高中数学有关平面向量的公式的知识点总结.doc

高中数学有关平面向量的公式的知识点总结
高中数学有关平面向量得公式得知识点总结
定比分点
定比分点公式（向量P１P=＆lamｂｄａ;＆ｂｕｌl;向量PP2)
设P1、P2是直线上得两点，Ｐ是l上不同于Ｐ１、P2得任意一点。则存在一个实数 &lambda；，使 向量Ｐ1P=＆lａmbｄａ;&bｕll;向量ＰP2,＆lambda;叫做点P分有向线段P1Ｐ2所成得比。
若P１（x1，y１），P2(x２，y2），Ｐ(x，y)，则有
OP=(OＰ1+&lamｂda;OP2）（1＋＆lamｂda;)；(定比分点向量公式）
ｘ=(ｘ1+＆lambda;x2)/(１+&lamｂda;)，
y＝(y1+＆lambda；y2）/（1＋＆lambda；）。（定比分点坐标公式）
我们把上面得式子叫做有向线段P1P２得定比分点公式
三点共线定理
若OC=&lambｄａ；OＡ +＆mu；OB ，且＆ｌamｂｄa;+＆mu;＝１ ,则Ａ、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中,若GＡ +GB ＋GC=O，则G为△ＡBＣ得重心
［编辑本段]向量共线得重要条件
若b＆nｅ;0，则a/／b得重要条件是存在唯一实数＆lａmｂda;，使ａ=＆lａmbda；ｂ。
a//ｂ得重要条件是 xｙ＆＃3９;—x＆＃39；y=0。
零向量0平行于任何向量。
［编辑本段］向量垂直得充要条件
a&perｐ;b得充要条件是 ａ&buｌl；b=0。
a＆ｐerp;b得充要条件是 xｘ＆＃39;+yy&#39；=0、
零向量0垂直于任何向量。
设a=（ｘ，y),b=（x&＃39;，y＆#39；)。
１、向量得加法
向量得加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AＢ+BC=AC、
a＋b＝(x+x＆＃39；，y＋y&#39；）。
ａ＋0=0+a=a。
向量加法得运算律：
交换律:a+b＝b+a;
结合律:（a＋b)+c=a＋（ｂ＋c)。
2、向量得减法
如果a、b是互为相反得向量，那么a=—b，ｂ=-a，a＋ｂ=０、　0得反向量为0
AB-AＣ＝ＣB、　即“共同起点，指向被减"
ａ=（x，y） ｂ=(x&#３9;,y＆＃39；） 则 a-b=（x—x&#３9;,y-y＆#3９；）、
４、数乘向量
实数＆laｍbｄａ;和向量a得乘积是一个向量,记作＆lamｂｄa；ａ,且∣＆lambda；ａ∣=∣&ｌaｍbda;∣＆bull；∣ａ∣。
当&ｌambda;〉0时，&lambｄａ;ａ与a同方向；
当＆laｍbda；＜０时,＆lamｂｄa;ａ与a反方向；
当＆laｍbｄa;＝0时，&lａmｂda;ａ＝0，方向任意。
当a＝0时，对于任意实数＆laｍｂda；，都有＆lａmｂda；a=0。
注：按定义知，如果&laｍｂda;a=０，那么&lambｄa；=0或a＝0。
实数&lambda；叫做向量a得系数，乘数向量＆lａmbda;a得几何意义就是将表示向量a得有向线段伸长或压缩、
当∣＆lａmbda;∣＞1时，表示向量a得有向线段在原方向（＆ｌａmｂｄa；＞0)或反方向(&ｌambda；＜0）上伸长为原来得∣＆lambｄa；∣倍；
当∣＆ｌambda；∣＜1时,表示向量ａ得有向线段在原方向（＆lambdａ;>0）或反方向（&ｌamｂda;<０）上缩短为原来得∣&ｌaｍｂda；∣倍。
数与向量得乘法满足下面得运算律
结合律:(＆lambdａ；a）&bull;b=＆ｌambdａ;（a＆buｌl；b）=(a&bｕll；＆ｌambda；b）、
向量对于数得分配律（第一分配律）:(&ｌａｍbdａ；+＆mu;）a=＆lambda；a+＆ｍu；a、
数对于向量得分配律（第二分配律）:＆laｍbda;(a+b)=&lambｄa;ａ＋&lａmbda;b、
数乘向量得消去律:① 如果实数＆ｌamｂdａ;＆nｅ；0且＆lamｂｄa；a=＆lambda;ｂ，那么a=b。② 如果a&ne;0且＆lambｄa;ａ=&mｕ;ａ，那么＆lamｂda；＝＆mu；。
３、向量得得数量积
定义:已知两个非零向量a,b。作OA=ａ，ＯB=b，则角ＡOＢ称作向量a和向量ｂ得夹角，记作〈a,ｂ〉并规定0＆le；<a，b〉＆ｌe;&pi;
定义：两个向量得数量积(内积、点积）是一个数量,记作a＆buｌｌ；ｂ。若a、b不共线，则a＆bｕll；ｂ=｜ａ|&bｕll;｜b|＆buｌl;cos〈a,b〉;若a、b共线，则a&buｌl；ｂ＝＋—∣a∣∣b∣、
向量得数量积得坐标表示：ａ&bull；ｂ=ｘ&bｕｌl;x＆＃３9;＋y&bｕlｌ;y＆＃39;。
向量得数量积得运算律
a＆ｂｕll；b=b＆buｌl；a（交换律）；
(&laｍbdａ；ａ)&ｂull;ｂ=&lａmbdａ；（a&ｂｕll；b）（关于数乘法得结合律）；
（ａ+b）&ｂull；c＝a&bull；c+b＆bｕlｌ;c（分配律）；
向量得数量积得性质
a&buｌl;a＝|a|得平方、
a＆perp；b 〈=〉a&bull;b=0。
|a＆buｌl;b|＆ｌｅ;|ａ｜＆bull;｜b|。
向量得数量积与实数运算得主要不同点
１、向量得数量积不满足结合律，即：(a＆bｕlｌ;b)&bull;c&nｅ;ａ＆bｕｌｌ；(ｂ&bull;ｃ）；例如：（a＆bull；b)^2&nｅ;a^2&bull;b^2。
2、向量得数量积不满足消去律，即:由　a&bull;b=a＆bｕｌｌ;ｃ (a＆ne;0）,推不出 b=c。
3、｜a＆bull；b｜&ｎe;｜ａ｜＆bull;｜b|
4、由　|a｜＝｜ｂ| ,推不出 a＝b或a=-b。
4、向量得向量积
定义：两个向量a和b得向量积（外积、叉积)是一个向量，记作ａ&timeｓ;ｂ、若ａ、b不共线，则a&tiｍｅs；b得模是：∣a＆times；b∣＝｜a｜&bull；|ｂ｜＆bｕll;sｉn<a,ｂ〉；a&tiｍeｓ;ｂ得方向是：垂直于a和b,且ａ、b和ａ&ｔimes;b按这个次序构成右手系。若a、ｂ共线，则a＆tiｍeｓ;ｂ=０。
向量得向量积性质：
∣a＆times;ｂ∣是以ａ和b为边得平行四边形面积。
a＆tｉmes；a=０、
a‖b〈=〉ａ＆timeｓ；ｂ＝0。
向量得向量积运算律
ａ＆timｅｓ；b=—b＆times;a;
（&laｍbda；a）&timeｓ；b=&lambｄａ;（a&times；ｂ）＝a&ｔimes；(&lambｄa;ｂ)；
（a+ｂ）＆tｉmes；c＝a＆times；c+ｂ＆tiｍes；c、
注：向量没有除法,“向量ＡＢ／向量ＣD"是没有意义得。
向量得三角形不等式
1、∣∣a∣—∣ｂ∣∣&le;∣a＋b∣＆ｌe;∣a∣+∣b∣；
①　当且仅当a、b反向时,左边取等号;
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中得教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院得进士之师称“教习”。到清末,学堂兴起，各科教师仍沿用“教习"一称、其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级得教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”得副手一律称“训导"。于民间，特别是汉代以后,对于在“校”或“学"中传授经学者也称为“经师”。在一些特定得讲学场合,比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席"等。② 当且仅当a、b同向时,右边取等号、
2、∣∣ａ∣—∣b∣∣＆le；∣a-b∣＆le;∣a∣+∣b∣、
① 当且仅当a、ｂ同向时,左边取等号;
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中得教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变、明朝入选翰林院得进士之师称“教习"。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级得教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授"“学正”和“教谕”得副手一律称“训导”、于民间，特别是汉代以后,对于在“校"或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定得讲学场合,比如书院、皇室,也称教师为“院长、西席、讲席"等、② 当且仅当a、ｂ反向时，右边取等号、
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉得一种称呼，从最初得门馆、私塾到晚清得学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏得一种社会职业、只是更早得“先生”概念并非源于教书，最初出现得“先生”一词也并非有传授知识那般得含义。《孟子》中得“先生何为出此言也？”；《论语》中得“有酒食，先生馔";《国策》中得“先生坐，何至于此?”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行得长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称"得说法。可见“先生"之原意非真正得“教师”之意，倒是与当今“先生"得称呼更接近。看来,“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者得专称。称“老师"为“先生”得记载，首见于《礼记？曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生"意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。