出关系，有,对于,27,离散卷积运算服从交换律、结合律和分配律。即,28,1.2.4,系统的因果性和稳定性,1,因果性,指系统,n,时刻的输出只取决于,n,时刻以及,n,时刻以前的输入序列，而与,n,时刻以后的输入序列无关。,线性时（移）不变系统具有因果性的充要条件是,，,n0,方向递推。如不考虑因果性，由递推法解差分方程，可由初始条件向,n0,，求输出,y(n),的递推过程如下,:,将,n-1,用,n,代替，得到,35,1.4,连续时间信号的采样,（,a,）采样器的原理,（,b,）实际采样,（,c,）理想采样,图,1.4.1,连续时间信号的采样,36,1.4.1,理想采样,采样过程如图,1.4.1,（,c,）,(l.4.1),理想采样输出为,(1.4.2),把（,1.4.1,）式代人（,1.4.2,）式，得,(1.4.3),由于 只在,t=mT,时不为零，故,(1.4.4),37,理想采样后信号频谱的变化,由频域卷积定理，若各傅里叶变换分别表示为,由（,1.4.2,）式的关系可知,（,1.4.5),可表示为,（,1.4.6),38,接下来求,而系数则可表示成,上面考虑到在 的区间内，只有一个冲激,。,39,而,时,，,都在积分区间之外，且利用了以下关系,因而,（,1.4.7),由此得出,由于,（,1.4.8),所以,（,1.4.9),40,图,1.4.2,表示了 和 。,图,1.4.2,周期冲激序列 与它的傅里叶变换,41,将（,1.4.9,）式代入（,l.4.5,）式可得,（,1.4.10,）,42,（,1.4.10,）式表明，一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将以 采样频率为间隔而重复，这就是频谱产生周期延拓，如图,1.4.3,所示,图,1.4.3,连续时间信号采样后，频谱的周期延拓,(a,）,原限带信号,；,(b,）,时,；,(c),时产生频谱混叠现象,43,理想采样信号的频谱，是频率的周期函数，其周期为 ，而频谱的幅度则为原模拟信号幅度的 。由于,T,是常数（不是 的函数），所以除了一个常数因子区别外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率上的交叠，则有可能恢复出原信号。也就是说，如果 是一个限带信号，其频谱如图,1.4.3(a,）所示。且最高频谱分量不超过 ，即,（,1.4.11,）,44,（,1,）那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠，如图,1.4.3(b,）所示。这时采用一个截止频率为 的理想低通滤波器，可以不失真地还原出原来的连续信号。,（,2,）如果信号的最高频率超过 ，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象，如图,1.4.3(c,）所示。,结论：要想采样后能够不失真的还原出原模拟信号，则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（），这就是奈奎斯特采样定理。即,（,1.4.13),45,采样的恢复,如果满足奈奎斯特采样定理，即信号谱的最高频率小于折叠频率，则采样后不会产生频谱混叠，由（,1.4.10,）式知,故将 通过以下理想低通滤波器（如图,1.4.4,所示）,：,就可得到原信号频谱，如图,1.4.5,所示，即,46,所以输出端即为原模拟信号,图,1.4.4,理想低通滤波器特性,图,1.4.5,采样的恢复图,47,下面讨论如何由采样值来恢复原来的模拟信号,理想低通滤波器的冲激响应为,48,由 与,h,(,t,）的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为,(1.4.15),49,这就是采样内插公式，即由信号的采样值 经此公式而得到连续信号 ，而,称为内插函数，如图,1.4.6,所示。在每一个采样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这使得各采样点上信号值不变，而采样点之间的信号则由各加权采样函数波形的延伸叠加而成，如图,1.4.7,所示。,图,1.4.6,内插函数,图,1.4.7,采样的内插恢复,50,1.4.2,实际采样,由于,p,(,t,),是周期函数，故可展成傅里叶级数，有,(1.4.16),同样可求出,p,(,t,),的傅里叶系数 （注意，,p,(,t,),的幅度为,l,）,(1.4.17),如果 ，,T,一定，则随着,k,的变化，的幅度 将按下式,变化，其中,51,类似推导，可以得到采样数据信号的频谱为,(l.4.18),图,1.4.8,实际采样时，频谱包络的变化,52,由图可知,由于包络的第一个零点出现在,这要求,所以,由于 ，因此 包络的第一个零出现在,k,很大的地方。,53,1.4.3,正弦信号的采样,设连续时间正弦信号为,（,1.4.19,）,采样定理要求采样频率大于信号最高频率的两倍,能够无,失真地恢复出原始的正弦信号,图,1.4.9,正弦信号的采样,（）,54,一些结论性的归纳：,1,对（,1.4.19,）式的正弦信号，当采样频率 时，当 时无法恢复原信号,x(t),；当 时，可以由,x(n),重建原信号；当 为已知，且 时，则恢复的不是原信号，而是 ，经过移位和幅度变换，仍可得到原信号；如果 未知，则根本得不到原信号。,2,对（,1.4.19,）式的信号，由于有三个未知数，只要保证在它的一个周期内均匀地采得三个样值，即可由,x(n),准确地重建,x(t),。,55,3,对离散周期的正弦信号，作截断时，其截断长度必须为此周期信号周期的整倍数，才不会产生离散频谱的泄漏。,4,正弦信号的采样不宜补零，否则将产生频谱泄漏。,5,考虑到做,DFT,时，要求数据点数,N,最好为,2,的整数幂，因而对正弦信号采样时，一个周期内最好采,4,个点。,56,第二章 离散时间信号与系统的频域分析,本章主要内容,序列的傅里叶变换,z,变换,z,反变换,变换的基本性质与定理,序列的,z,变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,离散系统的系统函数与频率响应,全通系统与最小相位系统,57,第二章 离散时间信号与系统的频域分析,2.1,序列的傅里叶变换,2.1.1,序列傅里叶变换的定义,设序列,x(n),满足绝对可和的条件，即,(2.1.1),定义,(2.1.2),为序列,x(n),的傅里叶变换。,58,分析,(2.1.2),式，由于式中,n,取整数，因此一定满足下式,:,M,取整数,(1),序列的傅里叶变换是,W,的周期函数，周期为 。,(2),定义,(2.1.2),式是 的傅里叶级数形式 。,的傅里叶反变换为,(2.1.3),(2.1.2),式和,(2.1.3),式则组成了序列的傅里叶变换对。,59,例,2.1.1,设 ，求,x(n),的频率响应 。,解：,(2.1.4),将 写成幅度与相角关系：,=,60,当,N=4,时的幅度和相位随,w,频率变化曲线如图,2.1.1,所示。,图,2.1.1,的幅频特性与相位特性,61,例,2.1.2,一个理想低通滤波器的频率响应是,为截止频率。如图,2.1.2,所示。试求该系统的单位冲激响应。,图,2.1.2,理想低通滤波器的频率响应,62,解：由式,(2.1.3),可得该系统的单位冲激响应为：,图,2.1.3,表示了截止频率 时的单位冲激响应。,图,2.1.3,时，理想低通滤波器的单位冲激响应,因为理想低通滤波器的单位冲激响应，在时不为零，所以,它是非因果的，并且可以证明其是无界的，因此理想低通滤波,器不是因果稳定系统。,63,2.1.2,序列傅里叶变换的性质,1.,线性,设,，,则,(2.1.5),式中,a,b,为常数。,2.,时移与频移,设,则,(2.1.6),(2.1.7),64,3.,帕塞瓦（,Parseval,）定理,设,则,(2.1.8),该定理说明信号在时域的能量与在频域表现的能量相等。,4.,傅里叶变换的对称性,先介绍共轭对称序列和共轭反对称序列,设序列 满足下式：,（,2.1.9,）,则称 为共轭对称序列。,65,类似地，可定义满足下式的序列称为共轭反对称序列：,（,2.1.10,）,一般序列可用共轭对称序列和共轭反对称序列之和表示，即,（,2.1.11,）,式中，和 可以分别用原序列求出，将（,2.1.11,）,式中的,n,用,-n,代替，再取共轭得到,（,2.1.12,）,利用（,2.1.11,）和（,2.1.12,）两式，得到,（,2.1.13,）,（,2.1.14,）,66,对于频域函数 ，也有和上面类似的概念和结论：,（,2.1.15,）,式中，和 分别称为 的共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足：,（,2.1.16,）,（,2.1.17,）,67,下面从两个方面来讨论,FT,的对称性,:,(1),将序列,x(n),分成实部和虚部，即,式中 与 分别是序列的实部与虚部,。,将,x(n),进行傅里叶变换得到,式中,68,结论：序列分成实部和虚部两部分，其实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性，其虚部,(,包括,j),对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。,(2),将序列,x(n),表示为共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即,式中,因为,69,如果 ，则相应的傅里叶变换为,（,2.1.18,）,可见，序列的共轭对称分量和共轭反对称分量的傅里叶,变换分别等于序列傅里叶变换的实部和,j,乘虚部。,70,5.,序列卷积的傅里叶变换,设,序列,x(n),h(n),y(n),的傅里叶变换分别为,、。,则,(2.1.19),证明：略,71,表,2.1.1,序列傅里叶变换的性质,72,73,2.2 Z,变换,2.2.1,变换的定义,序列,x(n),的,z,变换的定义为,(2.2.1),式中,z,是一个复变量，它所在的复平面称为,z,平面。亦可将,x(n),的,z,变换表示为,2.2.2,变换的收敛域,(2.2.1),式变换存在的条件是级数收敛，要求级数绝对可和，即,(2.2.2),74,上式可写成,在,x(n),有界时，为满足级数绝对可和，复数,z,的绝对值,|z|,必须限制在一定范围之内，这个范围可表示成,(2.2.3),图,2.2.1,环形收敛域,75,2.2.3,几种序列变换的收敛域,1.,有限长序列,序列仅在,n1n2,区间内具有非零值，它的,z,变换为,（,1,）当 ，时，仅当 时才趋于 ，所以,X(Z),的收敛,域是除去原点以外的整个,z,平面，即 ；,（,2,）当 ，时，仅当 时才趋于 ，所以收敛域是除,去 以外的整个,z,平面，即 ；,（,3,）当 ，时，,X(Z),的收敛域是前两种情况的公共部分，,即 。,76,例,2.2.1,求 的,z,变换,。,解：,X(Z),有一个极点 ，也有 的一个零点，因此实际将,的极点对消。收敛域为 。,77,2,、右边序列,序列,x(n),的定义区间是 ，则,根据级数收敛性的根值判断法可知，为使此级数收敛，,必须满足关系式,即,所以 当 ，,X(z),的收敛域为 。,当 ，,X(z),的收敛域为 。,78,例,2.2.2,求 的,z,变换,X(z),，。,解：,收敛域,即,79,3.,左边序列,序列,x(n),的定义区间为 ，则,当满足,时，级数收敛，,X(z),存在。此时的收敛域为,若 ，收敛域为,；,若 ，收敛域为,。,80,例,2.2.3,求 的,z,变换,X(z),。,解,：,若 ，即 时级数收敛,81,4.,双边序列,序列,x(n),的定义区间为 ，所以,z,变换为,最后等号右边第一部分为左边序列的,z,变换，第二部分为右,边序列的,z,变换，因此,X(z),的收敛域是两个级数收敛域的公共部,分，即,如果公共部分不存在，则,X(z),也不存在。,82,例,2.2.4,求序列 的,z,变换。其中,a0,，,b0,，,ab,，,则无公共收敛域，因此,X(z),不存在。,84,现将一些常用序列的变换及其收敛域列于表,2.2.1,中。,85,86,2.3 z,反变换,已知,X(z),和收敛域，求原序列,x(n),的过程叫做,z,反变换，记作,(2.3.1),2.3.1,幂级数展开法,(,长除法,),87,2.3.2,部分分式法,设序列,x(n),的,z,变换用,X(Z),表示,(2.3.3),式中,P(z),是,M,阶多项式，,Q(z),是,N,阶多项式，对于因果序列，,收敛域包含 处，因此必须满足 。,如果,X(z),只含一阶极点，可将,X(z),展开为,(2.3.4),88,最好写成,式中 是 的极点，是 在极点 处的留数。,(2.3.5),如果,X(z),中含有高阶极点，设,X(z),除含有,l,个一阶极点 ，,还有一个,s,阶的极点 ，,X(z),就展成以下形式：,(2.3.6),89,例,2.3.2,已知 ，求,X(z),的原序列,x(n),。,解：,式中,90,因为,X(z),的收敛域为 ，因此第一部取收敛域 ，,第二部分收敛域取,分别对应的序列为 ，,所以,91,2.3.3,围线积分法,留数辅助定理,92,2.4,变换的基本性质与定理,2.4.1,线性,设序列,x(n),和,y(n),的,z,变换分别为,X(z),和,Y(z),，即,则,(2.4.1),式中,a,b,为任意常数,。,93,2.4.2,序列的移位,如果,则,(2.4.2),2.4.3,乘以指数序列,如果,则,94,（,2.4.3,）,可见序列,x(n),乘以指数序列等效于,z,平面上的尺度展缩,。,2.4.4,序列乘以,n,如果,则,(2.4.4),95,2.4.5,初值定理,如果,x(n),为一因果序列，它的初始值可由下式求得,(2.4.5),初值定理表明，可直接由,X(z),来求,x(n),的初值,x(0),，而不必进行,z,反变换。,2.4.6,终值定理,如果,x(n),是因果序列，,X(z),除在,z=1,处有一阶极点外，,其它极点均在单位圆以内，则,(2.4.6),96,2.4.7,共轭序列,复序列,x(n),的共轭序列为,如果,则,(2.4.7),2.4.8,反转序列,如果,则,(2.4.8),97,2.4.9,卷积定理,如果,则,(2.4.9),98,2.4.10,复卷积定理,如果,则,(2.4.10),W(z),的收敛域,上式中,v,平面上，被积函数的收敛域为,99,2.4.11,帕塞瓦（,Parseval,）定理,如果,且,则,(2.4.11),100,z,变换的主要性质汇集于表,2.4.1,中,101,102,2.5,序列的,z,变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,2.5.1,序列的,z,变换与理想采样信号的拉普拉斯变换的关系,设连续信号为 ，理想采样后的采样信号为 ，它们的拉普拉斯变换分别为,则,而,103,代入上式可得,(2.5.1),采样序列 的,z,变换为,104,从上面看出，当 时，采样序列的,z,变换就等于其理想采样信号的拉普拉斯变换。,(2.5.2),(2.5.3),复变量,s,平面到复变量,z,平面的映射关系为,105,2.5.2 x(n),的,z,变换,X(z),和 的傅里叶变换 的关系,将上面两个关系代入到（,2.5.2,）式可得,(2.5.6),可以得到采样序列在单位圆上的,z,变换，就等于其理想采样,信号的傅里叶变换。,106,2.6,离散系统的系统函数与频率响应,2.6.1,系统函数的定义,系统函数,(2.6.1),它是单位冲激响应的,z,变换，,即,(2.6.2),在单位圆上,(),的系统函数就是系统的频率响应,。,107,2.6.2,系统函数的收敛域,（,1,）一个线性时不变系统稳定的充要条件是其系统函数,H(z),的收敛域包含单位圆；,（,2,）一个线性时不变系统因果的充要条件是其系统函数,H(z),在 处也收敛；,（,3,）一个稳定的因果系统的系统函数,H(z),的收敛域应包含 点和单位圆，则其收敛域表示为 ，也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。,108,2.6.3,系统函数与差分方程的关系,一个线性时不变系统可以用常系数差分方程来描述，,对上式取,z,变换可得到,因而,(2.6.3),109,将上式分解成：,(2.6.4),式中 是,H(z),的零点，是,H(z),的极点，它们都由差分方程的系数 和 决定。因此，除了比例常数,k,外，系统函数完全由它的全部零点，极点来确定。,110,2.6.4,系统的频率响应,对,h(n),进行傅里叶变换得到,(2.6.5),称为系统的频率响应，它表征了系统的频率特性。,111,2.7,全通系统与最小相位系统,2.7.1,全通系统,若一个线性时不变稳定系统的系统函数的形式为,（,2.7.1,）,其频率响应可表示为,（,2.7.2,）,112,在（,2.7.2,）式中，且 ，所以,（,2.7.3,）,这类系统称为全通系统。,113,2.7.2,最小相位系统,(1),一个因果稳定的线性时不变系统，如果其系统函数,H(z),的所有零点都在单位圆内，则称其为,“,最小相位系统,”,，其系统函数记为 ；,(2),如果其所有零点都在单位圆外，则称其为,“,最大相位系统,”,，其系统函数记为 ；,(3),如果其在单位圆内、外都有零点，则称其为,“,混合相位系统,”,。,全通系统就是一个,“,最大相位系统,”,。,114,任何一个非最小相位系统均可由一个最小相位系统和一个全通系统级联而成。该非最小相位系统的系统函数,H(z),可表示为,（,2.7.12,）,式中，为最小相位系统的系统函数，为全通,系统的系统函数。,本章主要内容,几种傅里叶变换的形式,周期序列的离散傅里叶级数,离散傅里叶变换（,DFT,）,离散傅里叶变换的性质,有限长序列的循环卷积与线性卷积的关系,第三章 离散傅里叶变换,(DFT),3.1,几种傅里叶变换的形式,3.1.1,连续时间非周期信号的傅里叶变换,若,x(t),是一个连续时间非周期信号，则其傅里叶变换对为：,正变换：（,3.1.1,）,逆变换：,（,3.1.2,）,式中，是模拟角频率，是一个非周期的频谱密度函数。,变换对示意图：,图,3.1.1,连续的非周期信号及其非周期、连续的频谱密度,从图中可以看出时间函数的连续性造成频率函数的非周期性，而时域内的非周期性造成频域内谱密度函数的连续性。,3.1.2,连续时间周期信号的傅里叶变换,设 是一个周期性连续时间函数，其周期为 ，若 满足狄里赫利条件，则可将其展成傅里叶级数，级数的系数为 。,是离散频率的非周期函数，和 组成的变换对为：,正变换：（,3.1.3,）,逆变换：（,3.1.4,）,式中，为离散频谱相邻两谱线的角频率间隔；,k,为谐波序号。,变换对示意图：,图,3.1.2,连续的周期信号及其非周期的离散谱线,可见，时间函数的连续性造成频率函数的非周期性，而时域内函数的周期性造成频域内频谱的离散性。,3.1.3,离散时间非周期信号的傅里叶变换,序列的傅里叶变换,即离散时间信号的傅里叶变换对。当序列,x(n),满足绝对可和的条件时，有,正变换：（,3.1.6,）,逆变换：,（,3.1.7,）,如果把序列看成是由模拟信号采样而得，且采样信号间隔为,T,，采样角频率为 ，将,x(n)=x(nT),及 代入以上变换对，则变换对可写成以下形式：,（,3.1.8,）,（,3.1.9,）,该变换对示意图：,图,3.1.3,离散非周期信号及其周期性的连续谱密度,3.1.4,离散时间周期信号的傅里叶变换,为了利用计算机进行频谱分析，要求傅里叶变换对的时域函数和频域函数都是离散函数，而前三种傅里叶变换对都不能满足要求。,若对如图,3.1.3,所示的频域函数进行等间隔采样且采样间隔足够小，使频域采样所引起的时域信号的周期延拓不会出现混叠现象。则可得到离散周期的时间函数及其周期离散的频率函数。如下图所示：,图,3.1.4,离散周期的时间函数及其周期离散的频谱函数,综上可得一般规律：一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓，一个域的连续必定对应另一个域的非周期。下表归纳了以上四种情况的时间函数和频率函数的形式和特点：,时间函数,频率函数,连续、非周期,非周期、连续,连续、周期（,Tp,）,非周期、离散（,0,=2,/,Tp),离散（,T,）、非周期,周期（,s,=2,/,T,）、连续,离散（,T,）、周期（,Tp,）,周期（,s,=2,/,T,）离散（,0,=2,/Tp),3.2,周期序列的离散傅里叶级数,3.2.1,离散傅里叶级数的获得,考虑一个非周期序列,x(n),其傅里叶变换为 ，现在在频率 处对 进行采样，采样间隔为 ，并且用 表示采样得到的序列，于是有,(3.2.1),由于序列,x(n),的傅里叶变换 是,的周期函数，周期为,2,，所以序列 是,k,的周期函数，周期为,N,。同样，因为序列的傅里叶变换等于其,z,变换在单位圆上的值，所以 也可以由在单位圆的,N,个等间隔点上对其,z,变换,X(z),采样而得到，这样有,(3.2.2),下图表示了,N=8,时的采样点：,图,3.2.1,在单位圆上对,X(z),进行采样,从图中可以看出，这样得出的样本序列 是周期序列，其周期为,N,。,由于序列,x(n),的傅里叶变换为,因此，对 的采样就相当于把上式加以离散化，可表示为,式中，复指数序列 是以,N,为周期的周期函数，即,从上面看出，一个周期序列虽然是无限长序列，但只要知道它一个周期的内容，则它的其他内容也就都知道了。所以，实际上只有一个周期的,N,个序列值有信息，其一个周期的,N,个样本即可代表该周期序列，其余周期均是这,N,个样本的重复出现,。,因此，在下面对周期序列的相关推导中，都只取其一个周期的,N,个序列值。,为了求出 对应的时域序列，将（,3.2.3,）式两边同乘以 ，然后在 的一个周期求和，得到,（,3.2.4,）,根据复指数序列的正交性可得,所以有,（,3.2.5,）,从以上结果可以看出，频域周期序列在时域上对应的就是周期序列，同时也说明了频域的离散化造成了时域信号的周期延拓。,通常把周期序列 中从,n=0,到,N-1,的第一个周期定义为“主值区间”，而主值区间上的序列,x(n),称为 的“主值序列”。如果把,x(n),看作是 在,n=0,，,，,N-1,上取下来的一个周期，则,x(n),和 之间的关系可以表述为：是,x(n),的周期延拓序列，,x(n),是 的主值序列，如图,3.2.2,所示,。,实际上（,3.2.5,）式就是周期序列 的离散傅里叶级数的形式，这也说明，与连续时间周期信号一样，周期序列 可用离散傅里叶级数来表示。,同时，从（,3.2.5,）式也可以看出，时域周期序列 的离散傅里叶级数在频域（其系数 ）也是一个周期序列，它们都是只有一个周期上的,N,个样本值有信息。这里序列,x(n),可看成是 的主值序列，于是把前面（,3.2.3,）式中的求和区间取在 的主值区间，而用 代替序列,x(n),，这样,的表达式可写为,(3.2.6),（,3.2.5,）式和（,3.2.6,）式合在一起就是一个频域和时域间的变换对，称为周期序列的离散傅里叶级数（,DFS,）表示式。,为了方便起见，常采用符号,DFS(Disertet Fourier Series),变换对可表示为,正变换 （,3.2.7,）,逆变换 （,3.2.8,）,式中，表示离散傅里叶级数正变换；表示离,散傅里叶级数逆变换。,例,3.2.1,已知周期序列 如图,3.2.3,所示，其周期,N=10,，试求其离散傅里叶级数的系数 。,解：由（,3.2.7,）式得,（,3.2.9,）,图,3.2.4,为 的幅值示意图,例,3.2.2,已知序列 ，求其傅里叶变换 ，,并在频率处 对 进行等间隔采样。,解：序列,x(n),即是图,3.2.3,所示的周期序列 的主值序列（,n=0,1,9,）,其傅里叶变换为,在频率 处对 进行等间隔采样得,图,3.2.5,为 的幅值示意图，图,3.2.6,表明图,3.2.4,中的序列对应图,3.2.5,中的采样值,3.2.2,频域采样理论,从前面知道，对一个绝对可和的非周期序列,x(n),的傅里叶变换 进行等间隔采样，得到频域周期序列 ，其一个周期内的采样点数为,N,。,也可以由在单位圆的,N,个间隔点上对,x(n),的,z,变换进行采样而得到。设,x(n),的,z,变换为,则 （,3.2.11,）,此式与,3.2.1,小节中得到的（,3.2.3,）式完全相同。现在的问题是，这样采样以后，是否能从周期序列 恢复出原序列？,令 的离散傅里叶级数的逆变换为 ，有：,将（,3.2.11,）式代入式可得：,由于,故有：,这说明由 的离散傅里叶级数逆变换得到的时域周期序列 是原非周期序列,x(n),的周期延拓序列，其时域周期为频域采样点数,N,。（,3.2.12,）式与（,3.2.5,）式是完全一致的。可以得出结论如下：,（,1,）如果,x(n),不是有限长序列，则时域周期延拓后，必然会造成混叠现象。当,n,增加时信号的衰减越快，或频域采样点数,N,越多（采样越密），误差就越小。,（,2,）如果,x(n),是有限长序列，点数为,M,，则当频域采样点数,N,不够多（采样不够密），即,NM,时，,x(n),以,N,为周期进行周期延拓，就会产生混叠，从 中就不能够不失真地恢复出原信号,x(n),。,（,3,）对于长度为,M,的有限长序列,x(n),，只有当频域采样点数,N,M,时，才可以由频域采样序列 或其主值序列,X(k),不失真地恢复出原信号，此时可得到,（,3.2.13,）,这就是所谓的频域采样定理。,同时，由以上分析知道，长度为,N,（或小于,N,）的有限长序列，可以用它的,z,变换在单位圆上的,N,个等间隔点上的采样值精确地表示。,例,3.2.3,假设时域序列,x(n),的长度为,M=9,（如图,(a),），试分别以,N=7,，,12,为周期对序列,x(n),进行周期延拓，并画出延拓后的序列，说明所得结果有何不同。,(a),长,M=9,的有限长序列,x(n),(b),将,x(n),的傅里叶变换进行,N=12,点采样对应的周期序列,(c),将,x(n),的傅里叶变换进行,N=7,点采样对应的周期序列,解：以,N=12,为周期将,x(n),进行周期延拓而成的周期序列为,r,为任意整数，周期序列 的每个周期仅仅是,x(n),的重复（如图,(b),）。,以,N=7,为周期将,x(n),进行周期延拓而成的周期序列，,由于,NM,则会出现非零样本之间的重叠和时间序列波形的畸变（如图,(c),）。,实际上图,(c),表示的是一种对傅里叶变换欠采样的情况，此种情况下产生时域混叠。,显然，只要,x(n),为有限长，时域混叠就可避免，正如信号的傅里叶变换，只要是带宽有限，其频域混叠也可避免。,3.2.3,离散傅里叶级数的性质,设 和 都是周期为,N,的周期序列，它们各自的,DFS,为,（,1,）线性,式中，,a,、,b,为任意常数。所得到的频域序列也是周期序列。,（,2,）序列的移位,（,3,）调制特性,（,4,）周期卷积,如果 ，则,图,3.2.8,（下页）用来说明两个周期序列（周期,N=6,）的周期卷积运算过程。在进行这个卷积的过程中，一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的一个周期的同一位置的序列值就移入计算区间,。,同样,如果,则,3.3,离散傅里叶变换（,DFT,）,有限长序列的离散频域表示,3.3.1,从离散傅里叶级数到离散傅里叶变换,如果从时域周期序列 中抽取其主值区间上的,N,个样本，显然它是有限长序列,x(n),，从频域周期序列 中抽取其主值区间上的,N,个样本，即可得到有限长序列,X(k),。,定义,x(n),与,X(k),间的变换关系为有限长序列的离散傅里叶变换（,DFT,）关系。,设,x(n),为有限长序列，长度为,N,。把序列,x(n),看成是周期为,N,的周期序列 的主值序列,，,有,把 看成是序列,x(n),以,N,为周期的周期延拓，有,由上面可以看出，对于不同的,r,值，所以,x(n),与 的上述关系可以写为,式中，,R,N,(n),是长度为,N,的矩形序列。,同样，,有限长序列的离散傅里叶变换的定义,正变换,逆变换,值得注意的是，不是,x(n),的频谱，它只是有限长序列,x(n),的频谱在一个周期,(0,2,),上的采样。,同时，值得强调的是，长度为,N,的有限长序列和周期为,N,的周期序列，都是由,N,个值定义的。换句话说，离散傅里叶变换隐含着周期性。,例,3.3.1,已知 是一个长度为,N=16,的有限长序列，求它的,N,点,DFT,。,解：由,DFT,的定义（,3.3.7,）式得,利用复指数序列的正交特性，再考虑,k,的取值区间，可得,例,3.3.2,已知 ，求其,10,点,IDFT,。,解：可表示为,则,3.3.2,有限长序列的,DFT,与,z,变换，傅里叶变换的关系,设序列,x(n),的长度为,N,，其,DFT,、,z,变换和傅里叶变换分别为,（,3.3.11,）,（,3.3.12,）,（,3.3.13,）,DFT,的物理意义：,有限长序列,x(n),的,N,点离散傅里叶变换,X(k),是,x(n),的,z,变换,X(z),在单位圆一周上的,N,点等间隔采样值，亦是,x(n),的傅里叶变换 在一个周期上的,N,点等间隔采样值，如图,3.3.1,所示。,(a),在,z,平面单位圆上对,x(z),进行采样的各采样点,(b)X(k),与 的关系示意图,3.3.3,由序列的,DFT,表达其,z,变换及傅里叶变换,设有限长序列,x(n)(0,nN-1),的,z,变换为,由于 将其代入,X(z),中，得,由于 ，故,这就是就是用,N,个频率采样值来表示的内插公式。它可以表示为,，式中 称为内插函数。,内插函数 的零极点特性,:,令其分母 ，得 ，即有一个极点,;,令其分子 ，得 ，即有,N,个零点。的零极点都在单位圆上，极点和第,k,个零点刚好抵消，因而 只在本身采样点处不为零，在其他,N-1,个采样点上都是零点，共有,N-1,个零点。而在,z=0,处有,N-1,