中国石油大学（华东）《实变函数与泛函分析》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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中国石油大学（华东）《实变函数与泛函分析》
2023-2024学年第一学期期末试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、微分方程的通解为（ ）
A.
B.
C.
D.

2、已知级数，判断这个级数的敛散性是什么？（ ）
A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.无法确定

3、设曲线，求曲线在点处的曲率。（ ）
A. B. C. D.

4、计算定积分∫(0 到π)xsinx dx。（ ）
A.π B.2π C.π² D.2π²

5、已知函数，求函数的最小正周期是多少？（ ）
A. B. C. D.

6、设函数 z = f(x,y)由方程 e^z - xyz = 0 确定，求 ∂²z/∂x²（ ）
A.((yz² - yz)/(e^z - xy)²)；B.((yz² + yz)/(e^z - xy)²)；C.((yz² - xy)/(e^z - xy)²)；D.((yz² + xy)/(e^z - xy)²)

7、设函数，则函数的单调递减区间是多少？（ ）
A. B.和 C. D.

8、求微分方程的通解为（ ）
A. B. C. D.

9、求由曲面 z = xy 和平面 x + y = 2，z = 0 所围成的立体体积。（ ）
A.2/3 B.4/3 C.8/3 D.16/3

10、设函数，则为（ ）
A. B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、已知向量，，则向量与向量的数量积。

2、已知向量，向量，则向量与向量的夹角余弦值为____。

3、计算极限的值为____。

4、设函数，求该函数在处的导数为____。

5、设向量，向量，求向量与向量之间夹角的余弦值，根据向量夹角公式，结果为_________。

三、解答题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）已知向量，，求向量与向量的夹角。

2、（本题10分）求函数的值域。

3、（本题10分）求定积分。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数在内可导，且。证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且，。证明：存在，，使得。

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