高阶统计量.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,研究高阶谱的必要性,二阶统计量方法的基本限制,前面讨论的方法中，一般都假设：,信号模型中的系统,H,(,z,),是最小相位的。,激励信号,u,(,n,),是均值为零，方差为 的高斯白噪声。,测量信号,v,(,n,),是均值为零，方差为 的高斯白噪声；,且,v,(,n,),与信号,x(n,),统计无关，即,v,(,n,),不影响信号的谱形状,故有,2,研究高阶谱的必要性,二阶统计量方法存在的问题,在许多实际应用,(,如地震勘探、水声信号处理、远程通,信,),中，往往不能满足上述假设；甚至系统是非线性的。,对于非高斯信号的模型参数，如仅仅考虑与自相关函数,匹配，就不可能充分获取隐含在数据中的信息。,若信号不仅是非高斯的，而且是非最小相位的，采用基,于自相关函数的估计方法所得到的模型参数，就不能反,映原信号的非最小相位特点。,当测量噪声较大，尤其当测量噪声有色时，基于自相关,函数的估计方法所得到的模型参数有较大的估计误差。,3,研究高阶谱的必要性,解决问题的方法,从观测数据中提取相位信息,信号分析必须具有抗有色噪声干扰的能力,因此，必须用高阶谱,(,高阶统计量,),来分析信号,6,高阶统计量,累积量生成函数与高阶累积量,(,cumulant,),累积量生成函数,或,称为累积量生成函数,(,第二特征函数,或,累积量母函数,),。,高阶累积量,：随机变量,x,的,k,阶累积量,定义为,即累积量生成函数的,k,阶导数在原点的值。,7,高阶统计量,累积量生成函数与高阶累积量,(cumulant),高阶矩与高阶累积量的关系,关系,:(,注意,：,k,阶中心矩定义为,),结论,:,二、三阶累积量分别是二、三阶中心矩；均值为,零时,就是二、三阶相关,(,矩,),四阶以上的累积量不等于相应的中心矩,8,高阶统计量,累积量的物理意义,高斯随机变量的高阶矩与累积量,高斯随机变量可用二阶矩完全描述。实际上,零均值高斯,随机变量的,k,阶矩,(,或零均值的,k,阶中心矩,),为,高斯随机变量只有一阶和二阶累积量；其二阶以上的累,积量为零,它不提供新的信息。即,可见，其高阶矩仍然取决于二阶矩 。,若,任一随机变量与高斯随机变量有相同的二阶矩,则累积,量就是它们高阶矩的差。故有如下累积量的物理意义。,9,高阶统计量,累积量的物理意义,一,阶累积量数学期望,:,描述了概率分布的中心,二阶累积量方差：描述了概率分布的离散程度,三阶累积量三阶矩：描述了概率分布的不对称程度,累积量,衡量,任意随机变量,偏离,正态,(,高斯,),分布的,程度,物理意义,偏态与峰态,将三阶矩除以均方差的三次方,得偏态系数或,偏态,：,将四阶累积量除以均方差的四次方,得,峰态,:,10,高阶谱,功率谱的缺点,：,由功率谱,只能,恢复,不可能恢复,基于自相关函数的辨识系统，,无法辨识,非最小相位系统,“,模型的多重性,”,“,自相关函数等价性,”,“,功率谱等价性,”,11,高阶谱（续）,含义,：,高阶谱,(Higher-order spectrum),又称多谱,(polyspectrum),是信号多个频率的能量谱。,定义,：高阶谱定义为,k,阶累积量的,k,-1,维,DFT,，即,条件：,“,绝对可求和,”,通常将 的累积量谱称为,高阶谱,或,多谱,。,常用,:,常用的高阶谱是三阶谱,(,双谱,),和四阶谱,(,三谱,),。,12,高阶谱（续）,二阶谱,即为,功率谱,，,它是单个频率的谱,。,三阶谱,为,双谱,(bispectrum),，,即两个频率的谱,四阶谱,为,三谱,(trispectrum),，,即三个频率的谱,13,高阶谱（续）,功率谱,：,双谱,：,三谱,：,（,1,）,双谱估计的直接方法,：,14,高阶谱（续）,（,2,）,双谱估计的间接方法,：,2D-FT,峰度,归一化峰度,高斯信号,亚高斯信号,超高斯信号,15,高阶谱（续）,归零化峰度,高斯信号：零峰度,亚高斯信号,:,负峰度,超高斯信号：正峰度,16,高阶累积量和多谱的性质,主要性质,(,8,个性质,),最重要的性质如下,:,和的累积量等于累积量之和，累积量因此得名。,随机信号通过线性系统后的累积量等于该随机信号,的累积量与线性系统冲激响应累积量的卷积,信号的高阶累积量能够决定信号模型的冲激响应,h,(,n,),，,即用信号模型的输出信号,(,即观测到的信号,),y,(,n,),的高,阶累积量就能决定,h,(,n,),。,17,高阶累积量和多谱的性质,主要性质,(,续,),确定性序列的多谱,:,确定性序列,h,(1),h,(,k,),的,k,阶累量,其,k,阶谱为,式中,18,高阶累积量和多谱的性质,用高阶累积量作为时间序列分析工具的原因,用高阶累量而不是高阶矩作为时间序列分析工具的原因：,理论上，使用高阶累积量可避免高斯有色噪声的影响，,高阶矩不能做到这一点。,高阶白噪声的高阶累积量是多维冲激函数,其谱是多维,平坦的,但高阶白噪声的高阶矩及其谱无此特性和优点；,累积量问题的解具有唯一性,(,因特征函数唯一地确定概,率密度函数,),，但矩问题不具有唯一性；,两个统计独立的随机过程的累积量等于各随机过程累积,量之和，这一结论对高阶矩不成立。,19,三阶相关与双谱及其性质,三阶相关：,设,x,(,n,),为零均值的实平稳序列，其三阶相关函数为,双谱,R,x,(,m,1,m,2,),的二维傅立叶变换就是双谱，其表达式为,性质,三阶相关函数的对称性,双谱的对称性、周期性和共轭性,定义,20,三阶相关与双谱及其性质,双谱中的相位信息,其中,这表明,双谱包含信号模型的相位信息 ；,而功率谱 不含相位信息。,设,则有,且有,确定性序列的双谱,设,h,(,n,),表示有限长确定性序列，其双谱可表示为,21,基于高阶谱的相位谱估计,自相关函数丢失了信号的相位特性，而累积量可以得到信号的相位谱。,实际应用中，基于三阶累积量的双谱和基于四阶累积量的三谱已经够用。,22,基于高阶谱的模型参数估计,基本原理,与,AR,功率谱估计,(,即单谱估计,),相类似，,AR,过程的多谱,估计与已知的多谱相匹配的程度，也可用线性预测的多,谱来衡量，亦也可以用多谱的平坦度来衡量。说明如下：,设用,p,个值,x,(,n,),作线性预测，即,则预测误差,其多谱为,式中,23,基于高阶谱的模型参数估计,基本原理,(,续,),如果选择系数,a,k,，使得,式中 为一常量，则有,上式表明：,x,(,n,),是由,的非正态白噪声激励参数为,a,k,(,k,=1,p,),的,AR,过程产生的。,结论,：预测误差的多谱的平坦度可用作,AR,过程多谱与实际多谱接近程度的一种度量。,24,基于高阶谱的模型参数估计,不稳定问题及其解决方法,不稳定问题,：用单谱,(,功率谱,),和多谱估计,AR,模型参数时,都存在稳定性问题。,解决办法,当用单谱估计,AR,模型时，只要把不稳定极点替换为其,倒数极点,(,反演技术,),即可，这是因为,当用多谱估计,AR,模型时,不能作这种替换,.,以双谱为例,而,故,25,多谱的应用,多谱应用,:,用于信息学、海洋学、地球物理学、生物医学、机械学和经济时间序列分析等学科领域,对信号处理而言,，,多谱可应用于自适应信号处理、阵列信号处理和多维信号处理,信号处理中多谱的作用,从正态信号中提取信息,检测和定性分析系统的非线性特征,从有色正态噪声中提取信号（如水下信号、空间信号等）,提取非正态信号的相位信息,26,双谱在目标识别中的应用,特性：,（,1,）保留了幅值特性,（,2,）保留了相位特性,（,3,）平移不变性,应用,:,（,1,）飞机目标,机动飞行,希望目标特性于飞机飞行姿态无关（平移不变性）,（,2,）飞机的电磁波辐射合散射特性,天线罩、发动机、出去口、蒙皮材料（“相位天线”）,（,3,）飞机尺寸（机长、翼宽）（“幅值特性”）,27,双谱在目标识别中的应用（续）,积分双谱（二维 一维,）,（,1,）,径向积分双谱,(RIB:radically integrated bispectrum,),（,2,）,轴向积分双谱,(AIB:axisially integrated bispectrum,),（,3,）,圆周积分双谱,(CIB:circulaly integrated bispectrum,),28,双谱在目标识别中的应用（续）,特点,：,被选择的积分路径上所有双谱的总作用,“,强,”,缺点,：,“,平凡双谱,”,合,“,交叉项,”,不可避免,选择双谱,：,Fisher,信息，类可分度,29,双谱在目标识别中的应用（续）,选择双谱的优点,：,只选择那些对分类作用最强的双谱作为特征向量。因此，这种方法可避免积分双谱方法共有的平凡双谱合交叉项等缺陷。,