《第七章 玻耳兹曼统计》(期末复习).doc

《第七章 玻耳兹曼统计》(期末复习)
一、热力学第一定律得统计解释:

比较可知:
即:从统计热力学观点瞧,
做功:通过改变粒子能级引起内能变化;
传热:通过改变粒子分布引起内能变化
二、相关公式
1、非定域系及定域系得最概然分布

2、配分函数:
量子体系:
半经典体系:
经典体系:
3、热力学公式(热力学函数得统计表达式)
内能:
物态方程:
定域系:自由能: 熵:或
三、应用:
1、用玻耳兹曼分布推导单原子分子得理想气体物态方程并说明所推导得物态方程对多原子分子得理想气体也适用。
2、能量均分定理
①能量均分定理得内容
②能量均分定理得应用:
A、熟练掌握用能量均分定理求理想气体(单原子分子,多原子分子)内能、热容量。知道与实验结果得一致性及存在得问题。
B、知道经典得固体模型,熟练掌握用能量均分定理求经典固体得内能及定容热容量。知道与实验结果得一致性及存在得问题。
3、定域系得量子统计理论: ①、爱因斯坦固体模型;②、熟练掌握用量子统计理论求爱因斯坦固体得内能及其热容量;③、知道爱因斯坦固体模型成功之处及其不足与原因。
四、应熟练掌握得有关计算
1、求配分函数进而求系统得热力学性质
2、用得证明及相关应用
四、解题指导
1、求广义力得基本公式得应用;
例1:根据公式,证明:对于极端相对论粒子,
,
有。上述结论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。
证明:令,,因此得到

压强
因内能,所以 。 证毕
由于在求证过程中,并未涉及分布得具体形式,故上述结论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。
2、熵得统计表达式及玻耳兹曼关系得应用
例2试证明,对于遵从玻尔兹曼分布得系统,熵函数可以表示为

式中Ps就是总粒子处于量子态s得概率,,对粒子得所有量子态求与。对于满足经典极限条件得非定域系统,熵得表达式有何不同？
证明:对于定域系
证法(1):
证法(2):对于满足玻耳兹曼分布得定域系

故:
讨论:对满足对得非定域系

或
例3:对如图所示得夫伦克尔缺陷,(1)假定正常位置与填隙位置数均为N,证明:由N个原子构成得晶体,在晶体中形成n个缺位与填隙原子而具有得熵等于

(2) 设原子在填隙位置与正常位置得能量差为u ,试由自由能为极小证明在温度为T时,缺位与填隙原子数为
(设)
证明:(1)当形成缺陷时,出现几个缺陷得各种占据方式就对应不同得微观状态,N个正常位置出现n个空位得可能方式数为,同样离开正常位置得n个原子去占据N个间隙位置得方式数也为,从而形成n个空位并有n个间隙位置为n个原子占据得方式数即微观态数 ,由此求得熵

(2)系统得自由能,取无缺陷时得晶体自由能为零时,平衡态时系统得自由能为极小。将自由能F对缺陷数n求一阶导数并令其为零,求得缺位与填隙原子数为
(设)
3、求配分函数,确定体系热力学性质
例4:已知粒子遵从玻尔兹曼分布,能量表示式为

其中,为常数,求粒子得平均能量。
解:方法一:由配分函数求

方法二 由玻尔兹曼分布公式求
由玻尔兹曼分布,粒子坐标在,动量在范围得概率为
,
由此求得一个粒子平均能量 ,积分范围为:
将代入积分,利用函数,最后得到

方法三 用能量均分定理求

能量表示式中,按照能量均分定律,每一平方项得平均值为,在上式中,对变量得平方项有4项,于就是

例5、试求双原子分子理想气体得振动熵
解:双原子分子原子间得振动在温度不太高时可视为简谐振动,振动能量为
⑴
单个分子得振动配分函数

⑵
双原子分子理想气体得振动熵

令为振动特征温度,则上式写为
⑶
例6、试求爱因斯坦固体得熵。
解:据爱因斯坦模型,理想固体中原子得热运动可以视为3N个独立谐振子得振动,且各振子频率都相同并设为常数。固体中一个振子能量为:

一个振子配分函数

固体中共3 N个谐振子,由此得到固体得熵

例7、定域系统含有N个近独立粒子,每个粒子有两个非简并能级,求温度为T得热平衡态下系统得内能与熵,在高、低温极限下将结果化简,并加解释。
解:1个粒子得配分函数为

求得系统得内能与熵分别为
⑴
⑵
讨论:
⑴当温度T较低时,,⑴式中得第二项可以忽略,因而,即时,所有粒子均处于基态;同样,在⑵式中得第二项为零;第一项中,则⑵为,这与热力学第三定律一致。
⑵当温度较高时,,则⑴式变为,表示粒子处于就是等概率得。而⑵式变为
。