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2025年专升本数学3试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)
1. 函数$y=\frac{1}{\ln(x - 1)}$的定义域是（ ）
A. $(1,+\infty)$ B. $(1,2)\cup(2,+\infty)$ C. $(2,+\infty)$ D. $[2,+\infty)$
2. 当$x\to0$时，与$x$等价的无穷小是（ ）
A. $sinx - x$ B. $e^x - 1$ C. $1 - cosx$ D. $ln(1 + x)$
3. 已知函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$f^\prime(x_0)=2$，则$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0 + h)-f(x_0 - h)}{h}$等于（ ）
A. 2 B. 4 C. 0 D. -2
4. 曲线$y = x^3 - 3x^2 + 1$在点$(1,-1)$处的切线方程为（ ）
A. $y = 3x - 4$ B. $y = -3x + 2$ C. $y = -4x + 3$ D. $y = 4x - 5$
5. 设函数$f(x)$的一个原函数为$e^{-x}$，则$f^\prime(x)$等于（ ）
A. $e^{-x}$ B. $-e^{-x}$ C. $e^{-x}(1 + x)$ D. $-e^{-x}(1 + x)$
6. 定积分$\int_{0}^{1}x^2dx$的值为（ ）
A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{1}{2}$ C. 1 D. 3
7. 向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(3,2,1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$等于（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
8. 已知直线$L_1:\frac{x - 1}{1}=\frac{y + 1}{-2}=\frac{z - 1}{1}$与直线$L_2:\frac{x - 2}{1}=\frac{y + 2}{-2}=\frac{z}{1}$，则两直线的关系是（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 重合
9. 函数$z = x^2 + y^2$在点$(1,2)$处的全微分$dz$等于（ ）
A. $2dx + 4dy$ B. $4dx + 2dy$ C. $dx + 2dy$ D. $2dx + dy$
10. 幂级数$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收敛半径为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、多项选择题(总共10题，每题2分)
1. 下列函数中，在其定义域内连续且可导的有（ ）
A. $y = x^2$ B. $y = |x|$ C. $y = \sqrt{x}$ D. $y = e^x$
2. 下列极限存在的有（ ）
A. $\lim\limits_{x\to0}\frac{sinx}{x}$ B. $\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$ C. $\lim\limits_{x\to0}(1 - x)^{\frac{1}{x}}$ D. $\lim\limits_{x\to0}\frac{ln(1 + x)}{x}$
3. 函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值的必要条件是（ ）
A. $f^\prime(x_0)=0$ B. $f^{\prime\prime}(x_0)\neq0$ C. $f(x)$在$x_0$处连续且$f^\prime(x_0)=0$ D. $f(x)$在$x_0$处可导且$f^\prime(x_0)=0$
4. 下列函数中，是奇函数的有（ ）
A. $y = x^3 + sinx$ B. $y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ C. $y = x^2cosx$ D. $y = ln(x+\sqrt{1 + x^2})$
5. 已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则下列说法正确的有（ ）
A. $\int_{a}^{b}f(x)dx$是一个常数 B. $\int_{a}^{b}f(x)dx$表示由曲线$y = f(x)$，直线$x = a$，$x = b$及$x$轴所围成的图形的面积 C. $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$ D. 若$F^\prime(x)=f(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)$
6. 设向量$\vec{a}=(1,0, - 1)$，$\vec{b}=(0,1,2)$，则（ ）
A. $\vec{a}\times\vec{b}=(1,-2,1)$ B. $\vec{a}\cdot\vec{b}=-2$ C. $|\vec{a}|=\sqrt{2}$ D. $|\vec{b}|=\sqrt{5}$
7. 下列方程所表示的曲面中，是旋转曲面的有（ ）
A. $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ B. $x^2 - y^2 = 1$ C. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{9}=1$ D. $z = x^2 + y^2$
8. 已知函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微，则（ ）
A. $f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处连续 B. $f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$都存在 C. $\Delta z = f_x(x_0,y_0)\Delta x + f_y(x_0,y_0)\Delta y + o(\rho)$，其中$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ D. $f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数连续
9. 下列级数中，收敛的有（ ）
A. $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ B. $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$ C. $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$ D. $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n!}$
10. 设$A$为$n$阶方阵，下列说法正确的有（ ）
A. 若$|A| = 0$，则$A$的列向量组线性相关 B. 若$|A|\neq0$，则$A$可逆 C. 若$A$可逆，则$|A|\neq0$ D. 若$A$的行向量组线性无关，则$|A|\neq0$

三、填空题(总共4题，每题5分)
1. 已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2 + 1,x\leq1\\ax + b,x\gt1\end{cases}$在$x = 1$处连续，则$a - b =$____。
2. 曲线$y = x^3 - 3x^2 + 2x$的拐点坐标为____。
3. 设$D$是由$x = 0$，$x = 1$，$y = 0$，$y = 1$所围成的区域，则$\iint_{D}xydxdy =$____。
4. 已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(3,2,1)$，则向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$上的投影为____。

四、判断题(总共10题，每题2分)
1. 若函数$f(x)$在点$x_0$处有定义，则$f(x)$在点$x_0$处一定连续。（ ）
2. 若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$存在，$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)$不存在，则$\lim\limits_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]$一定不存在。（ ）
3. 函数$f(x)$在区间$(a,b)$内的极大值一定大于极小值。（ ）
4. 若$f^\prime(x_0)=0$，则$x_0$一定是函数$f(x)$的极值点。（ ）
5. 定积分的值与积分变量的选取无关。（ ）
6. $\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0$，则$f(x)$一定是奇函数。（ ）
7. 若向量$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。（ ）
8. 若直线$L_1$与$L_2$的方向向量平行，则$L_1$与$L_2$平行。（ ）
9. 函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_