2025年香港高考数学试题及答案.doc

2025年香港高考数学试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)
1. 若集合$A=\{x|x^2 - 3x + 2 = 0\}$，$B=\{x|x^2 - ax + a - 1 = 0\}$，且$A\cap B = B$，则实数$a$的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 1或2
2. 函数$y = \log_2(x^2 - 4x + 3)$的单调递增区间是（ ）
A. $(3, +\infty)$ B. $(2, +\infty)$ C. $(-\infty, 2)$ D. $(-\infty, 1)$
3. 已知向量$\vec{a}=(1, -2)$，$\vec{b}=(m, 4)$，且$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则实数$m$的值为（ ）
A. -2 B. 2 C. -8 D. 8
4. 若$\sin\alpha = \frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限角，则$\cos\alpha$的值为（ ）
A. $\frac{4}{5}$ B. $-\frac{4}{5}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $-\frac{3}{4}$
5. 圆$x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0$的圆心坐标是（ ）
A. $(2, -3)$ B. $(-2, 3)$ C. $(2, 3)$ D. $(-2, -3)$
6. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_3 = 5$，$S_9 = 81$，则$a_7$的值为（ ）
A. 11 B. 13 C. 15 D. 17
7. 函数$f(x)=x^3 - 3x^2 + 1$的极小值点为（ ）
A. 0 B. 2 C. -2 D. 3
8. 若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y = \frac{3}{4}x$，则双曲线的离心率为（ ）
A. $\frac{5}{4}$ B. $\frac{5}{3}$ C. $\frac{4}{3}$ D. $\frac{3}{2}$
9. 从1, 2, 3, 4, 5这五个数字中任取三个不同的数字组成三位数，则这个三位数大于400的概率为（ ）
A. $\frac{2}{5}$ B. $\frac{1}{5}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{4}{5}$
10. 已知函数$f(x)$满足$f(x + 1)=f(x - 1)$，且$f(x)$在区间$[0, 1]$上是增函数，则$f(-2.5)$，$f(-1)$，$f(0)$的大小关系是（ ）
A. $f(-2.5)\lt f(0)\lt f(-1)$ B. $f(-1)\lt f(-2.5)\lt f(0)$ C. $f(-2.5)\lt f(-1)\lt f(0)$ D. $f(0)\lt f(-1)\lt f(-2.5)$

二、多项选择题(总共10题，每题2分)
1. 下列函数中，既是偶函数又在$(0, +\infty)$上单调递增的是（ ）
A. $y = x^3$ B. $y = x^{\frac{2}{3}}$ C. $y = |x| + 1$ D. $y = 2^{|x|}$
2. 已知$a\gt0$，$b\gt0$，且$a + b = 4$，则下列结论正确的是（ ）
A. $ab\leq4$ B. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq1$ C. $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq2\sqrt{2}$ D. $a^2 + b^2\geq8$
3. 若直线$y = kx + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相交于$A$，$B$两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 弦长$|AB|$的最小值为$\sqrt{2}$ B. 弦长$|AB|$的最大值为2 C. 当弦长$|AB|$最长时，$k = 0$ D. 当弦长$|AB|$最短时，$k = 0$
4. 已知$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，则下列说法正确的是（ ）
A. 若$a^2 + b^2\lt c^2$，则$\triangle ABC$是钝角三角形 B. 若$a\cos A = b\cos B$，则$\triangle ABC$是等腰三角形 C. 若$\sin A\gt\sin B$，则$A\gt B$ D. 若$a = 2\sqrt{3}$，$b = 2$，$A = 60^{\circ}$，则此三角形有两解
5. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，下列结论正确的是（ ）
A. 若$a_1 = 1$，$a_3 = 4$，则$a_2 = 2$ B. 若$a_1 + a_3 = 5$，$a_2 + a_4 = 10$，则$a_5 = 16$ C. $a_1a_2\cdots a_n = a_1^nq^{\frac{n(n - 1)}{2}}$ D. 若$a_n\gt0$，则$\lg a_1+\lg a_2+\cdots+\lg a_n = n\lg a_1+\frac{n(n - 1)}{2}\lg q$
6. 已知函数$f(x)=\begin{cases}2^x,x\lt0\\x^2 + 1,x\geq0\end{cases}$，则下列说法正确的是（ ）
A. $f(x)$的值域是$[1, +\infty)$ B. 若$f(x)=5$，则$x = 2$ C. $f(x)$在$R$上是增函数 D. $f(x)$是奇函数
7. 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt b\gt0)$的左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，点$P$在椭圆上，且$|PF_1| = 3|PF_2|$，则椭圆的离心率可能是（ ）
A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{4}{5}$
8. 已知函数$y = f(x)$的定义域为$R$，且满足$f(x + 2)= -f(x)$，则下列说法正确的是（ ）
A. $f(x)$是周期函数 B. $f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称 C. $f(x)$的图象关于点$(1, 0)$对称 D. $f(2025)=f(1)$
9. 已知复数$z = a + bi$（$a$，$b\in R$），则下列说法正确的是（ ）
A. 若$z = 1 + 2i$，则$|z|=\sqrt{5}$ B. 若$z = 1 + 2i$（$i$为虚数单位），则$z\cdot\overline{z}=5$ C. 若$z = a + bi$，则$z^2=(a^2 - b^2)+2abi$ D. 若$z = a + bi$，则$|z|=\sqrt{a^2 + b^2}$
10. 已知函数$y = f(x)$是定义在$R$上的函数，其导函数为$f^\prime(x)$，则下列说法正确的是（ ）
A. 若$f(x)$是奇函数，则$f^\prime(x)$是偶函数 B. 若$f(x)$是偶函数，则$f^\prime(x)$是奇函数 C. 若$f(x)$是周期函数，则$f^\prime(x)$是周期函数 D. 若$f(x)$是单调递增函数，则$f^\prime(x)\gt0$恒成立

三、填空题(总共4题，每题5分)
1. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x - 1}$，则$f(f(2)) =$____。
2. 在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\sin A =$____。
3. 已知直线$l$过点$(1, 2)$，且在两坐标轴上的截距相等，则直线$l$的方程为____。
4. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 1$，$a_{n + 1}=2a_n + 1$，则$a_n =$____。

四、判断题(总共10题，每题2分)
1. 函数$y = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$的定义域是$(1, +\infty)$。（ ）
2. 若向量$\vec{a}$，$\vec{b}$满足$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，则$\vec{a}=0$或$\vec{b}=0$。（ ）
3. 函数$y = \sin x$的最小正周期是$2\pi$。（ ）
4. 圆$x^2 + y^2 = 1$与直线$y = x + 1$相切。（ ）
5. 若$a\gt b$，则$a^2\gt b^2$。（ ）
6. 数列$1, 2, 4, 8, 16,\cdots$是等比数列。（ ）
7. 函数$y = \log_2x$在$(0, +\infty)$上是减函数。（ ）
8. 若$\triangle ABC$中，$A = 30^{\circ}$，$a = 1$，$b = \sqrt{3}$，则$B = 60^{\circ}$。（ ）
9. 椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$。（ ）
10. 若函数$f(x)$在区间$[a, b]$上有最大值$M$，最小值$m$，则$M - m\geq0$。（ ）

五、简答题(总共4题，每题5分)
1. 已知函数$f(x)=x^2 - 2x + 3$，求函数$f(x)$在区间$[0, 3]$上的最大值和最小值。
2. 在$\triangle ABC$中，已知$a = 2\sqrt{3}$，$b = 2$，$A = 60^{\circ}$，求角$B$和边$c$。
3. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = n^2 + 2n$，求数列$\{a_n\}$的通项公式。
4. 已知直线$l$过点$P(2, 3)$，且与直线$x - y + 1 = 0$垂直，求直线$l$的方程。

答案与解析
一、单项选择题
1. 答案：C。解析：先求解集合$A = \{1, 2\}$，由$A\cap B = B$得$B\subseteq A$。对于集合$B$，由$x^2 - ax + a - 1 = 0$得$(x - 1)[x-(a - 1)] = 0$，所以$x = 1$或$x = a - 1$。当$a - 1 = 1$即$a = 2$时，$B = \{1\}$满足；当$a - 1 = 2$即$a = 3$时，$B = \{1, 2\}$也满足，所以$a = 2$或$3$。
2. 答案：A。解析：先求函数定义域$x^2 - 4x + 3\gt0$，解得$x\gt3$或$x\lt1$。令$t = x^2 - 4x + 3$，函数$y = \log_2t$单调递增，根据复合函数同增异减，求$t = x^2 - 4x + 3$的递增区间，其对称轴为$x = 2$，所以递增区间是$(3, +\infty)$。
3. 答案：A。解析：因为$\vec{a}\parallel\vec{b}$，所以$1\times4 - (-2)\times m = 0$，解得$m = -2$。
4. 答案：B。解析：因为$\alpha$是第二象限角，所以$\cos\alpha\lt0$，根据$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1$，可得$\cos\alpha = -\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}$。
5. 答案：A。解析：将圆方程化为标准方程$(x - 2)^2+(y + 3)^