4.1向量组及其线性组合b.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 向量组的线性有关性,(,),(,),n,B,R,A,R,=,=,(,),(,),n,B,R,A,R,3 时,向量不再有“几何”意义,仍沿用几何空间的名词.但其意义更为广泛.,叫做,n,维向量空间,.,叫做,n,维向量空间,R,n,中的,n,1,维超平面,.,例如:在描述一空间运动物体时,不仅与所处的空间位置(x,y,z)有关,还与时间 t 有关,这就是四维时空空间,用向量表达为(x,y,z,t).,机身的仰角,机身的水平转角,(0,2,),;,机翼的转角,(-,);,例如:拟定飞机的状态,需要下列6个参数:,飞机重心在空间的位置参数,P,(,x,y,z,),.,因此拟定飞机的状态需用6维向量(x,y,z,)表达.,在日常工作,学习和生活中,有许多问题都需要用向量来进行描述.,三、向量组与矩阵,若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所构成的集合叫做向量组.,例如:矩阵,A,=(,a,ij,),m,n,有,n,个,m,维列向量:,向量组,a,1,a,2,a,n,称为矩阵,A,的,列向量组,.,向量组,1,T,2,T,m,T,称为矩阵,A,的,行向量组,.,反之,由有限个向量所构成的向量组能够构成一种矩阵.,类似地,矩阵,A,=(,a,ij,),m,n,有,m,个,n,维行向量:,所构成的向量组1T,2T,mT 构成一种mn矩阵,所构成的向量组a1,a2,an构成一种mn矩阵,n,个,m,维列向量,m,个,n,维行向量,线性方程组的向量表达,方程组与增广矩阵的列向量组之间,一一对应,.,四、线性组合与线性表达,定义2:给定向量组A:1,2,m,对于任何一组实数k1,k2,km,向量,k11+k22+kmm,称为向量组A:1,2,m的一种线性组合,k1,k2,km称为这个线性组合的系数.,线性表达：给定向量组A:1,2,m和向量b,如果存在一组数1,2,m,使,b=11+22+mm,则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量b能由向量组A线性表达.,即线性方程组,1,1,+,2,2,+,m,m,=,b,有解,定理1:向量b能由向量组A:1,2,m线性表达的充足必要条件是矩阵A=(1,2,m)与矩阵B=(1,2,m,b)的秩相等.,由上章定理5,定义3:设有两向量组,A:1,2,m 与 B:1,2,s.,若B组中的每一种向量都能由A组线性表达,则称向量组B能由向量组A线性表达;若向量组B与向量组A能够互相线性表达,则称这两个向量组等价.,若记A=(1,2,m)和B=(1,2,s),向量组B能由向量组A线性表达,即对每一种向量j(j=1,2,s),存在数k1j,k2j,kmj,使,j=k1j 1+k2j 2+kmj m,即,从而,这里，矩阵K=(kij)ms称为这一线性表达的系数矩阵.,若Cmn=AmsBsn,则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表达,B为这一表达的系数矩阵:,同时,若Cmn=AmsBsn，则C的行向量组能由B的行向量组线性表达,A为这一表达的系数矩阵:,设矩阵A经初等行变换变成B,则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合,即B的行向量组能由A的行向量组线性表达.由初等变换可逆性可知:A的行向量组也能由B的行向量组线性表达.于是,A的行向量组与B的行向量组等价.,类似地,若矩阵A经初等列变换变成B,则A的列向量组与B的列向量组等价.,1.对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一种方程称为方程组A的一种线性组合;,2.若方程组B的每一种方程都是方程组A的线性组合,则称方程组B能由方程组A线性表达,此时方程组A的解一定是方程组B的解;,3.若方程组A与方程组B能互相线性表达,则称方程组A与方程组B可互推,等价方程组是同解的.,向量组的线性组合,线性表达,等价等概念的一种重要应用是用来描述线性方程组:,也就是说,矩阵方程,(,1,2,m,),X,=(,1,2,s,),有解.,则由上一章的定理6可得:,若向量组B:1,2,s能由向量组A:1,2,m线性表达,即存在矩阵K,使,(1,2,s)=(1,2,m)K,注：第三章定理6,矩阵方程A,X,=B有解的充要条件是R(A)=R(A,B),定理2:向量组B:1,2,s能由向量组A:1,2,m线性表达的充足必要条件是矩阵A=(1,2,m)的秩与矩阵(A,B)=(1,2,m,1,s)的秩相等,即R(A)=R(A,B).,推论:向量组A:1,2,m与向量组B:1,2,s等价的充足必要条件是,R(A)=R(B)=R(A,B),其中A和B是由向量组A和B所构成的矩阵.,R,(,A,)=,R,(,A,B,),事实上,=,R,(,B,A,),=,R,(,B,),例1:,设,证明:向量b能由向量组a1,a2,a3线性表达,并求表达式.,证明:要证向量b能由向量组a1,a2,a3线性表达,需要证明:矩阵A=(a1,a2,a3)与B=(a1,a2,a3,b)的秩相等.,为此将,B,化为行最简形:,B,=,行变换,R,(,A,)=,R,(,B,),因此,向量b能由向量组a1,a2,a3线性表达.,由,B,的行最简形可得方程组,Ax,=,b,通解为:,故表达式为:b=(a1,a2,a3)x=(3c+2)a1+(2c1)a2+ca3,其中,c,为任意常数.,b,=2,a,1,a,2.,特别地,取c=0,得表达式为:,例2:,设,证明向量组,a,1,a,2,与向量组,b,1,b,2,b,3,等价.,证明:,记,A,=(,a,1,a,2,),B,=(,b,1,b,2,b,3,).,论,只需证,R,(,A,)=,R,(,B,)=,R,(,A,B,).,将(,A,B,)化为行阶梯形:,根据定理2的推,行变换,(,A,|,B,),=,得,R,(,A,)=,R,(,A,B,)=2.,又容易看出,B,中有2阶非零子式,则 2,R,(,B,),R,(,A,)=,R,(,B,)=,R,(,A,B,).,因此,故,R,(,B,)=2.,R,(,A,B,),=2.,定理3:若向量组B:1,2,s能由向量组A:1,2,m线性表达,则R(1,2,s)R(1,2,m),即R(B)R(A).,以上所讨论的内容建立在向量组与矩阵之间有对应关系,从而以上结论之间有以下成果:,若向量组B:1,2,s能由向量组A:1,2,m线性表达,有矩阵K,使(1,2,s)=(1,2,m)K,矩阵方程(1,2,m)X=(1,2,s)有解.,例3:n 阶单位矩阵E=(e1,e2,en)的列向量称为n维单位坐标向量.证明:n维单位坐标向量组E:e1,e2,en能由nm矩阵A=(a1,a2,am)的列向量组A:a1,a2,am线性表达的充足必要条件是R(A)=n.,证明:根据定理2,向量组E:e1,e2,en能由向量组A线性表达的充足必要条件是R(A)=R(A,E).,因此,R,(,A,)=,R,(,A,E,)=,n,.,故,R,(,A,E,),n,而,R,(,A,E,),R,(,E,),=,n,又因矩阵(,A,E,)仅有,n,行,本例的结论用矩阵方程的方式可描述为:,矩阵方程AnmX=E有解的充足必要条件是R(A)=n.,用矩阵的方式可描述为:对矩阵Amn,存在Qnm使AQ=Em的充足必要条件是R(A)=m.,存在Pnm使PA=En的充足必要条件是R(A)=n.,当A为n阶方阵时,P,Q就是A的逆矩阵.因此,上述结论能够看作逆矩阵概念的推广.,五、小结,1.n维向量的概念,实向量,复向量;,2.向量的表达办法,行向量与列向量;,3.向量,向量组及线性组合与线性表达的概念,由矩阵的秩给出鉴定的结论;,4.有限个向量的向量组与矩阵和线性方程组之间的联系.,作业P106-1，2,证明:任意一种n维列向量a 都能由 n 维单位坐标向量组E:e1,e2,en线性表达.,思考题解答,思考题,设,n,维列向量,a,为,而,则显然有:,a,=,1,e,1,+,2,e,2,+,+,n,e,n,.,