湖北汽车工业学院科技学院《数学与统计学（一）》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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湖北汽车工业学院科技学院《数学与统计学（一）》
2023-2024学年第一学期期末试卷

院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______

题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知曲线在点处的切线方程为，则 a 的值和 b 的值分别为（ ）
A.a=1，b=-2 B.a=-1，b=2 C.a=2，b=-1 D.a=-2，b=1

2、设函数，求函数的定义域是什么？（ ）
A.
B.
C.
D.

3、已知函数，求其在处的泰勒展开式是多少？（ ）
A.
B.
C.
D.

4、设函数，则函数在处的导数是多少？（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.不存在

5、计算定积分。( )
A. B. C. D.

6、判断级数∑(n=1 到无穷)(-1)^n * (n²/3^n)的敛散性。（ ）
A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.无法确定

7、当时，下列函数中哪个是无穷小量？（ ）
A.
B.
C.
D.

8、计算极限的值是多少？（ ）
A. B. C. D.不存在

9、计算二重积分∫∫D(x² + y²)dxdy，其中 D 是由 x² + y² = 4 所围成的区域，采用极坐标变换后可得（ ）
A.∫₀²πdθ∫₀²r³dr B.∫₀²πdθ∫₀²r²dr C.∫₀²πdθ∫₀⁴r³dr D.∫₀²πdθ∫₀⁴r²dr

10、已知函数，求在点处的全微分是多少？（ ）
A. B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、设函数在处有极值 -2，则和的值分别为____。

2、计算定积分的值为____。

3、已知函数，则当趋近于无穷大时，的值趋近于______________。

4、求由曲面与平面所围成的立体体积为____。

5、计算无穷级数的和为____。

三、解答题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数，求函数的最小值。

2、（本题10分）计算二重积分，其中是由直线，，所围成的区域。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且。证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且，。证明：存在，，使得。

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