1、等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义:,称为公比2、通项公式:,首项:;公比:推广:3、等比中项:(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项,即:或注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(2)数列是等比数列4、等比数列的前项和公式:(1)当时,(2)当时,(为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义:对任意的,都有为等比数列(2)等比中项:为等比数列(3)通项公式:为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义:若或为等比数列7、等比数列的性质:(2)对任何,在等比数列中,有。(3)若,则。特别的,当时,得 注:等差和等比数列比较:等差数列等比数列定义递推公式;通项公
2、式()中项()()前项和重要性质经典例题透析类型一:等比数列的通项公式例1等比数列中,, ,求.思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得;或注意到下标,可以利用性质可求出、,再求.解析:法一:设此数列公比为,则由(2)得:.(3) .由(1)得: , .(4)(3)(4)得:, ,解得或当时,;当时,.法二:,又, 、为方程的两实数根, 或 , 或.总结升华: 列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零).举一反三:【变式1】an为等比
3、数列,a1=3,a9=768,求a6。【答案】96法一:设公比为q,则768=a1q8,q8=256,q=2,a6=96;法二:a52=a1a9a5=48q=2,a6=96。【变式2】an为等比数列,an0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。【答案】64;,又an0,a45=4。【变式3】已知等比数列,若,求。【答案】或;法一:,从而解之得,或,当时,;当时,。故或。法二:由等比数列的定义知,代入已知得将代入(1)得,解得或由(2)得或 ,以下同方法一。类型二:等比数列的前n项和公式例2设等比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.解析:若q=1,则有S3=
4、3a1,S6=6a1,S9=9a1.因a10,得S3+S62S9,显然q=1与题设矛盾,故q1.由得,整理得q3(2q6-q3-1)=0,由q0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,因q31,故,所以。举一反三:【变式1】求等比数列的前6项和。【答案】;,。【变式2】已知:an为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.【答案】;,则a1=1或a1=9.【变式3】在等比数列中,求和。【答案】或2,;,解方程组,得 或将代入,得,由,解得;将代入,得,由,解得。或2,。类型三:等比数列的性质例3. 等比数列中,若,求.解析: 是等比数列, 举一反三:【变式1】正项
5、等比数列中,若a1a100=100; 则lga1+lga2+lga100=_.【答案】100;lga1+lga2+lga3+lga100=lg(a1a2a3a100)而a1a100=a2a99=a3a98=a50a51 原式=lg(a1a100)50=50lg(a1a100)=50lg100=100。【变式2】在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_。【答案】216;法一:设这个等比数列为,其公比为,。法二:设这个等比数列为,公比为,则,加入的三项分别为,由题意,也成等比数列,故,。类型四:等比数列前n项和公式的性质例4在等比数列中,已知,求。思路点拨:等差数列中也有
6、类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,第n个k项和仍然成等比数列。解析:法一:令b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n观察b1=a1+a2+an,b2=an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2+an),b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a1+a2+an)易知b1,b2,b3成等比数列,S3n=b3+S2n=3+60=63.法二:,由已知得得,即 代入得,。法三:为等比数列,也成等比数列,。举一反三:【变式1】等比数列中,公比q=2, S4=1,则S8=_.【答案】17;S8=S4+a
7、5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1(1+24)=17【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求:S30=?【答案】130;法一:S10,S20-S10,S30-S20构成等比数列,(S20-S10)2=S10(S30-S20) 即302=10(S30-40),S30=130.法二:2S10S20,, , .【变式3】等比数列的项都是正数,若Sn=80, S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.【答案】 ,(否则)=80 .(1)=6560.(2
8、),(2)(1)得:1+qn=82,qn=81.(3)该数列各项为正数,由(3)知q1an为递增数列,an为最大项54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)代入(1)得,q=3,n=4.【变式4】等比数列中,若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_.【答案】4;令b1=a1+a2=a1(1+q),b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知:b1, b2, b3成等比数列,b3=4,即a5+a6=4.【变式5】等比数列中,若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。【答案】4
9、48;an是等比数列,(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,q3=8, a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=568=448.类型五:等差等比数列的综合应用例5已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去32,则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨:恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式.解析:法一:设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.则a-d, a, a+d+32成等比数列,a-d, a-4, a+d成等比数列.由(2)得a=.(3)由(1)得32a=d2+32d .(4
10、)(3)代(4)消a,解得或d=8.当时,;当d=8时,a=10原来三个数为,或2,10,50.法二:设原来三个数为a, aq, aq2,则a, aq,aq2-32成等差数列,a, aq-4, aq2-32成等比数列由(2)得,代入(1)解得q=5或q=13当q=5时a=2;当q=13时.原来三个数为2,10,50或,,.总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列,可设此三数为a-d, a, a+d;若三数成等比数列,可设此三数为,x, xy。但还要就问题而言,这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。举一反三:【变式1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那
11、么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.【答案】为2,6,18或;设所求的等比数列为a,aq,aq2;则 2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32);解得a=2,q=3或,q=-5;故所求的等比数列为2,6,18或.【变式2】已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。【答案】1、3、9或1、3、9或9、3、1或9、3、1设这三个数分别为,由已知得得,所以或,即或故所求三个数为:1、3、9或1、3、9或9、3、1或9、3、1。【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三
12、个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.【答案】0,4,8,16或15,9,3,1;设四个数分别是x,y,12-y,16-x由(1)得x=3y-12,代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)144-24y+y2=-3y2+28y, 4y2-52y+144=0, y2-13y+36=0, y=4或9, x=0或15,四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.类型六:等比数列的判断与证明例6已知数列an的前n项和Sn满足:log5(Sn+1)=n(nN+),求出数列an的通项公式,并判断an是何种数列?思路点拨:由数列an的前n
13、项和Sn可求数列的通项公式,通过通项公式判断an类型.解析:log5(Sn+1)=n,Sn+1=5n,Sn=5n-1 (nN+), a1=S1=51-1=4,当n2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=45n-1而n=1时,45n-1=451-1=4=a1, nN+时,an=45n-1由上述通项公式,可知an为首项为4,公比为5的等比数列.举一反三:【变式1】已知数列Cn,其中Cn=2n+3n,且数列Cn+1-pCn为等比数列,求常数p。【答案】p=2或p=3;Cn+1-pCn是等比数列,对任意nN且n2,有(Cn+1-pCn)2=(Cn
14、+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)Cn=2n+3n,(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1整理得:,解得:p=2或p=3,显然Cn+1-pCn0,故p=2或p=3为所求.【变式2】设an、bn是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明数列Cn不是等比数列.【证明】设数列an、bn的公比分别为p, q,且pq为证Cn不是等比数列,只需证.,又 pq, a10, b10,即数列Cn不
15、是等比数列.【变式3】判断正误:(1)an为等比数列a7=a3a4;(2)若b2=ac,则a,b,c为等比数列;(3)an,bn均为等比数列,则anbn为等比数列;(4)an是公比为q的等比数列,则、仍为等比数列;(5)若a,b,c成等比,则logma,logmb,logmc成等差.【答案】(1)错;a7=a1q6,a3a4=a1q2a1q3=a12q5,等比数列的下标和性质要求项数相同;(2)错;反例:02=00,不能说0,0,0成等比;(3)对;anbn首项为a1b1,公比为q1q2;(4)对;(5)错;反例:-2,-4,-8成等比,但logm(-2)无意义.类型七:Sn与an的关系例7已
16、知正项数列an,其前n项和Sn满足,且a1,a3,a15成等比数列,求数列an的通项an.解析:, ,解之得a1=2或a1=3.又, 由-得,即an+an-10,an-an-1=5(n2).当a1=3时,a3=13,a15=73,a1,a3,a15不成等比数列a13;当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,a1=2,an=5n-3.总结升华:等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,它们是,尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三:【变式】命题1:若数列an的前n项和Sn=an+b(a1),则数列an是等比数列;命题2:若数列an的前n项和Sn=na-n,则数列an既是等差数列,又是等比数列。上述两个命题中,真命题为 个.【答案】0;由命题1得,a1=a+b,当n2时,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1.若an是等比数列,则,即,所以只有当b=-1且a0时,此数列才是等比数列.由命题2得,a1=a-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=a-1,显然an是一个常数列,即公差为0的等差数列,因此只有当a-10,即a1时数列an才又是等比数列.