高一上数学期末总复习(知识点+习题含答案).doc

高一上学期期末总复习
第一章 集合与命题
1．集合的概念、运算
(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．
(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．
(4)重要结论
A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.
2．命题
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)含有量词的命题的否定：
“∀”的否定是 “∃”，“∃”的否定是“∀”;
“≥”的否定是“＜”，“＞的否定是“≤”；“＜”的否定是“≥”，“≤”的否定是“＞”；
“=”的否定是“≠”，“≠”的否定是“＝”；
“至多有一个（x≤1）”的否定是“至少有两个（x＞1）”；
“至少有一个”的否定是“没有一个”；
“全都是”的否定是“不全都是”；
3．充要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
从逻辑观点看
从集合观点看
p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)
AB
p是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)
BA
p是q的充要条件(p⇔q)
A＝B
p是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)
A与B互不包含

练一练：
1. 甲：x≠2或y≠3；乙：x＋y≠5，则 (　B　)
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
2. 已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则a等于 ( D )
A．－或1 B．2或－1
C．－2或1或0 D．－或1或0
3. 设集合M＝{y|y－m≤0}，N＝{y|y＝2x－1，x∈R}，若M∩N≠∅，则实数m的取值范围是 m>－1 ．
4. 已知a∈R，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 019＋b2 019＝ -1
5. 设全集U={不大于20的质数}，A ∩ CuB = { 3，5 }，CuA ∩ B = { 7，19 }，
CuA ∩ CuB = { 2，17 } ，则A= {3，5，11，13} ，B= {7，11，13，19}
6. (1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求m的值．
解：(1)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠∅时，若B⊆A，．
则解得2<m≤4. 综上，m的取值范围是(－∞，4]．
(2)A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，
∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，
由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.

第二章 不等式
1． 不等式的基本性质
(1)对称性：a>b⇔b<a.
(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.
(3)加法法则：a>b⇔a＋c>b＋c.
(4)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc.
a>b，c<0⇒ac<bc.
(5)同向不等式可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.
(6)同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．
(8)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．
2． 一元二次不等式的解法
解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，可利用一元二次方程，一元二次不等式和二次函数间的关系．一元二次不等式的解集如下表所示：
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1<x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)
的解集
{x|x>x2或x<x1}
{x|x∈R
且x≠－}
R
不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)
的解集
{x|x1< x<x2}
∅
∅
3． 基本不等式：≥(a>0，b>0)
利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”．

一正：A、B 都必须是正数
二定： 1.在A+B为定值时，便可以知道A·B的最大值；
2.在A·B为定值时，便可以知道A+B的最小值．
三相等：当且仅当A、B相等时，等式成立；即
①A=B ↔ A+B=2√AB；
② A≠B ↔ A+B>2√AB．

练一练：
1. 不等式 ≤0的解集为
2. 已知全集为R，集合A＝，B＝，则A∩∁RB等于 (　C　)
A．{x|x≤0}
B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x<2或x>4}
D．{x|0<x≤2或x≥4}
3. 不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为__ {x|x＜5}__．
4. 已知，求的取值范围
答案：（- 92，132）
5. 设x、y∈R+ 且=1,则的最小值为___16___.
6. 不等式的解集为 [-1 , 3 ] ．
第三章 函数的基本性质
1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．
2．函数的单调性
(1)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)也是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f[g(x)]的单调性．
3．函数的奇偶性
(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性．
(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称．
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．
(4)若f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a,0)中心对称；若f(x＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(5)在f(x)，g(x)的公共定义域上：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，
奇×偶＝奇．
4．函数的图像
对于函数的图象要会作图、识图、用图．
作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
重要结论：(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称．
5．二次函数
(1)求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．
(2)注意三个“二次”的相互转化解题

(3)二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负．”
6．函数与方程
(1)函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
(2)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0.
注意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一；
②不满足条件时，也可能有零点．

练一练：
1. 如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是
(　D　)
A．a>－ B．a≥－
C．－≤a<0 D．－≤a≤0
2. 求函数的解析式
(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；
（2）已知，求.
解：(1) ∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则

（2）因为，①
用代替得，②
由①②消去，得.
3. 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为 (　C　)
A．(－，0) B．(0，)
C．(，) D．(，)
4. 已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，则f(2) = -26
5． 已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为多少？
解：∵f(x)＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1
当x＝1时，f(x)min＝2，故m≥1=
又∵f(0)＝3，f(2)＝3，∴m≤2.综上可知1≤m≤2.

6. 已知：函数
（1）作出f（x）的图像；
（2）若x＞1，证明f（x）的单调性
（2） 设x1，x2是定义域上的任意实数，且1 < x1< x2，则

7. 作出下列函数的图像并判断单调区间
(1)y=x2-3|x|+2； (2)
（1）f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
（2）f(x)在上递增.

8. 已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解　(1)∵函数f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
当x>0时，－x<0，有(－x)2－mx＝－(－x2＋2x)，
即x2－mx＝x2－2x.
∴m＝2.
(2)由(1)知f(x)＝
当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
当x∈(0,1]时，f(x)单调递增．
当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
当x∈[－1,0)时，f(x)单调递增．
综上知：函数f(x)在[－1,1]上单调递增．又函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增．
∴解之得1<a≤3.
故实数a的取值范围是(1,3]．
9.（1）已知偶函数的定义域是R，当时，
求的解析式.
（2）已知奇函数的定义域是R，当时，
求的解析式.
答案：（1）；（2）

第四章 幂函数、指数函数、和对数函数
1. 幂函数
（1）幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.
（2）幂函数的图象及性质
作出下列函数的图象：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．

幂函数的共同性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
（3）幂函数值大小的比较
比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
2. 指数函数
（1）指数函数的概念：
函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.
（2）指数函数的图象及性质：
函数
名称
指数函数
定义
0
1
0
1
函数且叫做指数函数
图象

定义域

值域

过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况

变化对图象的影响
在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小．
（3）指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.
(2)中间量法
(3)分类讨论法
(4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若；；；
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可
3. 对数函数
（1）对数的定义
1若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
2负数和零没有对数．
3对数式与指数式的互化：．
（2）几个重要的对数恒等式
，，．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
（4）对数的运算性质
如果，那么
①加法： ②减法：
③数乘： ④
⑤
⑥换底公式：
（5）对数函数定义
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域．
（6）对数函数性质：
函数
名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象

0
1

0
1

定义域

值域

过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况

变化对图象的影响
在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小．

4. 反函数
（1）反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．
（2）反函数的性质
1 原函数与反函数的图象关于直线对称．
2 函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
3 若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．
4 一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．
练一练：
1. 计算
（1） ；
原式=
（2）；
原式=
=
=1-+=1
（3）；
原式=
=
=2+=3；
（4）
令，两边取常用对数得
=
=
=
即=14．
2. 已知，求．
解法一：．
解法二：，，
．
3. 下列函数中，没有反函数的是 （ D ）
A. y = x2-1 (x ＜ - 12 ) B. y = x3+ 1 ( x ∈ R )
C. y = xx-1 ( x∈R，x≠1 ) D. y= | x | ( x ∈ R )

4. 已知函数f（x）= x2+2x+2（x＜-1），那么f-1（2）= -2

5. 对任意不等于1的正数a ，函数f（x）=loga（x+3） 的反函数的图像都经过点P，则P的坐标是 （ 0，-2） .

6. （1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）已知函数的值域为，求实数的取值范围；
（3）的定义域为，求实数的取值范围．
（1）的定义域为R，
恒成立，，．
（2）的值域为R，
取遍一切正数，，．
（3）由题意，问题可等价转化为不等式的解集为，记作图形，如图所示，只需过点，，即满足，且即可，解得．所以由图象可以看出若，则，即，得：，所以。

7. 若方程在（0，1）恰好有一解，求a的取值范围．
（1）当时，方程为，不满足题意舍去．
（2）当时，令，
分情况讨论：
①，
不满足题意舍去．
②，
若且即，满足题意．
若且即时，的另一解是．
综上所述，满足条件的的取值范围是．
8. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
解： 记为投资总回报，为投资天数
则方案一：；方案二：；方案三：，可做图象，结合函数表格分析得：投资8天以下（不含8天），应选择第一种方案；投资8-9天，应选择第二种方案；投资11天以上（含11天），则应选择第三种投资方案．

14