阿克苏职业技术学院《大学数学A（下）》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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阿克苏职业技术学院
《大学数学A（下）》2023-2024学年第一学期期末试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、函数在点处沿向量方向的方向导数为（ ）
A.
B.
C.
D.

2、曲线在点处的切线方程是（ ）
A.
B.
C.
D.

3、已知向量，向量，向量，求向量的模是多少？向量的运算和模的计算。（ ）
A. B. C. D.

4、函数在处的极限为（ ）
A.0 B.2 C.4 D.不存在

5、求定积分的值是多少？（ ）
A.10 B.12 C.14 D.16

6、设，则y'等于（ ）
A.
B.
C.
D.

7、微分方程的通解为（ ）
A.
B.
C.
D.

8、已知函数 z = ln(x² + y²)，求全微分 dz（ ）
A.(2x/(x² + y²))dx + (2y/(x² + y²))dy；B.(x/(x² + y²))dx + (y/(x² + y²))dy；C.(2x/(x² + y²))dx - (2y/(x² + y²))dy；D.(x/(x² + y²))dx - (y/(x² + y²))dy

9、计算三重积分∫∫∫Ω(x² + y² + z²)dxdydz，其中 Ω 是由球面 x² + y² + z² = 1 所围成的区域，采用球坐标变换后可得（ ）
A.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀¹r⁴dr B.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀²r⁴dr C.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀³r⁴dr D.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀⁴r⁴dr

10、求函数的垂直渐近线方程。（ ）
A. B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、求由曲线与直线，所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积，利用定积分求旋转体体积公式，结果为_________。

2、计算定积分的值为____。

3、设，则的导数为____。

4、计算定积分的值为______________。

5、设，则为____。

三、证明题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）设函数在[0,1]上二阶可导，，且在[0,1]上的最大值为，设，。证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，，且不是常数函数。证明：存在，使得和存在，使得。

3、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，且不恒为常数。证明：存在，使得对于任意给定的正数（小于在[a,b]上的最大值与最小值之差），有，其中为某个充分小的正数。

四、解答题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）计算定积分。

2、（本题10分）已知函数，在区间上，求函数的单调递增区间。

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