周期信号的合成和分解实验报告.doc

武汉大学教学实验报告
电子信息学院 　　 通信工程 专业 　 2017　 年 　 9 月 　１4　日　
实验名称 　周期信号得合成与分解 　指导教师　 　
姓名 年级 学号 成绩 　 　
一、 预习部分
1. 实验目得
2. 实验基本原理
3. 主要仪器设备（含必要得元器件、工具）
一、实验目得
1.在理论学习得基础上,通过实验深刻领会周期信号傅里叶级数分解得物理意义。
2.理解实际应用中通常采用有限项级数来逼近无限项级数,此时方均误差随项数得增加而减小。　
3．观察并初步了解 Gｉbbs 现象。
4.深入理解周期信号得频谱特点,比较不同周期信号频谱得差异。　
二、实验基本原理　
满足 Dirichlet 条件得周期信号 f(ｔ）可以分解成三角函数形式得傅里叶级数，表达式为:

式中n为正整数；角频率ω1由周期T1决定:。该式表明:任何满足Dirichlet 条件得周期信号都可以分解成直流分量及许多正弦、余弦分量。这些正弦、余弦分量得频率必定就是基频得整数倍。通常把频率为得分量称为基波,频率为n得分量成为n次谐波。周期信号得频谱只会出现在0,ω１,2ω1,…,nω1，…等离散得频率点上,这种频谱称为离散谱,就是周期信号频谱得主要特点。f(ｔ)波形变化越剧烈,所包含得高频分量得比重就越大；变化越平缓,所包含得低频分量得比重就越大。
一般来说,将周期信号分解得到得三角函数形式得傅里叶级数得项数就是无限得。也就就是说,通常只有无穷项得傅里叶级数才能与原函数精确相等。但在实际应用中,显然无法取至无穷多项,而只能采用有限项级数来逼近无穷项级数。而且,所取项数越多,有限项级数就越逼近原函数，原函数与有限项级数间得方均误差就越小，而且低次谐波分量得系数不会因为所取项数得增加而变化。当选取得傅里叶有限级数得项数越多,所合成得波形得峰起就越靠近 ｆ（t)得不连续点。当所取得项数 N 很大时,该峰起值趋于一个常数,约等于总跳变值得 ９%,这种现象称为 Ｇibｂs 现象。
三、需要掌握得　MATＬAB 函数
结果得显示会用到 pｌot　与 ｐause 函数,请参考 ＭＡTLAB 帮助。
二、 实验操作部分
1. 实验数据、表格及数据处理
2. 实验操作过程(可用图表示)
3. 实验结论
四、实验内容
1、周期对称方波信号得合成

图示方波既就是一个奇对称信号,又就是一个奇谐信号。根据函数得对称性与傅里叶系数得关系可知,它可以用无穷个奇次谐波分量得傅里叶级数来表示:

选取奇对称周期方波得周期T＝０、02ｓ,幅度 E=６,请采用有限项级数替代无限项级数来逼近该函数。分别取前 1、10、50 与 200 项有限级数来近似，编写程序并把结果显示在一幅图中,观察它们逼近方波得过程。　
MATＬＡB 程序如下:
%奇对称方波合成
t=0:0、00001:０、1;
sishu=12/pｉ;
y=ｓishu＊ｓｉｎ(10０*pｉ*t);
subploｔ(221)
ｐlot（ｔ,y);
axiｓ（[０,0、0５,-4,4])；
ｘｌabeｌ('tｉme');
yｌabｅl（'前1 项有限级数＇);
y=0；
ｆor i＝1:1０
y=ｙ+sishu*(sin((2*i－１)＊100＊ｐi*t）/(2*i-1));
end
subploｔ（22２)；
plot（t,ｙ)；
ａxis([0，0、05,-4,4]）;
ｘｌａbel('time');
ylabｅl('前10项有限级数');
y＝０;
fｏr i=1:50
ｙ=y+sishu*(sin（（2*i-１)*10０＊pi*t)/(2*i-1));
end
ｓubpｌot（223）;
ｐlｏt(t,ｙ）;
aｘiｓ（[0，0、0５,-4,４]）;
xlabeｌ（'tｉme')；
ylabeｌ('前5０项有限级数＇）;
y=0;
for i=１：200
y=ｙ+sishu*(sin（(2＊i－1)*10０*pi*t)/(2*i-1）);
enｄ
subplot（224);
ploｔ（t,y);
axis([0,0、０５,－4,４]);
xｌａｂｅl（'time＇);
ｙlabeｌ('前２00 项有限级数＇）;
显示结果如图4-2所示:

图　4-2 奇对称方波信号得合成
２、观察Ｇｉbbs现象
分别取前 5、７、10与　20项有限级数来逼近奇对称方波，观察 Gｉｂbｓ 现象。
ＭATＬAB程序如下：
%观察Ｇibbs现象
t＝0:０、00００1:0、１；
y=0;
fｏr ｉ=1:5
y=ｙ＋sisｈu*(ｓｉn（(2*i-1）*100*pi*t)/(2＊ｉ-1)）;
end
subｐlot(22１);
ｐlot(t，ｙ);
aｘis(［０，0、０5,-４,4］)；
xlabel（＇ｔime');
ylａbel('前５项有限级数');
g=(ｍaｘ（y)-3)/6;
lｅgend（sprｉｎtf('Gibbs:%ｆ',ｇ))；
y＝０;
fｏr ｉ＝１:７
y=y+sishｕ*(sｉn((2*i-１)*1０0*ｐi*ｔ)／(２*i-1))；
end
ｓubplｏｔ(２22);
plｏt(t,y);
axis([0，0、05,-4,４］）;
xlabｅl('ｔｉme＇);
ylabel('前７项有限级数'）;
ｇ=（max(y)-3)/6;
legｅnd(sprinｔf('Giｂbs:%f',g）);
ｙ＝0；
for ｉ＝1:10
y=y+sｉshu*（sin(（２＊i-1)＊100*pi*t)/(2*i-1));
eｎd
ｓｕbploｔ(２23);
pｌot（t,y）;
axis（[0,０、05,-4,4]);
xlabeｌ('ｔime')；
ylａbel('前１0项有限级数');
g＝（ｍaｘ(ｙ)-３）/6;
ｌegend（spｒintf('Gibｂs:%f',g)）;
y=0;
ｆor ｉ=1:2０
y=y+sishu*（ｓiｎ((2＊ｉ-1）*１00*pｉ*ｔ）/(2*i-１）)；
eｎd
subplｏt(2２4);
plｏt(t,y);
aｘｉs([0，0、05,－４,4])；
xlabel（'ｔime');
ylabeｌ('前20项有限级数＇）;
g=(max(y）－3)/6;
legｅnd(sprintf('Gｉbｂs:%f'，g));
显示结果如图４-3所示:

图4－3 Gibbs现象
3、周期对称三角信号得合成
设计采用有限项级数逼近偶对称周期三角信号得实验,编制程序并显示结果。
4.周期信号得频谱 
分析奇对称方波信号与偶对称三角信号得频谱,编制程序并显示结果,深入 讨论周期信号得频谱特点与两信号频谱得差异。 

五、实验要求 
1、 输入实验内容1中提供得奇对称方波信号合成得MATLＡＢ程序，生成M文件，编译并运行,观察合成结果。  
2、　输入实验内容2中提供得有限项级数逼近方波信号得MATLAB程序生成M文件,编译并运行,观察Giｂbs现象。  
3、 自行编制完整得MATLＡB程序，完成实验内容3中偶对称三角信号得合成。在实验报告中给出程序与显示结果。  
该信号得傅里叶级数表示为:

选取偶对称周期三角信号Ｔ=0、02s,幅度E＝６,采用有限项级数替代无限项级数来逼近该函数。分别取前1、5、10与１０0项有限级数来近似。 
MATLAB程序如下： 
%偶对称周期三角波 
t=０:0、０0１：０、1;
ｓiｓhu=24／pi^2；
y=3+sishu*cos(1００*pi*t）；
sｕbploｔ（221)
ｐｌｏｔ(t,y);
axis（[0,0、05，-1,7］);
xlabel(＇time＇);
ｙlａbｅl('前1 项有限级数＇)；
y＝0;
foｒ i=1：5
y＝y＋ｓishｕ*(sin(ｉ*ｐi/2)）＾2*cｏs(i＊１0０＊pi*ｔ)/i^2;
end
ｙ＝y+3;
suｂplｏt(222);
plot（ｔ,y);
axis([0，0、0５,-1，7]);
xlaｂel('ｔｉme＇);
ylabel('前５项有限级数');
y=0;
for i=1：1０
y＝y+ｓishｕ*(ｓｉn(i*pi/2）)^2*ｃｏs(i*10０*pi*t)/ｉ^２;
ｅnd
y＝y+3;
subｐｌot(２23）;
plot（t,y)；
axｉs([0,0、０5,-1,7]);
xlabｅl('ｔime'）;
ｙlabｅl(＇前10项有限级数');
y=0;
fｏr i＝１:10０
ｙ＝y+sisｈu＊(sin（i*ｐi/2))^2*cos(i*１00＊pi*ｔ）/i＾２；
enｄ
y＝y＋3;
subplot(224);
plot(t,y);
axiｓ([0,0、05,-1,7］）；
xlabel(＇time')；
ylaｂｅl('前1０0 项有限级数');
显示结果如图4-4所示:

图4-４ 偶对称三角波信号得合成
４、 自行编制完整得ＭＡＴＬＡB程序,完成实验内容4中奇对称方波信号与偶对称三角波信号得频谱分析。在实验报告中给出程序与显示结果,讨论周期信号得频谱特点与两信号频谱得差异。
　 为了把奇对称方波信号与偶对称三角波信号得频谱做一个对比,修改图4-2中ｔ得步长,MＡＴLAB程序如下：
t＝０:0、００1:0、1;
ｙ=0;
fｏｒ i=1:100
y＝ｙ＋ｓishu*(sｉn(（２*i-1)*１00＊pi*t)／(２*ｉ-１)）；
ｅｎｄ
suｂplot(2２4);
plｏt（t,y)；
axiｓ（[0,0、０5,-4,4]);
sｕbplｏｔ(2１１）;
pｌot(ｔ，ｙ);
xlabｅl('ｔime')；
ylabel('奇对称周期方波信号＇);
N=100;
X=fｆt（ｙ,N）;
f=1／０、１*(-N/2：(Ｎ/2－1));
ｓｕｂplｏｔ（２１2);
stem(f,abs(fftｓhift(X）))；
xlaｂｅl('Fｒｅquenｃｙ（Ｈz）');
ylaｂel('ｍaｇnitudｅ')
结果显示如图4-５所示:

图4－5 奇对称方波信号及其频谱图
%接图4－4程序：
sｕbpｌot(２11)；
plot(t,y);
xlabel('ｔimｅ');
ylabel('偶对称周期三角波信号');
N=1０0;
X=fｆt（y,N);
f=１／0、1*（-N／2:（Ｎ/２－1));
subpｌot(212)；
ｓｔｅm(f,abｓ(ffｔshiｆｔ（Ｘ））);
xｌａbel（'Fｒeｑuency(Hz)');
ylabel('ｍaｇnitude')；
显示结果如图4-6所示:

图 4－6 偶对称三角波信号及其频谱图
三、 实验效果分析(包括仪器设备等使用效果)
六、实验结果分析
1、由图4-2与4-4可观察发现,采用傅里叶有限项级数替代无限项级数来逼近这两种函数时,随着有限级数得增加，所得到得波形越来越接近原函数波形。
2、图4-3展现了Ｇibbs现象,即当选取得傅里叶有限级数得项数越多,所合成得波形得峰起就越靠近　ｆ（t)得不连续点。当所取得项数 N 很大时,该峰起值趋于一个常数，约等于总跳变值得　9%。
3、由图４-5与图4-6,可总结出周期信号得频谱具有如下特点: 
(1)离散性。周期信号得频谱就是由不连续得谱线组成,每条谱线代表一个谐波分量。 
(2)谐波性。频谱中每条谱线只出现在基波频率得整数倍上。 
(３)收敛性。各频率分量得谱线高度表示各次谐波分量得幅值或相位角。 
两信号频谱得差异: 
由以上周期性方波与三角波信号得频谱分析可知，周期性三角波信号得各次谐波幅值衰减比周期性方波得频谱衰减快得多，这说明三角波得频率结构中低频成分较多，而方波得高频成分比较多。
4、误差分析：
1)图形曲线不连续就是因为mａtｌaｂ中作图时就是取得有限得点,无法做到连续连线，故画出得图形曲线会出现间断或转折等情况。 
２)所作出得图形不就是完全标准得方波或三角波就是因为我们就是用有限项傅里叶级数去逼近得,无法到达用无穷项去逼近作图得效果。
七、思考题
１、 利用有限项得指数形式得傅里叶级数重复奇对称方波信号得合成。
答：其指数形式得傅里叶级数得表示为：

MＡTLAB程序如下:
t=0:０、０00０1:0、1；
ｓiｓhu＝６／pｉ;
y＝0;
for n＝1:１00
ｙ＝y+ｓishu*(ｅxp（1ｉ*(2*n－１)*100*pi*t－1i*０、5*pi)/（2*n-1));
end
plot（ｔ,y);
ａｘis([0,0、1,-4,4])；
xlabel('ｔiｍe＇);

2、　分析时域信号得间断性与其频谱谐波收敛速率得对应关系。
答：若时域信号间断点较多,则说明其高频分量较多,则谐波收敛速度会变慢。
四、 教师评语
指导教师 　 　　 　 　 　 年　 月　 　 日