二维格微分方程周期强迫波的唯一性.pdf

第 卷 第期宁夏大学学报(自然科学版)年月V o l N o J o u r n a l o fN i n g x i aU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)S e p 文章编号:()二维格微分方程周期强迫波的唯一性顾宇萌,史振霞(兰州交通大学 数理学院,甘肃 兰州 )摘要:研究了二维格微分方程周期强迫波的唯一性首先,给出周期强迫波的存在性定理,该强迫波根据环境变化的速度而变化其次,利用挤压技巧证明了当波速满足相应条件时,二维格微分方程存在满足边界条件的唯一周期强迫波关键词:周期强迫波;二维格微分方程;挤压技巧;唯一性;环境变化分类号:(中图)O 文献标志码:A收稿日期:基金项目:国家自然科学基金资助项目()作者简介:顾宇萌(),女,硕士研究生,主要从事微分方程与动力系统研究通信联系人:史振霞(),女,副教授,博士,主要从事微分方程与动力系统研究,(电子信箱)s h i z h x m a i l l z j t u c n 近年来,由于全球气候变化,许多物种开始慢慢向极地迁移,为了生存,它们需以一定速度迁移到适合生存的环境为了更好地解释迁移对物种生存产生的影响,学者们开始研究随着栖息地的变化物种的动力学行为,从而判断该物种在未来是持续存在还是走向灭绝如果走向灭绝,就需要采取保护措施,这对自然界的生态平衡有重要的现实意义对这一问题的研究可以追溯到 年,B e r e s t y c k i等在文献 中应用最大值原理和比较原理研究了方程utD ux xf(xc t,u)()行波解的存在性及解的渐近行为,从而研究气候变化对种群的影响 年,H u和Z o u在文献 中利用上下解方法结合单调迭代技巧证明了反应扩散方程:ut(t,x)d ux x(t,x)u(t,x)(r(xc t)u(t,x),t,xR()单调强迫波的存在性,其中假设增长率r是与时空相关的,r()连续非减且有界,并满足r()r(),同时将种群的生存区域划分为有利于其生存的区域(xR:r(xc t)和不利于其生存的区域(xR:r(xc t)年,L i等和W a n g等利用单调半流方法证明了非局部扩散方程ut(t,x)d(Juu)(t,x)u(t,x)(r(xc t)u(t,x),t,xR()行波解的最小波速c的存在性,从而证明了强迫波的存在性、唯一性和稳定性以及当cc时强迫波的非存在性随后,Z h a n g和Z h a o研究了具有时间周期的非局部反应扩散方程()的强迫波的存在性、非存在性、唯一性和全局指数稳定性在种群动力学中,格微分方程可以描述空间离散斑块环境下种群的增长和入侵过程温度和季节变化也会对种群动态产生很大影响,例如,在一年的时间里,由于低温、缺乏食物或其他原因,种群的出生率在春天较高、冬天较低因此,研究具有时间周期的格微分方程的行波解及强迫波是具有现实意义的 年,P a n g和Wu在文献 中应用上下解方法结合单调迭代技巧证明了具有时间周期的一维格微分方程utt,x()du(t,x)u(t,x)u(t,x)u(t,x)(r(xc t,t)u(t,x)()强迫波的存在性,并应用滑动技巧及比较原理证明了强迫波的唯一性和全局指数稳定性在实际生活中,许多问题的研究通常是在高维空间环境中,而非一维情形,从而启发了许多学者开始研究二维格微分方程 Z h a n g和G u o在文献宁夏大学学报(自然科学版)第 卷 中利用上下解方法及单调迭代技巧证明了二维格微分方程ui,jui,jui,juij ui,j uijf(ui,j),i,jZ()单稳行波解的存在性,并利用I k e h a r a定理研究解的渐近行为,从而证明了行波解的唯一性二维 格 微 分 方 程 的 行 波 解 已 经 被 广 泛 研究,从上述结果可以发现,研究二维空间下迁移对物种生存产生的影响具有重要的理论价值和现实意义受文献 的启发,本文研究二维格微分方程ut(x,t)Du(xc o s,t)u(xc o s,t)u(xs i n,t)u(xs i n,t)u(x,t)u(x,t)(r(xc t,t)u(x,t),()满足边界条件l i mU(,t),l i mU(,t)q(t),tR()的周期强迫波u(x,t)U(xc t,t)的唯一性,其中xic o sjs i n,i,jZ,且,/是波的传播方向,q(t)为空间齐次方程u(t)u(t)r(,t)u(t)的唯一正周期解,u(x,t)表示x处t时刻的种群密度,D为种群扩散率,cR是栖息地变化的速度,r是与时空相关的种群增长率,u(x,t)(r(xc t,t)u(x,t)可以理解为种群在栖息地变化时做出的反应假设r(x,t)满足下列条件:(H)r(,t)是连续函数且关于是非减的,并且满足r(,t)r(,t)及r(,t)r(,t),为正常数同时考虑将空间区域分为对种群生存有利的区域(r(xc t,t)和 对 种 群 生 存 不 利 的 区 域(r(xc t,t)预备知识首先给出周期强迫波的定义定义若U(,t)满足UtDU(c o s,t)U(c o s,t)U(s i n,t)U(s i n,t)U(,t)c UU(,t)(r(,t)U(,t)及U(,t)U(,t),其中xc t,c为环境变化的速度,则称u(x,t)U(xc t,t),xic o sjs i n为方程()的周期强迫波定理设条件(H)成立,对于任意cc,方程()存 在 连 接和q(t)的 周 期 强 迫 波U(xc t,t),xic o sjs i n,其中c i n f Dec o sec o ses i nes i nr(),r(x)r(x,t)dt方程()周期强迫波的存在性定理可以利用上下解方法并结合单调迭代技巧得到,其具体证明过程可参考文献,下面给出其概要令V(,t)U(,t),研究下列方程的周期强迫行波解V(,t):VtDV(c o s,t)V(c o s,t)V(s i n,t)V(s i n,t)V(,t)c VV(,t)(r(,t)V(,t),()满足边界条件l i mV(,t)q(t),l i mV(,t),t R()首先,构造方程()的上解V(,t)m i nq(t),(t)e(),其中(t)e x ptr(,s)r()ds,使得r(,t),且满足m a xt,qt()m i nt,(t)同时构造方程()的下解V(,t)m a xV(,t),其中V(,t)为方程(V)tDV(c o s,t)V(c o s,t)V(s i n,t)V(s i n,t)V(,t)c(V)f(t,V)的解,且f(t,u)u(r(,t)u),u,u根据上、下解的形式定义波廓集 V,V()VCR,R():V,t()V,t()V,t()且V,t()V,t()其次,定义算子F:C(R,R),记为F(V)(,t)te(ts)H(V)(c(st),s)ds,t,(,R,其中Dm i nr,t()s u pt,RV,t(),H:C(R,R),且H(V)(,t)V(,t)DV(c o s,t)V(c o s,t)V(s i n,t)V(s i n,t)V(,t)V(,t)(r(,t)V(,t),将方程解的存在性问题转化为算子F的不动点问题最后,构造迭代序列VV,VF(V),VnF(Vn),n,利用单调迭代技巧得到方程()有满足边界条件()的周期强迫波V(,t),即方程()第期顾宇萌等:二维格微分方程周期强迫波的唯一性有满足边界条件()的周期强迫波 周期强迫波的唯一性定理设条件(H)成立当cc时,方程()有唯一的连接和q(t)的周期强迫波U(xc t,t),xic o sjs i n证明定义正函数g(,t),使得g(,t)g(,t),g(,t)L,其中L假设Ui(,t),i,为方程()具有相同强 迫 波 速cc的 两 个 强 迫 波,并 满 足Ui(,t),Ui(,t)q(t),i,对于任意的,令Mm:m U(,t)U(,t)g(,t),(,t)R,则显然l i mU(,t)g(,t)U(,t),l i mU(,t)g(,t)U(,t)q(t)g(,t)q(t)对所有的tR成立,故存在常数h使得U(,t)g(,t)U(,t)h,(,t)R,因此,M令mi n fM,则mU(,t)U(,t),(,t)R对于任意的,有mU(,t)U(,t)U(,t)成立因此,mm,即m关于是非增的定义ml i mm显然,m,现在分两种情况证明m:情况若对于任意,m,则m显然成立;情况若存在使得m,则根据m关于的非增性可知,对于(,有mm 下面证明情况是不成立的对于任意的(,定义v(,t)mU(,t)U(,t)g(,t),(,t)R,则有v(,t),(,t)R从而显然有l i mv(,t)U(,t)l i mmU(,t)U(,t)g(,t)U(,t),l i mv(,t)U(,t)l i m(m)q(t)g(,t)q(t),又由m的定义可知,存在(,t)使得v(,t),在(,t)的任意邻域内v(,t)()若()式不成立,则存在使得对于任意的(,t)R,有v由于m,选择充分小的使得m且v(,t)U(,t),即(m)U(,t)U(,t)g(,t),(,t)R,这与m的定义矛盾因此,()式成立由于v关于t具有周期性,故假设t,此外,序列存在种可能情况:()是有界的;();()()若是有界的,存在序列nn(,满足l i mnn且使l i mn(n,tn)(,t)成立,则ml i mnmnl i mnU(n,tn)nU(n,tn)U(,t)U(,t)因此,m(,)记v(,t)mU(,t)U(,t),(,t)R,从而v(,t)且v(,t)(m)q(t)由v(,t)l i mnvn(,t)可得对于任意的(,t),v(,t)且v(,t)由于v(,t)满足vtm(U)t(U)tDv(c o s,t)v(c o s,t)v(s i n,t)v(s i n,t)v(,t)c vv r(,t)mUUDv(c o s,t)v(c o s,t)v(s i n,t)v(s i n,t)v(,t)c vv(r(,t)mUU),()利用()式和m i n(,t)Rv(,t)v(,t),可得vt(,t)Dv(c o s,t)v(c o s,t)v(s i n,t)v(s i n,t)v(,t)c v(,t)v(,t)r(,t)(mUU)Dv(c o s,t)v(c o s,t)v(s i n,t)v(s i n,t)因此,v(,t),这与v(,t)(m)q(t)矛盾故m,说明情况不成立()若 ,则 存 在满 足 若(,t)(,),成立,则有(v)tm(U)t(U)t gtDv(c o s,t)v(c o s,t)v(s i n,t)v(s i n,t)v(,t)c(v)mU(r(,t)U)U(r(,t)U)宁夏大学学报(自然科学版)第 卷gtDg(c o s,t)g(c o s,t)g(s i n,t)g(s i n,t)g(,t)c gDv(c o s,t)v(c o s,t)v(s i n,t)v()s i n,t)v(,t)c(v)vr(,t)(mUU)gtDg(c o s,t)g(c o s,t)g(s i n,t)g(s i n,t)g(,t)c gDv(c o s,t)v(c o s,t)v(s i n,t)v(s i n,t)v(,t)c(v)vr(,t)(mUU),其中假设gtDg(c o s,t)g(c o s,t)g(s i n,t)g(s i n,t)g(,t)c ggr(,t)(mUU)()对于任意的(,t)R,v(,t)且根据()式知v(,t),故可得v(c o s,t)v(c o s,t)v(s i n,t)v(s i n,t)()若m,则根据v(,t)的定义可知l i mv(,t),(,t)R,这与()式矛盾因此,假设m(,)令v(,t)l i mv(,t)mU(,t)U(,t)由于t,存在序列n使得当n时,n,tnt,n,又由()式可得l i mnvn(nc o s,t)vn(nc o s,t)vn(ns i n,t)vn(ns i n,t)v(,t),这与v(,t)(m)q(t)矛盾因此,当 n 时情况不成立此外需补充构造合适的g(,t)使得()式对于任意的tR和充分大的成立根据文献定理 的相似理论,可以选择gC,(RR)使得g(,t)关于t具有周期性且满足g(,t)e x pt(s)ds(),e x pt(s)ds(),g(,t),e x pt(s)ds(),e x pt(s)ds(),其中:,使得r(,t)(mUU)(t),(t)r(,t)r(,t)dt;,使得r(,t)(mUU)(t),(t)r(,t)(m)q(t)mq(t)dt显然,对于t,和c o s,()式成立,即gtDg(c o s,t)g(c o s,t)g(s i n,t)g(s i n,t)g(,t)c gr(,t)(mUU)g(t)g(,t)Dg(c o s,t)g(c o s,t)g(s i n,t)g(s i n,t)g(,t)r(,t)(mUU)g同理可证,对于s i n,c o s,s i n,()式成立因此对于任意t,和充分大的,()式成立()若,则对于(,t),同样可以得到(v)tDv(c o s,t)v(c o s,t)v(s i n,t)v(s i n,t)v(,t)c(v)vr(,t)mUU应用()中相似的理论同样可以得出矛盾,从而当n时情况不成立综上所述,情况不成立,情况成立,即m,故可知对 于任意的(,t)R,有U(,t)U(,t)改变U和U的位置,同理可得对于任意的(,t)R,U(,t)U(,t)因此,UU证毕 结论在研究具有时间周期的二维格微分方程()强迫波的唯一性时,本文采用挤压技巧得到了唯一性定理,证明了对于任意的cc,方程()有唯一满足边界条件()的周期强迫波参考文献:B E R E S TY C K IHC a nas p e c i e sk e e pp a c ew i t has h i f t i n gc l i m a t e?J B u l l e t i no fM a t h e m a t i c a lB i o l o g y,():HU H a i j u n,Z OU X i n g f u E x i s t e n c eo fa ne x t i n c t i o nw a v ei nt h eF i s h e re q u a t i o n w i t has h i f t i n gh a b i t a tJ P r o c e e d i n g so f t h eAm e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,():L IW a n t o n g,WANGJ i a b i n g,Z HA OX i a o q i a n g S p a t i a l d y n a m i c so fan o n l o c a ld i s p e r s a lp o p u l a t i o nm o d e l第期顾宇萌等:二维格微分方程周期强迫波的唯一性i na s h i f t i n ge n v i r o n m e n tJ J o u r n a l o fN o n l i n e a rS c i e n c e,():W A N GJ i a b i n g,Z HA OX i a o q i a n g U n i q u e n e s s a n dg l o b a ls t a b i l i t yo ff o r c e dw a v e si nas h i f t i n ge n v i r o n m e n tJP r o c e e d i n g so f t h eA m e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y,():D O I:/p r o c/Z HAN G G u o b a o,Z HA O X i a o q i a n g P r o p a g a t i o nd y n a m i c so f an o n l o c a ld i s p e r s a lF i s h e r K P Pe q u a t i o ni na t i m e p e r i o d i cs h i f t i n gh a b i t a tJ J o u r n a lo fD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,():HUC h a n g b i n g,L IB i n g t u a n S p a t i a l d y n a m i c s f o r l a t t i c ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t has h i f t i n gh a b i t a tJJ o u r n a lo f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,():P ANGL i y a n,WUS h i l i a n g P r o p a g a t i o nd y n a m i c s f o rl a t t i c ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i nat i m e p e r i o d i cs h i f t i n gh a b i t a tJZ e i t s c h r i f tf r A n g e w a n d t e M a t h e m a t i ka n dP h y s i k,():Z HAN GL i n g,GUOS h a n g j i a n g E x i s t e n c e a n dm u l t i p l i c i t yo fw a v e t r a i n s i n Dl a t t i c e sJ J o u r n a l o fD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,():F ANGJ i a n,P E N GR u i,Z HA OX i a o q i a n g P r o p a g a t i o nd y n a m i c so far e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o ni nat i m e p e r i o d i c s h i f t i n g e n v i r o n m e n tJ J o u r n a l d eM a t h m a t i q u e sP u r e se tA p p l i q u e s,:YU Z h i x i a n,Z HANG W e i g u o,WANG X i a o m i n g S p r e a d i n gs p e e d sa n dt r a v e l l i n gw a v e sf o rn o n m o n o t o n e t i m e d e l a y e d Dl a t t i c es y s t e m sJM a t h e m a t i c a l a n d C o m p u t e r M o d e l l i n g,(/):GUOJS,WUC h a n g h o n g E x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t r a v e l i n gw a v e sf o ram o n o s t a b l e Dl a t t i c ed y n a m i c a l s y s t e mJ O s a k aJ o u r n a lo f M a t h e m a t i c s,():B E R E S T Y C K IH,F AN GJ i a n F o r c e dw a v e so f t h eF i s h e r K P Pe q u a t i o ni nas h i f t i n ge n v i r o n m e n tJJ o u r n a lo f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,():L ANS h u a n g t i n g,WE NGP e i x u a n,XUZ h a o q u a n An e wu n i q u e n e s st h e o r e m o fw a v ep r o f i l e sf o ra Db i s t a b l e l a t t i c ed y n a m i c a l s y s t e mJ A p p l i e dM a t h e m a t i c sL e t t e r s,:李遵先,翁佩萱格微分方程的行波解J数学进展,():史振霞单稳型二维格微分方程的整体解J高校应用数学学报:A,():U n i q u e n e s so fP e r i o d i cF o r c e dW a v e f o rA DL a t t i c eD i f f e r e n t i a lE q u a t i o nG uY u m e n g,S h iZ h e n x i a(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dP h y s i c s,L a n z h o uJ i a o t o n gU n i v e r s i t y,L a n z h o u ,C h i n a)A b s t r a c t:T h i sp a p e r i sd e v o t e dt oc o n s i d e rt h eu n i q u e n e s so ft h ep e r i o d i cf o r c e dw a v e sf o ra Dl a t t i c ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n W e f i r s tg i v e t h ee x i s t e n c eo f t h ep e r i o d i c f o r c e dw a v e sw i t ht h es p e e da tw h i c ht h eh a b i t a t i ss h i f t i n g T h e nb ya p p l y i n gt h es l i d i n gt e c h n i q u e,w eo b t a i nt h a t t h e r ee x i s t sa nu n i q u ep e r i o d i cf o r c e dw a v es a t i s f y i n gt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s f o ra Dl a t t i c ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw h e nt h ew a v es p e e dm e e t s t h ec o r r e s p o n d i n gc o n d a t i o n K e y w o r d s:p e r i o d i cf o r c e d w a v e;D l a t t i c e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n;s l i d i n g t e c h n i q u e;u n i q u e n e s s;s h i f t i n gh a b i t a t(责任编辑张娣)