浙大城市学院《数学建模与数学方法》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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浙大城市学院
《数学建模与数学方法》2023-2024学年第一学期期末试卷

院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______

题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、设函数，当时，函数的值是多少？考查特殊值下函数的取值。（ ）
A. B. C. D.

2、设，则y'等于（ ）
A.
B.
C.
D.

3、已知函数，则函数的导数是多少？（ ）
A. B. C. D.

4、已知函数，求的麦克劳林展开式。( )
A. B. C. D.

5、设函数 f(x,y)=x³y²，求在点(1,1)处的梯度。（ ）
A.(3,2) B.(2,3) C.(1,1) D.(4,3)

6、设向量 a=(1,1,1)，向量 b=(1,-1,1)，向量 c=(1,1,-1)，则向量 a、b、c 所构成的平行六面体的体积为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8

7、计算三重积分∫∫∫Ω(x² + y² + z²)dxdydz，其中 Ω 是由球面 x² + y² + z² = 1 所围成的区域，采用球坐标变换后可得（ ）
A.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀¹r⁴dr B.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀²r⁴dr C.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀³r⁴dr D.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀⁴r⁴dr

8、当时，下列函数中哪个是比高阶的无穷小？（ ）
A.
B.
C.
D.

9、微分方程的特征方程的根为（ ）
A. （二重根）
B. （二重根）
C. ，
D. ，

10、已知函数，在区间上，函数的零点有几个？函数零点问题。（ ）
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、设函数，则该函数的值恒为____。

2、求函数的定义域为____。

3、求函数的定义域为____。

4、求函数的单调递增区间为____。

5、已知向量，向量，向量，则向量，，______________。

三、证明题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）设函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间内可导，且。证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且，。证明：存在，使得。

3、（本题10分）设函数在区间[a,b]上二阶可导，且，。证明：存在，使得。

四、解答题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）计算定积分。

2、（本题10分）计算定积分。

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