行列式乘法法则ppt课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4 n,级行列式的性质,5,行列式的计算,6,行列式按一行,(,列,),展开,3 n,级行列式,2,排列,1,引言,7,克拉默,(Cramer),法则,8,拉普拉斯,(Laplace),定理 行列式的乘法法则,第二章 行列式,1,1,用消元法解二元线性方程组,(1),(2),2.1,引言,2,原方程组有唯一解,由方程组的四个系数确定,3,若记,则当时该方程组的解为,4,2,在三元一次线形方程组求解时有类似结果,即有方程组,当 时，有唯一解,5,其中,n,元一次线性方程组,它的解是否也有类似的结论呢？,6,历史资料,：,17,世纪末，莱布尼兹在研究线性方程组的解时,首先,使用现在称为结式的一个行列式,.,大约,1729,年，马克劳林开始用,行列式方法解含,2-4,个未知量的线性方程组，克莱姆,1750,年给出,行列式求解线性方程组的重要结论，即克莱姆法则,.,这些早期工,作大都是为了研究方程组而利用行列式这一工具，以求得到方程,组解的简洁表达式,.,对行列式的系统研究第一人是法国人范德邦,而行列式这一名词则由柯西给出，现今符号是凯莱,1841,年引进的,.,东方最早给出行列式概念的是日本人关孝和（早于莱布尼兹）,.,7,为此，本章依次解决如下问题：,2,）,n,级行列式的性质与计算？,1,）怎样定义,n,级行列式？,3,）方程组,(,),在什么情况下有解？,有解的情况下，如何表示此解？,8,一、排 列,二、逆序逆序数,2.2,排列,三、奇排列 偶排列,四、对换,9,一、排列,定义,称为一个,级,排列,由,1,，,2,，,，,n,组成的一个有序数组,123,，,132,，,213,，,231,，,312,，,321,如，所有的,3,级排列是,共,6=3,！,个,.,(,阶乘,),注：,所有不同级排列的总数是,10,二、逆序逆序数,我们规定各元素之间有一个标准次序,n,个不同的自然数，规定由小到大为,标准次序,.,定义,一个排列中逆序的,总数称为这个排列的,逆序数,在一个排列中，如果一对数的前后位置,与标准次序相反，即前面的数大于后面的数，,则称这对数为一个,逆序,；,11,排列,123,称为,标准排列,，,其逆序数为,注：,排列,的逆序数常记为,后面比 小的数的个数,后面比 小的数的个数,.,后面比 小的数的个数,或,前面比 大的数的个数,前面比 大的数的个数,前面比 大的数的个数,方法一,方法二,12,例,1,排列,31542,中，逆序有,31,，,32,，,54,，,52,，,42,的逆序数,.,例,2,求,级排列,解：,方法一,13,逆序数为奇数的排列称为,奇排列,；,逆序数为偶数的排列称为,偶排列,三、奇排列、偶排列,定义,标准排列,123,为偶排列,注：,练习,：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性,（,1,）,（,2,）,14,答案,:,当 时为偶排列；,当 时为奇排列,.,当,n,为偶数时为偶排列，,当,n,为奇数时为奇排列,.,方法一,方法二,（,2,）,15,四、对换,1.,定义,把一个排列中某两个数的位置互换，而,其余的数不动，得到另一个排列，这一变换,称为一个,对换,将相邻两个元素对调，叫做,相邻对换,16,证明,1),特殊情形：作相邻对换,对换 与,除 外，其它元素所成逆序不改变,.,对换改变排列的奇偶性即经过一次对换，,奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列,2.,定理,1,设排列为,17,当 时，,所成逆序不变,;,经对换后 的逆序增加,1,个,经对换后 所成逆序不变，的逆序减少,1,个,.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性,.,设排列为,当 时，,现来对换 与,2),一般情形,18,次相邻对换,次相邻对换,次相邻对换,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变,奇偶性,.,19,所有 级排列中，奇、偶排列各半，,均为 个,.,设在全部,阶排列中，有 个奇排列，个,偶排列，下证,将,个奇排列的前两个数对换，则这,个奇排列,全变成偶排列，并且它们彼此不同，,同理，将,个偶排列的前两个数对换，则这,个,偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，,推论,1,证明,故,20,一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个,任意一个排列与标准排列 都可经过,排列的奇偶性相同,3.,定理,2,由定理,1,知对换的次数就是排列奇偶性的,变化次数,因此知结论成立,.,证明,而标准排列是偶排列（逆序数为,0,）,21,一、行列式定义,二、,n,级行列式的等价定义,2.3 n,级行列式,22,一、行列式的定义,1.,二级行列式,2.,三级行列式,23,沙路法,对角线法,24,3.,n,级行列式的定义,等于所有取自不同行不同列的,n,个元素的乘积,(1),每一项（,1,）都按下列规则带有符号：,当 为奇排列时（,1,）带负号；,当 为偶排列时（,1,）带正号；,n,级行列式,的代数和，这里 为的排列,.,25,即,这里 表示对所有,1,、,2,、,、,n,的,n,级排列求和,26,2),中的数 称为行列式,D,处于,注,:,第,i,行第,j,列的元素，,i,称为行指标，,j,称为列指标,.,3),n,级行列式定义展开式中共有,n,！项,1),行列式 常简记为 或,主对角线,副对角线,27,例,1,计算行列式,28,例,2.,29,一般地,对角形行列式,30,类似可得：,上三角形行列式,下三角形行列式,31,例,3.,已知,求,的系数,.,由,n,级行列式定义，是一个的多项式函数，,且最高次幂为,显然含 的项有两项,:,与,即 与,中,的系数为,-1,.,解,:,32,这里 表示对所有,1,、,2,、,、,n,的,n,级排列和,二、,n,级行列式的等价定义,33,证明：,按行列式定义有,记,对于,D,中任意一项,总有且仅有 中的某一项,与之对应并相等,;,34,反之，,对于 中任意一项,也总有且仅有,D,中的某一项,与之对应并相等,于是,D,与,中的项可以一一对应并相等,从而,35,类似地，有,36,一、行列式的性质,二、应用举例,2.4,行列式的性质,37,转置行列式,行列式,设,称为,D,的,转置行列式,，,记作 或,38,行列互换，行列式不变，即,一、行列式的性质,性质,1,39,记,另一方面，按行列式的等价定义可表成,证：,其中,按行列式的定义,40,行列式某行（列）元素的公因子可提到,行列式符号之外即,推论,行列式中某一行（列）为零，则行列式为零,性质,2,或者说，以一数乘行列式的一行（列）就相当于,用这个数乘此行列式记为 或,41,若行列式的某一行（列）的元素都是两数,之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式,之和，即,性质,3,42,思考：,？,43,如果行列式中有两行（列）相同，那么,行列式为,0,（所谓两行相同指的是两行元素对应都相等）,性质,4,设行列式,证：,中第,i,行与第,k,行相同，,44,即，,于是，,45,行列式中两行（列）成比例，则行列式为,0,.,证：由性质,2,、性质,4,即得,把行列式的某一行（列）的倍数加到另一,行（列），行列式不变,.,记为 或,证：由性质,3,、性质,5,即得,性质,5,性质,6,性质,7,对换行列式中两行（列）位置，行列式反号,记为 或,46,性质,证：,47,性质,性质,48,例,1,.,计算行列式,说明：,计算行列式时可多次利用行列式的性质把它化为,上三角形或下三角形，从而算得行列式的值,49,例,2,.,计算行列式,解,：,50,例,3,.,计算行列式,解,：,51,52,例,4,.,若,n,级行列式 满足,证明：当,n,为奇数时，,的每行提取,-,1,，得,证：,由,有,设,53,当,n,为奇数时，,故,54,一、矩阵,二、矩阵的初等行变换,2.5,行列式的计算,三、行列式的计算,四、矩阵的初等列变换,55,一、矩阵,1.,定义,由,sn,个数排成,s,行,n,列的表,称为一个,s,n,矩阵,，,j,为列指标,.,简记为,数,称为矩阵,A,的,i,行,j,列的,元素,，其中,i,为行指标，,56,若矩阵,则说,A,为,数域,P,上的矩阵,当,s,=,n,时，称为,n,级方阵,由,n,级方阵 定义的,n,级行列式,称为,矩阵,A,的行列式,，记作 或,detA,57,2.,矩阵的相等,则称,矩阵,A,与,B,相等,，记作,A=B,设矩阵,如果,58,1),以,P,中一个非零数,k,乘矩阵的一行；,2),把矩阵的某一行的,k,倍加到另一行，；,3),互换矩阵中两行的位置,注意：,二、矩阵的初等行变换,1.,定义,数域,P,上的矩阵的初等行变换是指：,矩阵,A,经初等行变换变成矩阵,B,，一般地,A,B,59,如果矩阵,A,的任一行从第一个元素起至该行的,2.,阶梯形矩阵,第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全,为,0,，则它的下面各行也全为,0,，则称矩阵,A,为,阶梯形矩阵,60,任意一个矩阵总可以经过一系列初等行变换,化成阶梯形矩阵,性质,1,61,62,63,例,1,计算行列式,三、行列式的计算,方法：,阶梯阵，从而算得行列式的值,对行列式 中的,A,作初等行变换，把它化为,64,1),以,P,中一个非零数,k,乘矩阵的一列；,2),把矩阵的某一列的,k,倍加到另一列，；,3),互换矩阵中两列的位置,四、矩阵的初等列变换,定义,数域,P,上的矩阵的初等列变换是指：,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为,初等变换,65,注意：,把它化成列阶梯阵，从而算得行列式的值,计算行列式 时，也可对,A,作初等列变换，,也可同时作初等行变换和列变换，有时候这样,可使行列式的计算更简便,66,一、余子式、代数余子式,二、行列式按行,(,列,),展开法则,2.6,行列式按一行（列）展开,67,引入,可见，三级行列式可通过二级行列式来表示,68,一、余子式、代数余子式,定义,在,n,级行列式 中将元素,所在的,第,i,行,与第,j,列划去，剩下 个元素按原位置,次序构成一个 级的行列式，,称之为元素 的,余子式,记作 ,69,令,称 之为元素 的,代数余子式,注：,行列式中每一个元素分别对应着一个余子式,和代数余子式,无关，只与该元素的在行列式中的位置有关,元素 的余子式和代数余子式与 的大小,70,元素除 外都为,0,，则,1.,引理,二、行列式按行,(,列,),展开法则,若,n,级行列式,D=,的,中第,i,行所有,71,证：,先证的情形，即,由行列式的定义，有,72,结论成立。,一般情形：,73,结论成立。,74,2.,定理,行列式,D,等于它的任一行（列）的各元素与其,对应的代数余子式乘积之和，,即,或,行列式按行（列）展开法则,75,证：,76,例,1,.,计算行列式,解：,77,例,2,.,证明范德蒙行列式,78,证：用数学归纳法,.,时，,假设对于 级范德蒙行列式结论成立即,结论成立,79,把 从第,n,行开始，后面一行减去前面一行的,倍，得,下证对于,n,级范德蒙行列式 结论也成立,.,80,81,范德蒙行列式 中至少两个相等,注：,82,3.,推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的,对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,83,证,84,相同,当 时,同理可证,85,综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：,86,例,3,.,设 求,解：,和,87,88,例,4,.,证明：,对,k,用数学归纳法,89,一、非齐次与齐次线性方程组的概念,二、克兰姆法则及有关定理,2.7,克兰姆法则,90,一、非齐次与齐次线性方程组的概念,设线性方程组,非齐次线性方程组,若常数项不全为零，则称为,简记为,91,则称为,齐次线性方程组,若常数项 即,简记为,92,(1),非齐次线性方程组,(m=n,时的情况,),(2),齐次线性方程组,(m=n,时的情况,),93,线性方程组,（,1,）,(2),的系数,行列式,94,对于齐次线性方程组,除零解外的解（若还有的话）称为,非零解,注：,一定是它的解，称之为,零解,95,二、克莱姆法则,定理,4,如果线性方程组,（,1,）,的系数,行列式,则方程组,(,),有唯一解,96,其中,是把行列式,中第,列,所得的一个,n,阶行列式，即,的元素用方程组（,1,）的常数项代换,97,资料：克莱姆是瑞士数学家，,1704,年,7,月,31,日生于日内瓦，,1752,年,1,月,4,日去世于法国塞兹河畔的巴尼奥勒,.,早年在日内瓦读书，,1724,年起在日内瓦加尔文学院任教，,1734,年成为几何学教授，,1750,年任哲学教授,.,他一生未婚，专心治学，平易近人，德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会成员,.,1750,年，他在专著,线性代数分析导论,中提出了克莱姆法则,.(,其实莱布尼兹（,1693,年）和马克劳林（,1748,年）也给出了该法则，但他们的记法不如克莱姆，故流传下来,).,98,99,100,注：,在第三章中还将证明这个条件也是充分的 即,有非零解,101,例,2,：问,取何值时，齐次线性方程组,有非零解,?,解,:,若方程组有非零解，则,当 时,，方程组有非零解,102,评论,：,cramer,法则给出一类线性方程组的公式解，明确了解与系数的关系，这在以后的许多问题的讨论中是重要的，同时便于编成程序在计算机上进行计算,.,但作为一种计算方法而言要解一个,n,个未知量、,n,个方程的线性方程组，要计算,n+1,个,n,阶行列式，计算量较大,.,另一方面该公式对,n,个未知量，,m,个方程的一般线,性方程组的求解就无能为力。,103,一、,k,级子式余子式代数余子式,二、拉普拉斯,(Laplace),定理,2.8,拉普拉斯定理,行列式乘法法则,三、行列式乘法法则,104,拉普拉斯（,749-1827,）：法国数,学家，物理学家,16,岁入开恩大学,学习数学，后为巴黎军事学院教授,.,曾任拿破仑的内政部长,后被拿破仑,革职,.,也曾担任过法兰西学院院长,.,写了,天体力学,（共,5,卷）,关,于几率的分析理论,的不朽著作，,赢得,“,法兰西的牛顿,”,的美誉,.,拉普拉斯的成就巨大，,现在数学中有所谓的拉普拉斯变换、拉普拉斯方程、,拉普拉斯展开式等,.,他正好死于牛顿死亡的第,100,年，他的最后一句话是,我们知之甚少，不知道的却甚多,.,105,一、,k,级子式与余子式、代数余子式,定义,在一个,n,级行列式,D,中任意选定,k,行,k,列,按照,原来次序组成一个,k,级行列式,M,，称为,行列,(,),，,位于这些行和列的交,叉点上的 个元素,式,D,的一个,k,级子式,；在,D,中划去这,k,行,k,列后,式,，称为,k,级子式,M,的,余子式,；,余下的元素按照原来的次序组成的 级 行列,106,若,k,级子式,M,在,D,中所在的行、列指标分别是,，则在,M,的余子式,前,后称之,为,M,的,代数,加上符号,余子式,，记为,.,注：,k,级子式不是唯一的,.,（任一,n,级行列式有,个,k,级子式）,时，,D,本身为一个,n,级子式,时，,D,中每个元素都是一个,1,级子式；,107,二,.Laplace,定理,由这,k,行,元素所组成的一切,k,级子式与它们的,设在行列式,D,中任意取,k,(,),行，,代数余子式的乘积和等于,D,即,若,D,中取定,k,行后，由这,k,行得到的,k,级子式,则,.,，它们对应的代数余子,式分别为,为,108,时，,即为行列式,D,按某行展开；,注：,为行列式,D,取定前,k,行运用,Laplace,定理结果,109,例,1,：计算行列式,解,：,取第,1,3,行,D=(-2)1+0(-2)+(-1)5+20+60+(-1)0=-7,110,例,2,.,证明：,111,三、行列式乘法法则,设有两个,n,级行列式,其中,则,112,证：,作一个,2,n,级的行列式,由拉普拉斯定理,113,又对,D,作初等行变换：,可得,这里,114,从而,115,例,3,计算,左边,=,116,