对与角的平分线有关的几何题的变式探究.pdf

解题技巧与方法 数学学习与研究 对与角的平分线有关的几何题的变式探究对对对对对与与与与与角角角角角的的的的的平平平平平分分分分分线线线线线有有有有有关关关关关的的的的的几几几几几何何何何何题题题题题的的的的的变变变变变式式式式式探探探探探究究究究究张 前（安徽省合肥市庐江实验中学北校区，安徽 合肥）【摘要】数学核心素养下的变式探究是对教材知识点的深度剖析与整合，也可为学生的解题提供模型，借以提高学生解决此类问题的速度与正确率文章明确了变式探究能够在新课标指导下落实“双减”政策，收到“减负增效”的效果，同时在几何计算中注意数形结合思想、整体思想的运用，能够进一步加深学生对“图形与几何”的理解与掌握，在提升学生数学思维能力的同时，使其数学核心素养进一步得到培养【关键词】变式探究；初中数学；数学思想与角的平分线有关的几何题是初中数学的重要内容之一角平分线的定义在具体运用中既可以写作两角相等的形式，也可以写作一个角是另一个角的 倍的形式，还可以写作一个角是另一个角一半的形式根据解题的需要，学生应灵活应用这几种形式，同时在计算中注意数形结合思想、整体思想的运用一、教材原题呈现人教版七年级数学上册 习题 第 题：图 如图，是 的平分线，是 的平分线（）如 果 ，那么 是多少度？（）如 果 ，那么 是多少度？分析：（）此问利用角平分线的定义以及角的和、差运算，再根据已知条件，即可求得 和的度数，从而求得（）此问与（）中的解法相反，由已知条件易求 和 的度数，从而求得思考：对于（）中的问题，是不是还可以这样理解，射线 将 分成 和，即射线 在 的内部，其他条件不变，利用整体思想也可求解 是多少度所谓整体思想，是指在考虑数学问题时不着眼于它的局部特征，而着眼于它的整体结构，把联系紧密的量作为一个整体来看的数学思想运用这种思想能使问题由复杂化转向简单化，达到化繁为简的目的，在中考中这种思想方法应用较多而数形结合思想是指把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题路径的目的分析：由已知条件，可得（），从而求得从上面分析中可以看出，射线 在 的内部，只要 平分，平分，利用两角的和即可得出本题 显然是钝角，如果 是锐角、直角、平角呢？这就要求我们在变中找不变，在不变中找变化，进行变式探究，即分类讨论，讨论每一种情况下是否依然存在这样的结论，这需要我们去探究、论证，最后得出结论二、变式：射线 在角的内部变式：射线 在锐角中 图 如图，为任意锐角，射线 为 内任意一条射线，平分，平分，那么 成立吗？分析：由已知条件可得，则 有 （），即，结论显然成立解题技巧与方法 数学学习与研究 解：平分，平分，（），变式：射线 在直角中 图 如图，为直角，射线 为 内任意一条射线，平分，平 分，那 么 还成立吗？分析：解法与变式 一样，结论显然成 立 由 于 为 直 角，此 时变式：射线 在平角中 图 如图，为平角，射线 为 内任意一条射线，平分，平分，那 么 仍然成立吗？分析：解法与变式 一样，结论仍然成立由于 为平角，此时此时，我们可以进行总结，形如以上，在 内部任意画一条射线，设，平分，平分，则有这个一般性结论暂且称之为角平分线模型 这个模型推理运用了两个角的和、数形结合思想以及整体思想熟练掌握该模型的解题思路、方法、过程和结论，以后再遇到这种题型就可以节省大量的计算时间，尤其在做解答题时，心中立刻就会有了思路，能快速写出推理过程，轻松写出答案，从而提升数学解题水平前面的模型是根据教材中习题的变式得到的结论，而在期末考试或中考中，对教材中习题进行变式往往成为试题命题的重要来源考查角平分线的定义及角的和、差运算的解题思路和解题方法基本相同，题目难度不大，属于基础题、简单题，容易得分感受中考：（年山东滨州中考）图 如图 所示，是的角平分线，是 的角平分线，如果 ，则 的 度数是（）分析：本题主要考查角平分线的定义以及角的和差运算，直接利用之前的结论易求得 ，故选 此时射线 在角的内部，如果其他条件不变，当射线 在角的外部，是不是结论仍然不变？三、变式：射线 在角的外部 图 变式：如图，是直角，平分，平分，求 的度数分析：由已知条件可得，（）这里 利 用 两 个 角 的 差 得 出 结 果 ，且与 的大小无关，而当射线 在角的内部，则利用两个角的和得出结论，也和 的大小无关，它们的结论有相似之处变式：如果，其他条件不变，求的度数，则 还成立吗？分析：和变式 的推理过程一样，得出 （），结论显然成立，且与的大小无关变式：如果 （为锐角），其他条件不变，求 的度数，则 还成立吗？分析：和变式 的推理过程一样，得出 （解题技巧与方法 数学学习与研究 ），结论仍然成立，且与的大小无关变式：如果，（为锐角），其他条件不变，求 的度数，则 仍然成立吗？分析：和变式 的推理过程一样，得出 （），结论仍然成立，且和的大小无关 图 由此我们可以进行归纳总结，如图，（为锐角），平 分，平 分，都有，且与 的大小无关以上结论称之为模型 同模型 一样，模型 在平时的练习中也经常出现，并且作为解答题居多，历来受到出题者的青睐，这就要求学生熟练掌握，能轻松运用由此可见，对以上模型结论的消化与吸收、理解与掌握在平时的练习或考试中会起到至关重要的作用，对于填空题和选择题可以直接运用结论简单快速地得到答案，对于解答题，心中更是有数，能快速书写解答过程，避免了冗长的思考、分析、探究，从而节省大量的考试时间在上面的变式中，射线 为一个内角或一个角外的任意一条射线，接下来，我们继续找“变”，如果一个角内出现两条任意射线，且对每条射线与角接近的边所组成的角作角平分线，那么原来的角与两角角平分线的夹角以及角的内部任意两条射线的夹角又有什么关系呢？四、一个角内出现两条任意射线 图 变式：如图 所示，是 内的任意两 条 射 线，平 分，平分，若 ，求 的度数分析：此题主要考查了角的平分线的定义，以及角的和差之间的关系，然而题中并没有给出 和 具体的度数，这就需要进行一定的分析、推理才能进行规律总结，然后在以后的练习和考试中，只要出现此模型，我们就可以直接运用该结论秒得答案解：，平分，平分，此变式我们称之为模型 由以上的变式探究可以看出，数形结合思想贯串始终，同时类比思想、分类讨论思想也穿插其中，这就突出了对学生数学核心素养的培养，同时进一步落实了对数学新课程标准的有效实施，突出了“双减”落实，达到了“减负增效”的效果教师对教材的原题进行分析、探究，论证变式的合理性，可引导、启发学生对变式问题进行猜想论证，在这一过程中经历再发现、再探究、再论证，再通过精准的数学语言去表达，培养学生发现、探究的数学精神以及数学语言表达能力同时，教师应进一步培养学生的解题思维能力，通过对一题的变式进行对问题思考的发散，总结解题方法，锻炼解题能力，培养学生“一题多变”的数学思维，同时把握中考命题方向，紧扣教材，吃透教材，深度分析教材，把知识串联起来进行综合运用，达到由成功变式到成功猜想、论证的目的由此也可看出，学生数形结合思想及整体思想等数学思想的建立远非一朝一夕能够做到的，需要在熟练掌握教材的基础上反复练习、总结才能形成对角的平分线定义的探究运用只是浩瀚数学王国中的一粒沙尘，更多的数学奥秘有待于我们去进一步深入探究【参考文献】李祥例谈数形结合思想在实际解题中的应用 数理化学习（高中版），（）：张文海一道解析几何题的变式教学及反思中学数学研究，（）：袁方程，黄俊峰变式教学在解析几何中的应用数学之友，（）：，