2025年吉林考研数学试题及答案.doc

2025年吉林考研数学试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)
1. 函数$f(x)=\frac{x^2 - 1}{x - 1}$在$x = 1$处的极限为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.不存在
2. 设函数$y = f(x)$在点$x_0$处可导，则$\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h}$等于（ ）
A. $f^\prime(x_0)$ B. $2f^\prime(x_0)$ C. 0 D. $-2f^\prime(x_0)$
3. 曲线$y = x^3 - 3x^2 + 1$的拐点是（ ）
A. $(0,1)$ B. $(1, -1)$ C. $(2, -3)$ D. $(3,1)$
4. 若$\int f(x)dx = F(x) + C$，则$\int f(2x + 1)dx$等于（ ）
A. $F(2x + 1) + C$ B. $\frac{1}{2}F(2x + 1) + C$ C. $2F(2x + 1) + C$ D. $F(x) + C$
5. 向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(3,2,1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$等于（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
6. 矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的行列式的值为（ ）
A. -2 B. 2 C. -10 D. 10
7. 已知级数$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}a_n$收敛，则$\lim\limits_{n \to \infty}a_n$（ ）
A. 等于0 B. 大于0 C. 小于0 D. 不一定为0
8. 微分方程$y^\prime + 2y = 0$的通解为（ ）
A. $y = Ce^{-2x}$ B. $y = Ce^{2x}$ C. $y = C\sin2x$ D. $y = C\cos2x$
9. 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\int_a^b f(x)dx$与$\int_a^b f(t)dt$的关系是（ ）
A. 不相等 B. 相等 C. 互为相反数 D. 不确定
10. 函数$f(x)=\ln(1 + x^2)$在区间$[-1,1]$上的最大值为（ ）
A. 0 B. $\ln2$ C. 1 D. $2\ln2$

二、多项选择题(总共10题，每题2分)
1. 下列函数中，在其定义域内连续的有（ ）
A. $y = \frac{1}{x}$ B. $y = \sin x$ C. $y = \sqrt{x}$ D. $y = e^x$
2. 下列函数中，是奇函数的有（ ）
A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = \cos x$ D. $y = x + x^2$
3. 若函数$f(x)$在$x_0$处可导，则$f(x)$在$x_0$处（ ）
A. 连续 B. 有极限 C. 可微 D. 有定义
4. 下列积分中，值为0的有（ ）
A. $\int_{-1}^1 x^3dx$ B. $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx$ C. $\int_{-1}^1 e^xdx$ D. $\int_{-1}^1 xdx$
5. 向量组$\vec{a}_1=(1,0,0)$，$\vec{a}_2=(0,1,0)$，$\vec{a}_3=(0,0,1)$的性质有（ ）
A. 线性无关 B. 线性相关 C. 是三维空间的一组基 D. 秩为3
6. 下列矩阵中，是可逆矩阵的有（ ）
A. $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ B. $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ C. $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ D. $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$
7. 已知级数$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}a_n$收敛，$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}b_n$发散，则（ ）
A. $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(a_n + b_n)$发散 B. $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(a_n - b_n)$发散 C. $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}a_nb_n$发散 D. $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{a_n}{b_n}$发散
8. 微分方程$y^{\prime\prime}+y = 0$的解有（ ）
A. $y = \sin x$ B. $y = \cos x$ C. $y = e^x$ D. $y = e^{-x}$
9. 设$f(x)$在$[a,b]$上可积，则（ ）
A. $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a + b - x)dx$ B. $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$ C. $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$（$a\lt c\lt b$） D. $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(t)dt$
10. 函数$f(x)=x^2 - 2x + 3$在区间$[0,3]$上（ ）
A. 最小值为2 B. 最大值为6 C. 有极值点 D. 单调递增区间为$[1,3]$

三、填空题(总共4题，每题`5分`)
1. 函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$的定义域为____。
2. $\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin2x}{x}=$____。
3. 已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3, -1)$，则$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影为____。
4. 幂级数$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$的收敛半径为____。

四、判断题(总共10题，每题2分)
1. 若函数$f(x)$在$x_0$处有定义，则$f(x)$在$x_0$处一定连续。（ ）
2. 函数$y = x^2$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增。（ ）
3. 若$f^\prime(x_0)=0$，则$x_0$一定是函数$f(x)$的极值点。（ ）
4. $\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx = -\frac{1}{x}\big|_{-1}^1=-2$。（ ）
5. 向量组中任意两个向量都线性无关，则该向量组线性无关。（ ）
6. 若矩阵$A$的行列式$|A| = 0$，则$A$不可逆。（ ）
7. 级数$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$收敛。（ ）
8. 微分方程$y^\prime = x$的通解为$y=\frac{1}{2}x^2 + C$。（ ）
9. 若$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$f(x)$在$[a,b]$上一定连续。（ ）
10. 函数$f(x)=\ln x$在区间$(0,+\infty)$上有界。（ ）

五、简答题(总共4题，每题5分)
1. 简述函数单调性的判定方法。
2. 简述向量组线性相关与线性无关的定义及判定方法。
3. 简述级数收敛的必要条件。
4. 简述一阶线性微分方程的求解方法。

答案及解析
一、单项选择题
1. D。当$x \to 1$时，$f(x)=\frac{x^2 - 1}{x - 1}=x + 1$，但原函数在$x = 1$处无定义，所以极限不存在。
2. B。根据导数定义变形可得：$\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h}=2\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}=\\)2f^\prime(x_0)$。
3. C。对$y = x^3 - 3x^2 + 1$求二阶导数$y^{\prime\prime}=6x - 6$，令$y^{\prime\prime}=0$得$x = 1$，再代入原函数得$y=-3$，所以拐点为$(2, -3)$。
4. B。令$u = 2x + 1$，则$dx=\frac{1}{2}du$，所以$\int f(2x + 1)dx=\frac{1}{2}\int f(u)du=\frac{1}{2}F(u)+C=\frac{1}{2}F(2x + 1)+C$。
5. C。$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3 + 2\times2 + 3\times1 = 14$。
6. A。行列式的值为$1\times4 - 2\times3=-2$。
7. A。根据级数收敛的必要条件，若级数$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}a_n$收敛，则$\lim\limits_{n \to \infty}a_n = 0$。
8. A。特征方程为$r + 2 = 0$，解得$r=-2$，所以通解为$y = Ce^{-2x}$。
9. B。定积分的值与积分变量无关，所以$\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(t)dt$。
10. B。$f^\prime(x)=\frac{2x}{1 + x^2}$，令$f^\prime(x)=0$得$x = 0$，$f(0)=0$，$f(1)=\ln2$，$f(-1)=\ln2$，所以最大值为$\ln2$。

二、多项选择题
1. BD。$y = \sin x$和$y = e^x$在定义域内连续，$y=\frac{1}{x}$在$x = 0$处间断，$y=\sqrt{x}$定义域为$[0,+\infty)$，在$x = 0$处右连续。
2. AB。$y = x^3$和$y = \sin x$满足奇函数定义$f(-x)=-f(x)$，$y = \cos x$是偶函数，$y = x + x^2$非奇非偶。
3. ABCD。函数可导必连续，连续必有极限，可导与可微等价且在该点有定义。
4. ABD。$\int_{-1}^1 x^3dx$，$x^3$是奇函数，积分区间关于原点对称，值为0；$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx$，$\sin x$是奇函数，积分区间关于原点对称，值为0；$\int_{-1}^1 xdx$，$x$是奇函数，积分区间关于原点对称，值为0；$\int_{-1}^1 e^xdx=e^x\big|_{-1}^1=e-\frac{1}{e}\neq0$。
5. ACD。向量组$\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$线性无关，是三维空间的一组基，秩为3。
6. AB。单位矩阵和二阶矩阵$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$行列式不为0，可逆；$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$行列式为$-2\neq0$，可逆；$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$行列式为0，不可逆。
7. AB。收敛级数与发散级数的和、差一定发散。
8. AB。$y^{\prime\prime}+y = 0$的特征方程$r^2 + 1 = 0$，解得$r=\pm i$，通解为$y = C_1\sin x + C_2\cos x$。
9. ABCD。A选项通过换元可证；B选项是定积分性质；C选项是定积分的可加性；D选项已说明。
10. ABC。$f(x)=x^2 - 2x + 3=(x - 1)^2 + 2$，对称轴为$x = 1$，在$[0,1]$单调递减，在$[1,3]$单调递增，最小值为$f(1)=2$，最大值为$f(3)=6$，$x = 1$是极值点。

三、填空题
1. $(2,+\infty)$。要使根式有意义，则$x - 2\gt0$，所以定义域为$(2,+\infty)$。
2. 2。根据等价无穷小，当$x \to 0$时，$\sin2x\sim2x$，所以$\lim\limits_{x \to 0}\frac{\sin2x}{x}=2$。
3. $\frac{1}{\sqrt{10}}$。$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影为$\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{1\times3 + 2\times(-1)}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$。
4. $+\infty$。对于幂级数$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$，用比值审敛法，$\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{(n + 1)!}}{\frac{1}{n!}}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n + 1}=0$，所以收敛半径为$+\infty$。

四、判断题
1. ×。有定义不一定连续，还要满足极限值等于函数值。
2. ×。$y = x^2$在$(-\infty,0)$单调递减，在$(0,+\infty)$单调递增。
3. ×。$f^\prime(x_0)=0$，$x_0$不一定是极值点，还需判断两侧导数符号。
4. ×。$\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx$在$x = 0$处无界，该积分发散。
5. ×。向量组线性无关要求任意一个向量都不能由其余向量线性表示。
6. √。矩阵行列式为0，则不可逆。
7. ×。$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$是调和级数，发散。
8. √。对$y^\prime = x$积分得$y=\frac{1}{2}x^2 + C$。
9. ×。可积不一定连续，有界且间断点有限即可积。
10. ×。$f(x)=\ln x$在$(0,+\infty)$上值域为$(-\infty,+\infty)$，无界。

五、简答题
1. 首先求函数的导数，若导数大于0，则函数在相应区间单调递增；若导数小于0，则函数在相应区间单调递减。对于复合函数，利用复合函数求导法则求导后再判断。例如$y = (x + 1)^2$，求导得$y^\prime = 2(x + 1)$，当$x\gt - 1$时，$y^\prime\gt0$，函数单调递增；当$x\lt - 1$时，$y^\prime\lt0$，函数单调递减。
2. 线性相关定义：存在不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得$k_1\vec{\alpha}_1 + k_2\vec{\alpha}_2+\cdots + k_n\vec{\alpha}_n = 0$。判定方法：可以通过向量组构成的矩阵的秩来判断，若秩小于向量个数，则线性相关；也可看向量之间是否存在线性表示关系。比如向量组$\vec{a}_1=(1,1)$，