资源描述
2024 学年第一学期第六周初二级数学学科练习
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A. 7cm ， 5cm ，12cm B. 6cm ， 8cm ，15cm
C. 8cm ， 4cm ， 4cm D. 4cm ， 6cm ， 5cm
3. 下列四个图形中，线段 BE 是△ABC 的高的是（ ）
A. B. C.
D.
4. 王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）．
A. 0 根 B. 1 根 C. 2 根 D. 3 根
5. 如图，两根钢条 AA¢，BB¢ 的中点 O 连在一起， AA¢，BB¢ 可绕点 O 自由转动，则 A¢B¢ 的长等于内槽宽
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AB ．判定△AOB≌△OA¢B¢ 的理由是（ ）
A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS
6. 如图，在△ABC 中，AD、AE 分别是边 BC 上的中线与高，AE=4，△ABC 的面积为 12，则 CD 的长为
（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 点 P 在∠AOB 的平分线上，点 P 到 OA 边的距离等于 m，点 Q 是 OB 边上的一个动点，则 PQ 与 m 的大小关系是（ ）
A. PQ＜m B. PQ＞m C. PQ≤m D. PQ≥m
8. 如图， AB ∥ DE ， AB = DE ，添加下列条件，仍不能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ）
A. AC = DF
B. BF = CE
C. ÐA = ÐD
D. AC ∥ DF
9. 定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片， 称为平面图形的镶嵌，如图是只选用大小相同的正方形在某顶点 O 周围拼接成的镶嵌图案．判断：若只选 用一种大小相同的图形，在下列四个选项中，能进行平面镶嵌的是（ ）
A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形
10. 如图，已知长方形 ABCD 的边长 AB＝20cm，BC＝16cm，点 E 在边 AB 上，AE＝6cm，如果点 P 从点
B 出发在线段 BC 上以 2cm/s 的速度向点 C 向运动，同时，点 Q 在线段 CD 上从点 C 到点 D 运动．则当时
间 t 为（ ）s 时，能够使V BPE 与V CQP 全等．
A 1 B. 1 或 4 C. 1 或 2 D. 2 或 4
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）
11. 已知一个多边形的内角和为 540°，则这个多边形是 边形．
12. 已知图中的两个三角形全等，则Ða的度数是 ．
13. 如图，D 在 BC 边上， △ABC ≌△ADE ， ÐEAC = 40° ，则ÐBAD 的度数为 ．
14. 如图，把V ABC 折叠，使点 C 的对应点恰好与点 A 重合，折痕为 FE ，若 AB = 4，BC = 8 ，则VABE
的周长为 ．
15. 如图，已知 A (3, 0) ， C (0, 6) ， AC ^ BC ，且 AC = BC ，则 B 点的坐标为 ．
16. 如图，在V ABC ，V ADE 中， ÐBAC = ÐDAE = 90° ， AB = AC ， AD = AE ，C，D，E 三点在同一直线上，连接 BD，BE ，以下四个结论
① BD = CE ；② ÐACE + ÐDBC = 90° ；
③ BD ^ CE ；④ ÐBAE + ÐDAC = 180° ．
其中结论正确的是 ．（把正确结论的序号填在横线上）．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 如图，△ABC 中，∠ABC＝∠C＝70°，BD 平分∠ABC，求∠ADB 的度数．
18. 如图，两车从路段 AB 的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达 C、D 两地， CE ^AB ， DF ^ AB ，垂足分别为 E，F， CE 与 DF 相等吗？为什么？
19. 已知：如图， Ð1 = Ð2，Ð3 = Ð4 ．求证： AB = AD ．
20. 已知一个多边形的内角和与外角和的和为 1080°，且这个多边形的各个内角都相等.求这个多边形的每个外角度数.
21. 如图，点A 、 E 、 F 、 B 在同一条直线上， CA ^ AB ， DB ^ AB ， AE = FB ， CF = DE ．求证：
ÐAFC = ÐDEB ．
22. 如图，利用尺规，在VABC 的边AC 上方作ÐEAC＝ÐACB ，在射线 AE 上截取AD＝BC ，连接CD ， 并证明： CD P AB ．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
23. 如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（ Ð1 = Ð2 ）．如图
②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，…．若Ða= 55° ，Ðg= 75°， 求Ðb的度数．
24. 如图， AB∥CD ，点 E 是 AB 上一点，连结CE ．
（1） 如图 1，若CE 平分ÐACD ，过点 E 作 EM ^ CE 交CD 于点 M ，试说明ÐA = 2ÐCME ；
（2） 如图 2，若 AF 平分ÐCAB ， CF 平分ÐDCE ，且ÐF = 70° ，求ÐACE 的度数；
（3） 如图 3，过点 E 作 EM ^ CE 交ÐDCE 的平分线于点 M ， MN ^ CM 交 AB 于点 N ， CH ^ AB ，
垂足为 H ．若ÐACH = 1 ÐECH ，请直接写出ÐMNB 与ÐA 之间的数量关系．
2
25. 平面直角坐标系中，点 A，C 分别是 x 轴和 y 轴上的动点， AC = BC ， ÐACB = 90° ．
（1）如图 1，若 A(-6，0) ， C (0，3) ，求点 B的坐标；
（2） 如图 2，设 BC 交 x 轴于点 D， AD = 8 ，若 AD 平分ÐBAC ，求点 B 的纵坐标；
（3） 如图 3，当点 C 运动到原点 O 时， ÐBAO 的平分线交 y 轴于点 E， F (t，0) ，将VEOF 沿 EF 翻折，
FO 的对应边的延长线交 AB 于点 G，H 为线段 AG 上一点，且 EF = EH ，求 FG + HG 的值．（用含 t 的式子表示）
2024 学年第一学期第六周初二级数学学科练习
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的 部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解： A 、是轴对称图形，符合题意；
B 、不是轴对称图形，不符合题意； C 、不是轴对称图形，不符合题意； D 、不是轴对称图形，不符合题意； 故选： A ．
2. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A 7cm ， 5cm ，12cm B. 6cm ， 8cm ，15cm
C. 8cm ， 4cm ， 4cm D. 4cm ， 6cm ， 5cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐项分析即可得 到答案．
【详解】解：A.Q 7 + 5 = 12 ，
\ 7cm ， 5cm ，12cm 不能构成三角形，不符合题意；
B.Q 6 + 8 = 14 < 15 ，
\ 6cm ， 8cm ，15cm 不能构成三角形，不符合题意；
C.Q4 + 4 = 8 ，
\ 8cm ， 4cm ， 4cm 不能构成三角形，不符合题意；
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D.Q 4 + 5 = 9 > 6 ，
\ 4cm ， 6cm ， 5cm 能构成三角形，符合题意； 故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较短的两边的和是否大于第 三边．
3. 下列四个图形中，线段 BE 是△ABC 的高的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】三角形的高线的定义可得，D 选项中线段 BE 是△ABC 的高． 故选：D
4. 王师傅用 4 根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）．
A. 0 根 B. 1 根 C. 2 根 D. 3 根
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【详解】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形， 故选 B
【点睛】本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单．
5. 如图，两根钢条 AA¢，BB¢ 的中点 O 连在一起， AA¢，BB¢ 可绕点 O 自由转动，则 A¢B¢ 的长等于内槽宽
AB ．判定△AOB≌△OA¢B¢ 的理由是（ ）
A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要全等三角形的判定，由 O 是 AA¢，BB¢ 的中点，可得 AO = A¢O，BO = B¢O ，再有
ÐAOA¢ = ÐBOB¢ ，可以根据全等三角形的判定方法SAS ，判定△AOB≌△OA¢B¢ ．
【详解】解：∵O 是 AA¢，BB¢ 的中点，
∴ AO = A¢O，BO = B¢O ， 在△OAB 和△OA¢B¢ 中，
ì AO = A¢O
í
ïÐAOA¢ = ÐBOB¢ ，
î
ïBO = B¢O
∴△AOB≌△OA¢B¢(SAS) ， 故选：A．
6. 如图，在△ABC 中，AD、AE 分别是边 BC 上的中线与高，AE=4，△ABC 的面积为 12，则 CD 的长为
（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先根据三角形面积和高 AE 的长求出底边 BC 的长，再根据 AD 是中线得到CD = 1 BC ，求出 CD
2
的长．
【详解】解：∵ S
∴ BC = 6 ，
V ABC
= 1 AE × BC = 12 ， AE = 4 ，
2
∵AD 是 BC 上的中线，
∴ CD = 1 BC = 3 ．
2
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中线和高的性质，解题的关键是掌握三角形中线和高的性质．
7. 点 P 在∠AOB 的平分线上，点 P 到 OA 边的距离等于 m，点 Q 是 OB 边上的一个动点，则 PQ 与 m 的大小关系是（ ）
A. PQ＜m B. PQ＞m C. PQ≤m D. PQ≥m
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的性质即可求解．
【详解】∵点 P 在∠AOB 的平分线上，点 P 到 OA 边的距离等于 m，
∴点 P 到 OB 的距离等于 m，
∵点 Q 是 OB 边上的一个动点，
∴PQ≥m． 故选：D．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知角平分线上的点到角两边距离相等．
8. 如图， AB ∥ DE ， AB = DE ，添加下列条件，仍不能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ）
A. AC = DF
B. BF = CE
C. ÐA = ÐD
D. AC ∥ DF
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是添加条件判定三角形全等，本题先把 AB ∥CD ， BF = CE ， AC ∥ DF 转化为证明全等三角形的直接条件，再逐一分析每个选项结合全等三角形的判定方法可得结论；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．
【详解】解：∵ AB ∥ DE ，
∴ ÐB = ÐE ，
A、： AC = DF，AB = DE，ÐB = ÐE ，是SSA ，不能判断三角形全等，选项符合题意；
B、∵ BF = CE ，
∴ BC = EF ，
∴ AB = DE ， ÐB = ÐE ， CB = FE 利用SAS 可得三角形全等，不符合题意；
C、ÐA = ÐD ， AB = DE ， ÐB = ÐE ，利用ASA 可得三角形全等，不符合题意；
D、∵ AC ∥ DF ，
∴ ÐACB = ÐDFE ，
∴ ÐACB = ÐDFE ， ÐB = ÐE ， AB = DE ，利用AAS 可得三角形全等，不符合题意； 故选 A．
9. 定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片， 称为平面图形的镶嵌，如图是只选用大小相同的正方形在某顶点 O 周围拼接成的镶嵌图案．判断：若只选 用一种大小相同的图形，在下列四个选项中，能进行平面镶嵌的是（ ）
A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何图形镶嵌成平面知：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，正 多边形每个内角的度数要为360° 的因数即可知道答案．
【详解】A.∵正五边形的每个内角为108° ，360° ¸108° = 10 ，10 不为整数，∴正五边形不可进行平面镶
3 3
嵌；
B. ∵正六边形的每个内角为120° ， 360° ¸120° = 3 ，∴用 3 个正六边形可进行平面镶嵌；
C. .∵正八边形的每个内角为135° ， 360° ¸135° = 8 ， 8 不为整数，∴正八边形不可进行平面镶嵌；
3 3
D. .∵正十边形的每个内角为144° ， 360° ¸144° = 5 ， 5 不为整数，∴正十边形不可进行平面镶嵌．
2 2
故选：B．
【点睛】本题考查平面密铺的知识，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加 在一起恰好组成一个周角．
10. 如图，已知长方形 ABCD 的边长 AB＝20cm，BC＝16cm，点 E 在边 AB 上，AE＝6cm，如果点 P 从点
B 出发在线段 BC 上以 2cm/s 的速度向点 C 向运动，同时，点 Q 在线段 CD 上从点 C 到点 D 运动．则当时间 t 为（ ）s 时，能够使V BPE 与V CQP 全等．
A. 1 B. 1 或 4 C. 1 或 2 D. 2 或 4
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况：①当 EB＝PC 时，△BPE≌△CQP，②当 BP＝CP 时，△BEP≌△CQP，进而求出即可．
【详解】解：分两种情况：
①当 EB＝PC，BP＝QC 时，△BPE≌△CQP，
∵AB＝20cm，AE＝6cm，
∴EB＝14cm，
∴PC＝14cm，
∵BC＝16cm，
∴BP＝2cm，
∵点 P 从点 B 出发在线段 BC 上以 2cm/s 的速度向点 C 向运动，
∴t＝2÷2＝1 s；
②当 BP＝CP，BE＝QC 时，△BEP≌△CQP， 由题意得：2t＝16﹣2t，
解集得：t＝4 s，
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，由条件分两种情况得到关于 t 的方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）
11. 已知一个多边形的内角和为 540°，则这个多边形是 边形．
【答案】5
【解析】
【详解】设这个多边形是 n 边形，由题意得，
(n-2) ×180°=540°，解之得，n=5．
12. 已知图中的两个三角形全等，则Ða的度数是 ．
【答案】50°
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；由 三角形内角和可知Ða= 180° - 58° - 72° = 50°，然后问题可求解．
【详解】解：∵图中的两个三角形全等，
∴ Ða= Ð1 = 180° - 58° - 72° = 50°；
故答案为50° ．
13. 如图，D 在 BC 边上， △ABC ≌△ADE ， ÐEAC = 40° ，则ÐBAD 的度数为 ．
【答案】 40°##40 度
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得出ÐBAC = ÐDAE ，即可求出ÐBAD = ÐEAC = 40°．
【详解】解：∵△ABC ≌△ADE ，
∴ ÐBAC = ÐDAE ，
∴ ÐBAC - ÐDAC = ÐDAE - ÐDAC ，
∴ ÐBAD = ÐEAC ，
∵ ÐEAC = 40° ，
∴ ÐBAD = 40° ， 故答案为： 40°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能根据全等三角形的性质得出ÐBAC = ÐDAE 是解此题的关键．
14. 如图，把V ABC 折叠，使点 C 的对应点恰好与点 A 重合，折痕为 FE ，若 AB = 4，BC = 8 ，则VABE
的周长为 ．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称的性质，解决问题的关键是找出折叠前后的对应边．将
BE + AE 变形为： BE + CE = BC ，进而求得结果．
【详解】解：∵将V ABC 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 FE ，
∴ AE = EC ，
∵ AB + BE + AE = AB + BE + CE = AB + BC = 4 + 8 = 12 ， 即V ABE 的周长为 12，
故答案为：12．
15. 如图，已知 A (3, 0) ， C (0, 6) ， AC ^ BC ，且 AC = BC ，则 B 点的坐标为 ．
【答案】(6, 9)
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作 BD ^ y 轴于点 D，易证ÐCBD = ÐACO ，由AAS 证明△CDB≌△AOC ，得出对应边相等，即可得出结果．
【详解】解：作 BD ^ y 轴于点 D，如图①所示：
则ÐBDC=90° ，
∴ ÐCBD + ÐDCB = 90°，
∵ A (3, 0) ， C (0, 6) ，
∴ OA = 3，OC = 6 ，
∵ AC ^ BC ，
∴ ÐDCB + ÐACO = 90°，
∴ ÐCBD = ÐACO ，
在△CDB 和△AOC 中，
ìÐBDC = ÐCOA = 90°
í
ïÐCBD = ÐACO ，
î
ïBC = CA
∴ VCDB≌VAOC (AAS) ，
∴ BD = OC = 6，CD = OA = 3 ，
∴ OD = OC + CD = 9 ，
∴点 B 坐标为(6, 9) ； 故答案为： (6, 9) ．
16. 如图，在V ABC ，V ADE 中， ÐBAC = ÐDAE = 90° ， AB = AC ， AD = AE ，C，D，E 三点在同一直线上，连接 BD，BE ，以下四个结论
① BD = CE ；② ÐACE + ÐDBC = 90° ；
③ BD ^ CE ；④ ÐBAE + ÐDAC = 180° ．
其中结论正确的是 ．（把正确结论的序号填在横线上）．
【答案】①③④
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【解析】
【分析】① 由 AB = AC
， AD = AE 利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 ABD 与三角形
ACE 全等，由全等三角形的对应边相等得到 BD = CE ，本选项正确；② 由三角形 ABD 与三角形 ACE 全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到ÐABD + ÐDBC = 45°，进而得到
ÐACE + ÐDBC = 45° ，本选项不正确； ③ 再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到 BD ^ CE ， 本选项正确； ④ 利用周角减去两个直角可得答案；
【详解】解： ①QÐBAC = ÐDAE = 90° ，
\ÐBAC + ÐCAD = ÐDAE + ÐCAD
即： ÐBAD = ÐCAE
在VBAD 和VCAE 中
ì AB = AC
í
ïÐBAD = ÐCAE
î
ï AD = AE
\VBAD ≌VCAE(SAS)
\ BD = CE
，本选项正确；
②QV ABC 为等腰直角三角形，
\ÐABC = ÐACB = 45°
\ÐABD + ÐDBC = 45°
QVBAD ≌VCAE
\ÐABD = ÐACE
\ÐACE + ÐDBC = 45° ，本选项不正确；
③QÐABD + ÐDBC = 45°
\ÐACE + ÐDBC = 45°
\ÐDBC + ÐDCB = ÐDBC + ÐACE + ÐACB = 90°
即ÐBDC = 90° ,
∴ BD ^ CE ，本选项正确；
④QÐBAC = ÐDAE = 90°
\ÐBAE + ÐDAC = 360° - 90° - 90° = 180° ，本此选项正确； 故答案为：①③④．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定 与性质是解本题的关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 如图，△ABC 中，∠ABC＝∠C＝70°，BD 平分∠ABC，求∠ADB的度数．
【答案】∠ADB＝105°．
【解析】
【分析】依据∠ABC=∠C=70°，BD 平分∠ABC，即可得出∠DBC=35°，再根据三角形外角性质，即可得到∠ADB 的度数．
【详解】解：∵∠ABC＝∠C＝70°，BD 平分∠ABC，
∴∠DBC＝35°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝70°+35°＝105°．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
18. 如图，两车从路段 AB 的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达 C、D 两
地， CE ^AB ， DF ^ AB ，垂足分别为 E，F， CE 与 DF 相等吗？为什么？
【答案】相等，理由见详解
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，先根据以相同的速度行驶，相同时间后分 别到达 C、D 两地，得 AC = BD，AC P BD，结合CE ^AB ， DF ^ AB ，证明VDBF≌VCAE (AAS) ，即可作答．
【详解】解： CE = DF ，理由如下：
∵两车从路段 AB 的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达 C、D 两地，
∴ AC = BD，AC P BD，
∴ ÐA = ÐB
∵ CE ^AB ， DF ^ AB ，
∴ VDBF≌VCAE (AAS)
∴ CE = DF
19. 已知：如图， Ð1 = Ð2，Ð3 = Ð4 ．求证： AB = AD ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由∠3=∠4 可得∠ACB=∠ACD，然后即可根据 ASA 证明△ACB≌△ACD，再根据全等三角形的性质即得结论．
【详解】解：∵Ð3=Ð4 ， ÐACB + Ð3 = 180° ， ÐACD + Ð4 = 180°，
∴ ÐACB = ÐACD ，
ìÐ1 = Ð2
í
∵ ï AC = AC ，
î
ïÐACB = ÐACD
∴△ACB≌△ACD，
∴ AB = AD ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACB≌△ACD 是解本题的关键．
20. 已知一个多边形的内角和与外角和的和为 1080°，且这个多边形的各个内角都相等.求这个多边形的每个外角度数.
【答案】60°.
【解析】
【分析】由多边形的外角和为 360°，得到多边形的内角和，然后计算得到每个外角的度数.
【详解】解：∵多边形的外角和为 360°，
∴多边形的内角和为：1080°-
360°=
720°，
∴180°(n-
2) =
720°，
解得： n = 6 ，
∴每个外角度数： 360案 6 = 60 .
【点睛】本题考查了多边形的内角和以及外角和，正确理解任何多边形的外角和都是 360°是关键．
21. 如图，点A 、 E 、 F 、 B 在同一条直线上， CA ^ AB ， DB ^ AB ， AE = FB ， CF = DE ．求证：
ÐAFC = ÐDEB ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到ÐA = ÐB = 90° ， 再证明 AF = BE ，则可证明Rt△AFC≌Rt△BED (HL) ，进而可证明ÐAFC = ÐDEB ．
【详解】证明：∵ CA ^ AB ， DB ^ AB ，
∴ ÐA = ÐB = 90° ，
∵ AE = FB ，
∴ AE + EF = FB + EF ，
∴ AF = BE ， 又∵ CF = DE ，
∴ Rt△AFC≌Rt△BED (HL) ，
∴ ÐAFC = ÐDEB ．
22. 如图，利用尺规，在VABC 的边AC 上方作ÐEAC＝ÐACB ，在射线 AE 上截取AD＝BC ，连接CD ， 并证明： CD P AB ．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】根据“等圆中，等弧所对的圆心角相等”作图即可；再根据“内错角相等，两直线平行”可判定两直线 平行，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成平行四边形的判定，最后利用平行四边形 的性质进行平行的证明．
【详解】解：如图ÐCAE ，AD，CD 为所做
因为ÐCAE = ÐACB
所以 AE∥BC
因为 AD=BC
所以四边形 ABCD 为平行四边形所以 CD∥AB．
【点睛】本题考查尺规作图；平行四边形的判定及性质．
23. 如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（ Ð1 = Ð2 ）．如图
②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，…．若Ða= 55° ，Ðg= 75°， 求Ðb的度数．
【答案】65°
【解析】
【分析】根据题意可得Ða= Ð1 = 55° ， Ðb= Ð2 ， Ðg= Ð3 = 75° ，利用三角形内角和定理求出Ð4 的度数，再结合平角的定义求解．
【详解】解：如图，由题意知： Ða= Ð1 = 55° ， Ðb= Ð2 ， Ðg= Ð3 = 75° ，
∵ Ð1 + Ð3 + Ð4 = 180° ，
∴ Ð4 = 180° - 55° - 75° = 50°，
∵ Ð2 + Ð4 + Ðb= 180°，
∴ Ð2 = Ðb= 65° ，
答：Ðb的度数为65° ．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，正确理解题意，求出Ð4 的度数是解题的关键．
24. 如图， AB∥CD ，点 E 是 AB 上一点，连结CE ．
（1） 如图 1，若CE 平分ÐACD ，过点 E 作 EM ^ CE 交CD 于点 M ，试说明ÐA = 2ÐCME ；
（2） 如图 2，若 AF 平分ÐCAB ， CF 平分ÐDCE ，且ÐF = 70° ，求ÐACE 的度数；
（3） 如图 3，过点 E 作 EM ^ CE 交ÐDCE 的平分线于点 M ， MN ^ CM 交 AB 于点 N ， CH ^ AB ，
垂足为 H ．若ÐACH = 1 ÐECH ，请直接写出ÐMNB 与ÐA 之间的数量关系．
2
【答案】（1）见解析 （2） 40°
（3） ÐMNB = 135° - ÐA
【解析】
【分析】（1）根据垂直性质推出ÐECD + ÐCME = 90° ，得到 2ÐECD + 2ÐCME = 180° ，根据角平分线定义得到 ACD = 2ÐECD ，推出ÐACD + 2ÐCME = 180° ，根据平行线性质得到ÐACD + ÐA = 180° ，推出
ÐA = 2ÐCME ；
（2） 过点 F 作 FM∥AB ，根据平行线性质推出ÐAFM = ÐBAF ， ÐCFM = ÐDCF ，得到
ÐAFC = ÐBAF + ÐDCF ，根据角平分线性质得到ÐCAB = 2ÐBAF ， ÐDCE = 2ÐDCF ，推出
ÐCAB + ÐDCE = 2ÐAFC ，根据ÐAFC = 70° ，得到ÐCAB + ÐDCE = 140° ，根据
ÐCAB + ÐACE + ÐDCE = 180° ，得到ÐACE = 40° ；
（3） 延长CM 交 AN 的延长线于点 F ，根据垂直性质得到ÐMNB = 90° - ÐF ， ÐHCF = 90° - ÐF ，得到
ÐMNB = ÐHCF ，设ÐACH = x ，则ÐECH = 2x ，根据角平分线定义设ÐECM = ÐDCM = y ，得到
ÐMNB = ÐHCF = 2x + y ，根据垂直性质得到ÐECH + ÐECD = 90° ，推出 x + y = 45° ，根据ÐA = 90° - x ， 推出ÐA + ÐMNB = 135° ，得到ÐMNB = 135° - ÐA ．
【小问 1 详解】
∵ EM ^ CE ，
∴ ÐCEM = 90° ，
∴ ÐECD + ÐCME = 90° ，
∴ 2ÐECD + 2ÐCME = 180° ，
∵ CE 平分ÐACD ，
∴ ACD = 2ÐECD ，
∴ ÐACD + 2ÐCME = 180° ，
∵ AB∥CD ，
∴ ÐACD + ÐA = 180° ，
∴ ÐA = 2ÐCME ；
【小问 2 详解】
如图，过点 F 作 FM∥AB ，
∵ AB∥CD ，
∴ FM∥AB∥CD ，
∴ ÐAFM = ÐBAF ， ÐCFM = ÐDCF ，
∴ ÐAFM + ÐCFM = ÐBAF + ÐDCF ， 即ÐAFC = ÐBAF + ÐDCF ，
∵ AF 平分ÐCAB ， CF 平分ÐDCE ，
∴ ÐCAB = 2ÐBAF ， ÐDCE = 2ÐDCF ，
∴ ÐCAB + ÐDCE = 2(ÐBAF + ÐDCF ) = 2ÐAFC ，
∵ ÐAFC = 70° ，
∴ ÐCAB + ÐDCE = 140° ，
∵ AB∥CD ，
∴ ÐCAB + ÐACE + ÐDCE = 180° ，
∴ ÐACE = 180° - (ÐCAB + ÐDCE) = 180° - 140° = 40° ；
【小问 3 详解】
ÐMNB 与ÐA 之间的数量关系是： ÐMNB = 135° - ÐA ，理由： 如图，延长CM 交 AN 的延长线于点 F ，
∵ MN ^ CM ，
∴ ÐNMF = 90° ，
∴ ÐMNB = 90° - ÐF ，
同理： ÐHCF = 90° - ÐF ，
∴ ÐMNB = ÐHCF ，
∵ ÐACH = 1 ÐECH ，
2
∴设ÐACH = x ，则ÐECH = 2x ，
∵ CM 平分ÐDCE ，
∴设ÐECM = ÐDCM = y ，
∴ ÐMNB = ÐHCF = 2x + y ，
∵ AB∥CD ， CH ^ AB ，
∴ CH ^ CD ，
∴ ÐHCD = 90° ，
∴ ÐECH + ÐECD = 90° ，
∴ 2x + 2 y = 90° ，
∴ x + y = 45° ，
∵ CH ^ AB ，
∴ ÐA = 90° - ÐACH = 90° - x ，
∴ ÐA + ÐMNB = 90° - x + 2x + y = 90° + x + y = 135° ，
∴ ÐMNB = 135° - ÐA ．
【点睛】本题主要考查了平行线，直角三角形，角平分线等，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的两锐 角互余，角平分线定义的计算，是解题的关键．
25. 平面直角坐标系中，点 A，C 分别是 x 轴和 y 轴上的动点， AC = BC ， ÐACB = 90° ．
（1）如图 1，若 A(-6，0) ， C (0，3) ，求点 B 的坐标；
（2） 如图 2，设 BC 交 x 轴于点 D， AD = 8 ，若 AD 平分ÐBAC ，求点 B 的纵坐标；
（3） 如图 3，当点 C 运动到原点 O 时， ÐBAO 的平分线交 y 轴于点 E， F (t，0) ，将VEOF 沿 EF 翻折，
FO 的对应边的延长线交 AB 于点 G，H 为线段 AG 上一点，且 EF = EH ，求 FG + HG 的值．（用含 t 的式子表示）
【答案】（1） (3，- 3)
（2） -4
（3） -2t
【解析】
【分析】（1）作 BH ^ y 轴于点 H，证明VAOC≌VCHB (AAS) ，由全等三角形的性质得出 BH = OC = 3 ，
CH = OA = 6 ，求出OH = 3 ，则可得出答案；
（2） 作 BH ^ x 轴于点 E，并延长交 AC 的延长线于点 F，证明VABE≌VAFE (ASA) ，由全等三角形的性质得出 BE = FE ，证明VACD≌VBCF (ASA) ，得出 BF = AD = 8 ，则可得出答案；
（3） 连接 EG ，作 EM ^ AB 于点 M， EN ^ FG 于点 N，证明 RtVENG≌RtVEMG (HL) ，由全等三角
形的性质得出 MG = NG ， 证明 RtVENF≌RtVEMH (HL) ， 得出 FN = HM
FN = FO ，证得 FG + HG = 2FO ，则可求出答案．
【小问 1 详解】
解：如图 1 中，
作 BH ^ y 轴于点 H，
∵ A(-6，0) ， C (0，3) ，
∴
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