大学概率论与数理统计复习资料.doc

第一章 随机事件及其概率
知识点：概率的性质 事件运算 古典概率
事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式
常用公式

应用举例
1、已知事件满足，且，则（ ）。
2、已知事件相互独立，，则（ ）。
3、已知事件互不相容，（ ）。
4、若 （ ）。
5、是三个随机事件，，事件与的关系是（ ）。
6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（ ）。
7、某人下午5:00下班。他所积累的资料表明：
到家时间
5:30~5:40
5:40~5:50
5:50~6:00
6:00以后
乘地铁
0.3
0.4
0.2
0.1
乘汽车
0.2
0.3
0.4
0.1
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。
（1）试求他在5:40~5:50到家的概率；
（2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。
解（1）设={他是乘地铁回家的}，={他是乘汽车回家的}，={第段时间到家的}，分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后
则由全概率公式有

由上表可知，，

（2）由贝叶斯公式

8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。
看作业习题1: 4, 9, 11, 15, 16
第二章 随机变量及其分布
知识点：连续型（离散型）随机变量分布的性质
连续型（离散型）随机变量分布（包括随机变量函数的分布） 常用分布
1.分布函数的性质
重要内容
2．分布律的性质

3.分布密度函数的性质
（1）非负性
（2）规范性

（1）非负性

（2）规范性

4. 概率计算

二项分布:
5.常用分布

应用举例
1、设是某随机变量的密度函数，则（ ）。
2、设随机变量的概率密度为，则＝（ ）。
3、设随机变量的分布函数为 则
=（ ）。
4、设,满足的参数（ ）。
5、离散型随机变量的分布律为，则=（ ）。
6、土地粮食亩产量（单位：kg）.按亩产量高低将土地分成等级.若亩产量高于420kg为一级，在360~420kg间为二级，在315~360kg间为三等，低于315kg为四级.求等级的概率分布。(,,)
解

7、110在长度为的时间(单位：h)间隔内收到的紧急呼救的次数服从参数为的泊松分布,而与时间间隔的起点无关.求某一天中午12时至下午3时至少收到1次呼救的概率。
解 的分布律为
中午12时到下午3时，表明 求
8、一批产品由8件正品、2件次品组成。若随机地从中每次抽取一件产品后，无论抽出的是正品还是次品总用一件正品放回去，直到取到正品为止，求抽取次数的分布律。
解 所有可能的取值为1,2,3
={第次取到正品}（）

看作业习题2: 4，7, 17，20，24，26, 27，28

第三章 多维随机变量及其分布
知识点：二维连续型（离散型）随机变量分布的性质
二维连续型（离散型）随机变量的分布（包括边际分布）
随机变量的独立性 二维常用分布
内容提要
1.概率分布的性质

2.二维概率计算

3.边际密度函数计算

4.常用分布

二维正态分布

5.随机变量的独立性

6.正态分布的可加性

应用举例
1、设的密度函数则=（ ）。
2、设离散型随机变量的联合分布律为
且相互独立，则（ ）。
3、某箱中有100件产品，其中一、二、三等品分别为70、20、10件，现从中随机的抽取一件，记，求（1）和的联合分布律；（2）并求。
4、设随机变量在曲线，围成的区域里服从均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度。
5、设二维随机变量的概率密度为
求
6、设随机变量相互独立，并且均服从正态分布，则（ ）。

看作业习题3： 1,2,3,4,5,6,7,9,10，11,12,13,18

第四章 随机变量的数字特征
知识点：随机变量的数学期望的性质与计算
随机变量的方差（协方差、相关系数）的性质与计算
主要内容
1、数学期望的计算

2、性质

当随机变量相互独立时

3、方差的计算

4,、方差性质

5、协方差与相关系数
协方差的计算

相关系数的计算

应用举例
1. 某农产品的需求量X(单位：吨)服从区间[1200,3000]上的均匀分布。若售出这种农产品1吨，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大平均利润？
解 设每年准备该种产品k吨（1200<k<3000）,则利润Y为

2.设随机变量和的方差存在且不等于０，则是和（ ）。
A、不相关的充分条件，但不是必要条件
B、独立的充分条件
C、不相关的充分必要条件
D、独立的充分必要条件
3.已知，与相互独立，则=（ ）。
4.设随机变量与相互独立，且与有相同的概率分布，数学期望与方差均存在，记，，求
解：因为与相互独立，则
与有相同的概率分布，则

=
==
看作业习题4
第五章 大数定律和中心极限定理
知识点：切比雪夫不等式 大数定律和中心极限定理
内容提要
1. 切比雪夫不等式

2. 独立同分布的中心极限定理
，
则
则（1） （近似）中心极限定理
（2）标准化后
，
即

(4)
（切比雪夫不等式）
(5)同理 （近似）
标准化后

（切比雪夫不等式）

3．

第六章 数理统计的基本概念
知识点：抽样分布
内容提要
1、 基本概念 样本 统计量（常用统计量）
2、 抽样分布定理
（1）

特别地：
（2）

（3）

（4）

1.设总体相互独立，且都服从，而分别来自的样本，问：
（1）服从什么分布？
(2)
解：

c=1/9

第七章 参数估计
知识点：点估计 区间估计 估计量的评价标准
主要内容
1、 矩法

矩估计法的具体步骤:

2、 极大似然估计法

（3）解方程组求出估计量
3、估计量的评价标准
无偏性

4、区间估计
单正态总体均值的置信区间

应用举例
1．
2. 设总体的概率分布为

1 2 3

其中是未知参数，利用总体的如下样本值：，，，，。求的矩估计值和极大似然估计值。
解

=
3.

，

第八章 假设检验
知识点：假设检验
、假设检验的基本步骤
主要内容
（1）. 提出检验假设H0(称为原假设)和备择假设;
1（2）. 寻找检验统计量g(X1,…,Xn), 并在H0为真的情况下确定其分布(或极限分布);
（3）. 给定显著水平α(0<α<1), 确定拒绝域W;
（4）. 由样本值x1,…,xn计算出统计量g(X1,…,Xn)的值;
（5）作判断: 若g(x1,…,xn)落在拒绝域W内, 则拒绝H0 ;
否则接受H0 (相容).

2、范围
单侧与双侧检验