2022年新高考数学二轮复习(回扣篇)第17练-空间几何体.pptx

,空间几何体,第,17,练,专项,典题,精练,高考,汇编,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(,2015,全国,),九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：,“,今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？,”,其意思为：,“,在屋内墙角处堆放米,(,如图，米堆为一个圆锥的四分之一,),，米堆底部的弧长,为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8,尺，米堆的高为,5,尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？,”,已知,1,斛米的体积约为,1.62,立方尺，圆周率约为,3,，估算出堆放的,米约有,A.14,斛,B.22,斛,C.36,斛,D.66,斛,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(,2018,全国,),已知正方体的棱长为,1,，每条棱所在直线与平面,所成的角都相等，则,截此正方体所得截面面积的最大值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,如图所示，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,平面,AB,1,D,1,与棱,A,1,A,，,A,1,B,1,，,A,1,D,1,所成的角都相等，,又正方体的其余棱都分别与,A,1,A,，,A,1,B,1,，,A,1,D,1,平行，,故正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的每条棱所在直线与,平,面,AB,1,D,1,所成的角都相等,.,取棱,AB,，,BB,1,，,B,1,C,1,，,C,1,D,1,，,DD,1,，,AD,的中点,E,，,F,，,G,，,H,，,M,，,N,，,则正六边形,EFGHMN,所在平面与平面,AB,1,D,1,平行且面积最大,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以,AB,6,，,设球的半径为,R,，球心到等边,ABC,的外接圆圆心的距离为,d,，,所以三棱锥,D,ABC,高的最大值为,2,4,6,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(,2021,全国甲卷,),已知,A,，,B,，,C,是半径为,1,的球,O,的球面上的三个点，且,AC,BC,，,AC,BC,1,，则三棱锥,O,ABC,的体积为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,如图所示，因为,AC,BC,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6,.,(,2020,全国,),已知,A,，,B,，,C,为球,O,的球面上的三个点，,O,1,为,ABC,的外接圆，若,O,1,的面积为,4,，,AB,BC,AC,OO,1,，则球,O,的表面积为,A.64,B.48 C.36 D.32,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,如图，,设圆,O,1,的半径为,r,，球的半径为,R,，正三角形,ABC,的边长为,a,.,由,r,2,4,，得,r,2,，,在,Rt,OO,1,A,中，由勾股定理得,所以,S,球,4,R,2,4,16,64.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(,2019,全国,),学生到工厂劳动实践，利用,3D,打印技术制作模型,.,如图，该模型为长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,挖去四棱锥,O,EFGH,后所得的几何体，其中,O,为长方体的中心，,E,，,F,，,G,，,H,分别为所在棱的中点，,AB,BC,6 cm,，,AA,1,4 cm,3D,打印所用原料密度为,0.9 g/cm,3,.,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为,_g.,118.8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,由题意得长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的体积为,6,6,4,144(cm,3,),，,四边形,EFGH,为平行四边形，如图所示,，,连接,GE,，,HF,，,易知四边形,EFGH,的面积为矩形,BCC,1,B,1,面积的一半,，,所以该模型的体积为,144,12,132(cm,3,),，,所以制作该模型所需原料的质量为,132,0.9,118.8(g).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,如图，设,B,1,C,1,的中点为,E,，,球面与棱,BB,1,，,CC,1,的交点分别为,P,，,Q,，,连接,DB,，,D,1,B,1,，,D,1,P,，,D,1,E,，,EP,，,EQ,，,由,BAD,60,，,AB,AD,，知,ABD,为等边三角形，,D,1,B,1,DB,2,，,D,1,B,1,C,1,为等边三角形，,E,为球面截侧面,BCC,1,B,1,所得截面圆的圆心，,设截面圆的半径为,r,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,球面与侧面,BCC,1,B,1,的交线为以,E,为圆心的圆弧,PQ,.,同理,C,1,Q,1,，,P,，,Q,分别为,BB,1,，,CC,1,的中点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,模拟精选,9.(,2021,铁岭模拟,),蹴鞠,(,如图所示,),，,2006,年,5,月,20,日，经国务院批准已作为非物质文化遗产列入第一批国家非物质文化遗产名录,.,蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球,.,已知某鞠,(,球,),的表面上有四个点,A,，,B,，,C,，,P,，且球心,O,在,PC,上，,AC,BC,2,，,AC,BC,，,tan,PAB,tan,PBA,，,则该鞠,(,球,),的表面积为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,如图所示,，,在,ABC,中，因为,AC,BC,2,，,AC,BC,，,所以,AB,2,AC,2,BC,2,8,，,所以,PAB,PBA,，即,PAB,是等腰三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又球心,O,在,PC,上，故,PC,为球,O,的直径，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以该鞠,(,球,),的表面积是,S,4,R,2,9.,10.(,2021,肇庆模拟,),牙雕套球又称,“,鬼工球,”,，取鬼斧神工的意思，制作相当繁杂，工艺要求极高,.,明代曹昭在格古要论,珍奇,鬼工,毬,中写道,：,“,尝有象牙,圆,毬,儿一,箇,，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工,毬,”.,现有,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,某,“,鬼工球,”,，由外及里是两层表面积分别为,100 cm,2,和,64 cm,2,的同心球,(,球壁的厚度忽略不计,),，在外球表面上有一点,A,，在内球表面上有一点,B,，连接线段,AB,.,若线段,AB,不穿过小球内部，则线段,AB,长度的最大值,是,A.,cm B.9,cm,C.3,cm,D.2 cm,解析,因为外球的表面积为,100 cm,2,，内球的表面积为,64 cm,2,，,所以外球的半径为,5 cm,，内球的半径为,4 cm,，,如图,，以外,球表面上一点,A,、内球表面上一点,B,以及球心,O,作截面，,因为线段,AB,不穿过小球内部，,所以当线段,AB,与内球相切时线段,AB,的长度最大，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(,2021,沈阳模拟,),球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,(,大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆,),，我们把这个弧长叫做两点的球面距离,.,已知正,ABC,的顶点都在半径为,2,的球面上，球心到,ABC,所在平面的距离,为,，,则,A,，,B,两点间的球面距离为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,设球心为点,O,，,又,OA,OB,2,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(,2021,绵阳中学模拟,),已知正方体棱长为,6,，如图，有一球的球心是,AC,1,的中点，半径为,2,，平面,B,1,D,1,C,截此球所得的截面面积,是,A.,B.7,C.4,D.3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,正方体棱长为,6,，,又球的半径为,2,，,截面圆的面积为,1,2,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,形的斗笠，称为,“,灯罩斗笠,”,，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长,(,母线长,),和帽底宽,(,底面圆直径长,),两个指标进行衡量，现有一个,“,灯罩斗笠,”,，帽坡长,20,厘米，帽底宽,厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是,13.(,多选,)(,2021,青岛模拟,),在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品,.,有一种外形为,圆锥,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,C.,若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积,为,1,600,平方厘米,D.,此斗笠放在平面上，可以盖住的球,(,保持斗笠不变形,),的最大半径,为,(,30),厘米,A.,斗笠轴截面,(,过顶点和底面中心的截面图形,),的顶角,为,120,B.,过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形,的,最大,面积,为,平方厘米,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以,APB,120,，故选项,A,正确；,对于选项,B,，设,APB,，截面三角形的面积为,对于选项,C,，设外接球的球心为,M,，半径为,R,，,在,AOM,中，由勾股定理可得，,300,(10,R,),2,R,2,，解得,R,20,，,所以该球的表面积,S,420,2,1 600,，故选项,C,正确；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,对于选项,D,，设球心为,O,，截面图形如图,，,设内切圆半径为,r,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(,多选,)(,2021,临沂模拟,),为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了诵经典，获新知的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图,，已知球的体积,为,，,托盘由边长为,4,的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图,.,则下列结论正确的是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,根据图形的形成，知,A,，,B,，,C,三点在底面,DEF,上的射影分别是,DEF,三边的中点,M,，,N,，,P,，如图,，,ABC,与,MNP,全等且所在面平行，截面圆就是,ABC,的外接圆，与,MNP,的外接圆相同,.,由上面讨论知,AC,与,MP,平行且相等，而,MP,与,NF,平行且相等，,因此,AC,与,NF,平行且相等，从而四边形,ACFN,是平行四边形，,CF,AN,，,所以,DAN,是异面直线,AD,与,CF,所成的角,(,或其补角,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由平面,ADE,与平面,DEF,垂直知,AD,在平面,DEF,内的射影是,DM,，,由上面讨论知,AB,BC,CA,1,，设,O,是球心，球半径为,R,，,则,O,ABC,是正四面体，棱长为,1,，,设,H,是,ABC,的中心，则,OH,平面,ABC,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又,CH,平面,ABC,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(,2021,蚌埠模拟,),有四个半径为,1,的小球，球,O,1,，球,O,2,，球,O,3,放置在水平桌面上，第四个小球,O,4,放在这三个小球的上方，且四个小球两两外切,.,在四个小球之间有一个小球,O,，与这四个小球均外切,.,则球,O,的半径,为,_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,将四个球的球心两两连线，可得出棱长为,2,的正四面体,O,1,O,2,O,3,O,4,，正四面体,O,1,O,2,O,3,O,4,的外接球球心即为球心,O,，如图所示,，,设点,O,4,在底面,O,1,O,2,O,3,的射影为点,M,，,则球心,O,在线段,O,4,M,上，,设正四面体,O,1,O,2,O,3,O,4,的外接球半径为,r,，,由题意可得，,(,O,4,M,r,),2,O,3,M,2,r,2,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,顶点，,30,条棱，,20,个面，是五个柏拉图多面体之一,.,如果把,sin 36,按,计算,，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比,等,于,_.,16.(,2021,张家口模拟,),早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等,.,如图，正二十面体是由,20,个等边三角形组成的正多面体，共有,12,个,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,由题图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，,设外接球半径为,R,，正五边形的外接圆半径为,r,，正二十面体的棱长为,l,，,所以正五棱锥的顶点到底面的距离是,所以,R,2,r,2,(,R,h,),2,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以该正二十面体的外接球表面积为,而该正二十面体的表面积是,所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比,等于,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,考情分析,练,后疑难精讲,高考常考知识，主要考查几何体的表面积与体积，球的组合体问题,.,常以选择题、填空题的形式出现，部分题目难度较大,.,一、空间几何体的截面问题,核心,提炼,1.,用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键,.,2.,确定截面的主要依据有,(1),平面的四,个,公理,.,(2),直线和平面平行的判定和性质,.,(3),两个平面平行的性质,.,(4),球的截面的性质,.,题号,3,8,10,12,14,二、表面积与体积,核心,提炼,1.,柱体、锥体、台体、球的表面积公式：,(1),圆柱的表面积,S,2,r,(,r,l,),；,(2),圆锥的表面积,S,r,(,r,l,),；,(3),圆台的表面积,S,(,r,2,r,2,r,l,rl,),；,(4),球的表面积,S,4,R,2,.,2.,柱体、锥体和球的体积公式：,(1),V,柱体,Sh,(,S,为底面面积，,h,为高,),；,题号,1,2,7,13,三、多面体与球,核心,提炼,多面体的外接球模型：,(1),长方体的外接球直径为体对角线，,(2),柱体模型,(3),锥体模型,(4),正四面体,(,构造正方体,),、对棱相等的三棱锥,(,构造长方体,),如图,C,：正四面体,D,A,BC,可构造正方体,(,所有面对角线相等,),；,如图,D,：对棱相等的三棱锥,A,BCD,可构造长方体,(,对面的对角线相等,).,题号,4,5,6,9,11,15,16,易,错对点精补,1.T4,补偿,(,2021,晋中模拟,),已知长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的底面是边长为,2,的正方形，高为,4,，,E,是,DD,1,的中点，则三棱锥,B,1,C,1,EC,的外接球的表面积为,A.12,B.20 C.24 D.32,1,2,3,4,5,6,解析,如图，,O,为,B,1,C,的中点，,M,为,C,1,C,的中点，连接,EM,，,CE,2,C,1,E,2,C,1,C,2,，,C,1,EC,为直角三角形，,C,1,M,EM,CM,，,又,在三棱锥,B,1,C,1,EC,中，,B,1,C,1,平面,C,1,EC,，,OM,平面,C,1,EC,，,外接球球心是,B,1,C,的中点,O,，,球的表面积,S,4,R,2,20.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,可得,ABC,为正三角形，,再设球的球心为,O,，半径为,R,，连接,OG,(,图略,),，,1,2,3,4,5,6,球心到平面,ABC,的距离为,1,2,3,4,5,6,3.T16,补偿,(,多选,)(,2021,济南模拟,),半正多面体,(semiregularsolid),亦称,“,阿基米德多面体,”,，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美,.,二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成,(,如图所示,),，若它的所有棱长都,为,，则,A.,BF,平面,EAB,C.,该二十四等边体外接球的表面积为,8,1,2,3,4,5,6,解析,对于,A,，假设,A,对，即,BF,平面,EAB,，,于是,BF,AB,，,ABF,90,，,但,六边形,ABFPQH,为正六边形，,ABF,120,，矛盾,，,所以,A,错,；,对于,B,，将二十四等边体补形成棱长为,2,的正方体,，,对于,C,，取正方形,ACPM,的对角线交点,O,，,其表面积为,4,R,2,8,，所以,C,对；,1,2,3,4,5,6,对于,D,，因为,PN,在平面,EBFN,内的射影为,NS,，,所以,PN,与平面,EBFN,所成角即为,PNS,，,1,2,3,4,5,6,4.,T14,补偿,(,多选,)(,2021,广益实验中学模拟,),在棱长为,1,的正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,M,在棱,CC,1,上，则下列结论正确的是,A.,直线,BM,与平面,ADD,1,A,1,平行,B.,平面,BMD,1,截正方体所得的截面为三角形,1,2,3,4,5,6,解析,对于,A,，,平面,ADD,1,A,1,平面,BCC,1,B,1,，,BM,平面,BCC,1,B,1,，即可判定直线,BM,与平面,ADD,1,A,1,平行，故正确；,对于,B,，如图,1,，平面,BMD,1,截正方体所得的截面可能为四边形，故错误；,对于,C,，如图,2,，异面直线,AD,1,与,A,1,C,1,所成的角为,D,1,AC,，因为,D,1,AC,为等边三角形，,1,2,3,4,5,6,对于,D,，如图,3,，,MB,MD,1,MD,MD,1,，,如图,4,，原问题相当于,AC,DB,，直线,AC,，,BD,间的距离为,1,，,在,AC,上找一点,M,使得到,D,，,B,两点间距离之和最小,.,只需找到,B,关于,AC,的对称点,E,，,1,2,3,4,5,6,5.T8,补偿,已知三棱锥,P,ABC,的所有棱长为,2,，,D,，,E,，,F,分别为,PA,，,PB,，,PC,的中点，则此三棱锥的外接球被平面,DEF,所截的截面面积为,_.,1,2,3,4,5,6,解析,如图，作,PN,平面,ABC,于,N,点，交平面,DEF,于,M,点，取三棱锥,P,ABC,的外接球球心为,O,，,则设外接球半径,OP,OB,r,，,1,2,3,4,5,6,又,D,，,E,，,F,分别为,PA,，,PB,，,PC,的中点，,1,2,3,4,5,6,6.T13,补偿,(,2021,长春模拟,),“,中国天眼,”,是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，如图，其反射面的形状为球冠,(,球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠表面积,S,2,Rh,，其中,R,为球的半径，,h,为球冠的高,),，设球冠底面的半径为,r,，周长为,C,，球冠的面积为,S,，,则,的,值,为,_.(,结果用,S,，,C,表示,),1,2,3,4,5,6,解析,如图，,r,2,(,R,h,),2,R,2,，又,S,2,Rh,，,即,R,2,C,2,4,R,2,S,S,2,，,1,2,3,4,5,6,本课结束,