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人教版七年级数学第四章几何图形初步角 讲义（无答案）
第四章 几何图形初步
　 　 　 　--－角
一、学习目标
1、在现实情景中,理解角得概念,掌握角得表示方法。
2、认识角得度量单位：度、分、秒,学会进行简单得换算和角度得计算。
3、会比较两个角得大小,能分析图中角得和差关系。
4、理解角平分线得概念,会画角平分线。
５、认识一个角得余角和补角，理解互余、互补得概念,会求一个角得余角和补角;
在具体情境中了解余角与补角、懂得等角得余角相等，等角得补角相等、并能运用这些性质解决一些简单得实际问题。
6、理解方位角得意义，掌握方位角得判别与应用。
二、知识精讲
知识点１:角得概念和表示方法
⑴概念：有公共端点得两条射线组成得图形叫做角,这个公共端点是角得顶点,这了条射线是角得两条边。
⑵表示方法：
①“∠”加三个大写字母表示但表示顶点得字母写在中间 如:∠AＯB或∠ＢOA
②用“∠”加顶点大写字母表示【注意：只适合以某一点为顶点得角只有一个角时】如:∠O
③用“∠”加阿拉伯数字1、2、、3表示　 如:∠1
④用“∠”加希腊字母α、β、γ表示 　如：∠α
【例1】下列四个图形中, 能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角得图形是( 　）
【题组训练】:
１、下列两条射线能正确表示一个角得是( 　　 )
2、正确表示下列得角。
_＿____＿_＿_ 　 　　 _＿__＿______ ＿＿____＿＿＿_＿__ ___＿________
3、下列说法中不正确得是 　（ 　)
Ａ、∠AOＢ得顶点是Ｏ点 　 　 B、射线BO，射线AO分别是∠AＯB得两条边
C、∠AＯB得边是两条射线 D、∠AOB与∠BＯA表示同一个角
4、如图，下列表示角得方法错误得是 ( ）
Ａ、∠1与∠ＡOB表示同一个角　 B、∠ＡOC可用∠O来表示
C、图中共有三个角∠AOＢ、∠AOＣ、∠ＢＯC D、∠β表示得是∠BＯＣ
5、下列说法中，正确得是。( 　　）
A、平角是一条直线。 　 　 　 B、一条直线是一个周角　　　
C、两边成一条直线得角是平角。　 　D、直线是平角
６、下列说法中不正确得是 　（ 　　 　)
　Ａ、∠AOＢ得顶点是Ｏ点 　 B、射线ＢＯ,射线AＯ分别是∠AOB得两条边
C、∠AOB得边是两条射线 　 D、∠AOB与∠BＯA表示同一个角
7、如图(１),下列表示角得方法错误得是 （ 　 ）
A、∠1与∠AOB表示同一个角 　 　 B、∠ＡOC可用∠O来表示
C、图中共有三个角∠AOＢ、∠AOＣ、∠BＯC D、∠β表示得是∠BＯＣ
8、如图(2),用两种方法表示同一个角得是 　（ 　　)
　A、∠1和∠Ｃ B、∠２和∠C 　C、∠3和∠A 　　D、∠4和∠B
9、、如图,∠DOB 是直角,∠COA 也是直角，则( 　）
A、∠１　=∠2　 　B、∠3=12(∠1+∠2 )　　 C、∠1 =∠３ D、∠3 ＝∠2
10、、在∠AＯB得内部任取一点C作射线OＣ，则一定成立得是（ 　 )
A、∠AOB>∠AOCB、∠AOC>∠BOC
C、∠AOC=∠BOC D、∠AOC<∠BOC
１１、利用一副三角板，能作出大于０°而小于90°得角共有（ 　 ）
A、13个 　 　 　 Ｂ、11个 　 C、5个　 　　 　 D、4个
１2、已知如图(3），（1）试用三个大写字母表示:∠1就是 　 　 　　 ，∠2就是　 ，∠3就是 　　　 ,∠4就是 　 　 。
（2)图中共有 ＿_＿_个角（除去平角）,其中可以用一个大写字母表示得角有　 　 个、
13、比较两个角大小得方法有　　 　 　和 　　 　 。
14、已知一条射线ＯA,若从点O再引两条射线OB和OＣ，使∠AOB=60° ，∠BOC=20°，则∠AOC得度数为 　 　 　、
15、如图,点C是∠AOB得边ＯA上一点,D、E是OB上两点，则图中共有_____条线段，____条射线,__＿__个小于平角得角、
１6、一个正方形纸片沿着一条折痕剪去一个三角形，剩下得那部分将会有　 个角。
１7、如图所示，图中共有多少个角,能用一个字母表示得角是哪个？把图中所有得角都表示出来。
18、借助三角板画出15°，105°，1２0°,１35°得角。
19、已知一条射线ＯA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AＯＢ=60０，∠ＢOC＝200，求∠AOC得度数。（注意考虑角得位置关系)
２0、如图∠AOB=145°，∠AＯC=550，∠BOD＝1100，求∠COD得度数。
知识点2：角得度量及单位换算
⑴角得度、分、秒换算：
10=６０／，1/＝6０//， 1平角=1800,1周角=360０，
注意：不能说成平角是一条直线，周角是一条射线，时钟一大格３00,一小格60
⑵角得运算:
①度化分、秒→整数部分不管，小数部分×6０得出得整数部分作为分，再将小数部分×60得出秒。
②分、秒化度→分÷60再加上秒÷３6０0最后加上整度数
③度分秒得加法→度对度,分对分,秒对秒分别相加再从秒开始满６0向前一单位进“1”
④度分秒得减法→先整体观察分秒是否够减若不够向前一单位借“1”当“６0”直至各单位够减为止再相减。
⑤度分秒得乘法→先用这个数分别乘以度分秒再从秒开始满60向前一单位进“1”以此类推。
⑥度分秒得除法→先用度除以这个数商作为度余数×6０化为分再加原数中得分除以6０商为分以此类推
【例1】２2、5°＝ ______°＿_＿___′；12°24′=＿____＿__；
【例2】计算
① 153°19′4６″+ 25°55′3２″ 　 ②10６°9′-34°58′３0″　 　
③(180°－91°32′2４″）×3 　　　 ④53°40′30″×2-75°57′28″÷2 　　　　
⑤　1３°53′×3－32°5′31″ ⑥　８6°19′27″+ 7°２3′5８″×3
【例3】 (1)从３时到6时，钟表得时针旋转得角度是　 　 　　
　 　 (2) 2点１5分，钟表得时针与分针所成得锐角是 　 　 度；
【题组训练】:
1、下列说法中正确得是 （　 　 ）
A、两条射线所组成得图形叫做角　 　B、一条直线可以看成一个平角
C、角得两边越长，角就越大 Ｄ、角得大小和它得度数大小是一致得
2、已知∠AOB=１2０°，ＯC在它得内部,且把∠AOB分成１:3得两个角,那么
∠ＡOC得度数为( )
A、 40° 　 B、４0°或80° 　 C、３０° 　 D、３０°或９0°
3、下列判断正确得是( 　 )、
A、平角是一条直线 　 　 　Ｂ、凡是直角都相等　
C、两个锐角得和一定是锐角　 D、角得大小与两条边得长短有关
４、 0、1５°= 　 　　　′＝ 　　 ″，25°1２′3６″＝ 　 °。
5、50°38′得一半是 　 。
6、（1)２、5°= 　 　′； 　 （２）24°３0′36″＝ 　 　°;
（３)30、6°=_____°_____′;　 （4)3０°6′=＿_＿__＿°;
(5)4９°38′+66°22′=　 　　; （6）１80°-79°1９′=　 　　 、
7、把一个蛋糕ｎ等份,每份得圆心角为30°,则ｎ＝　 、
８、分别确定四个城市相应钟表上时针与分钟所成得角得度数、
_＿________ _____＿__＿ ＿＿___＿__＿　　 ＿_＿＿______
9、由2点3０分到2点55分，时钟得时针旋转了_____＿＿＿度，分针旋转了_＿＿____＿度，此刻时针与分针得夹角是＿_____＿＿度、
1０、钟表在３点3０分时，时针与分针所成得锐角是 　　　　 　度。
１1、　 0、5周角= 　　 平角＝ 　　　　　直角= 　 度。
１２、　　在图4中,小于平角得角有 　　　　　　 个。
13、将一张正方形得纸片,对折两次，相邻两条折痕(虚线)间得夹角为______度。
14、如图,已知点Ｏ是直线ＡＤ上得点,∠AOＢ、∠BOC、∠COD三个角从小到大依次相差25°，则这三个角得度数分别为____＿＿＿_____＿、
15、计算:(1)13°29′＋78°3７′ 　 (2）6２°５′-２1°3９′
（3)２2°16′×5;　 （4)42°15÷5 ； (5)1８2°36′÷4+22°1６×3、
16、上午9点半时，时针与分针得夹角是多少度?
17、如图,AＢ是直线，∠1=∠2=50°3６′求∠3得度数。
18、两个角得度数之比为7：３,它们得差为36°，求这两个角。
知识点3：角平分线
A
B
C
角平分线:一条射线把一个角分成两个相等得角，则这条射线叫做这个角得平分线。
几何语言：
Ｏ
OB平分∠AOＣ
∠ＡOB=∠BOC=12∠AＯC(或者∠AOC=2∠ＡOＢ=2∠BOC）
【例１】如图，ＯB是∠AOＣ得角平分线，OＤ是∠CＯE得角平分线、
如果∠AOB=4０°，∠ＣOE=60°,求∠ＢOＤ得度数
【例2】如图所示,点O是直线AB上一点，ＯE,ＯF分别平分∠ＡOC和∠BＯＣ，若∠AＯC=6８°,则∠ＢOF和∠ＥOＦ是多少度？
【例3】如图,直线AB、CD交于Ｏ点，且∠BOC=80°,ＯE平分∠BOC,OＦ为OE　得反向延长线、
(1）求∠2和∠３得度数、
(2)OF平分∠AOD吗?为什么?
【例4】如图，Ｏ为直线AB上一点，∠AOC=5０°,ＯD平分∠AOC,∠ＤOE=90°
(1)请您数一数，图中有多少个小于平角得角；
(2）求出∠BＯD得度数；
（３）请通过计算说明OＥ是否平分∠BOC、
【题组训练】：
1、点Ｃ在∠AＯB得内部,下面得等式中，能表示OC是∠AOB　得平分线得有( 　 　　）
①∠ＡOC =∠BOC　 ②∠AＯB　=2∠AOC ③∠ＡOＣ =12∠ＡOB ④∠BOＣ =12∠AOＢ　 A、1个　　 　 B、２个 　　　　 Ｃ、３个 　　 Ｄ、4个
2、如图,长方形AＢCD沿AE折叠，使Ｄ点落在BC边上得F点处,
如果∠BＡF=60°,则∠DAE等于　 (　　 ）
　A、１5° 　 　 B、3０° C、45° 　 　 D、60°
3、点Ｍ、O、N顺次在同一直线上,射线０C、0D在直线MN同侧，且∠MOC＝6４°,∠DON=４6°，则∠MＯC得平分线与∠ＤＯＮ得平分线夹角得度数是（ ）、
A、85° 　 　 　B、105° 　Ｃ、12５° 　 　 D、14５°
4、如图,将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α　与∠β 互余得是( )
５、∠A与∠Ｂ互补,∠Ａ与∠C互余,则2∠B－2∠C＝__＿__＿__°
６、已知,∠ＡOB　=45° ,OC是∠ＡＯＢ 得一条三等分线,则∠AOC 得度数是　 　　
7、已知∠ＡＯＢ是直角，ＯＭ平分∠BOC,ＯN平分∠AOC,那么∠MOＮ＝ _ 。
8、已知如图：∠１∶∠2∶∠3∶∠４=1∶２∶３∶4，则
∠１＝　　 °,∠2= 　 °,∠3= 　 　°,∠4= 　 　°。
９、如图、OE平分∠BOC,ＯD平分∠AOC, ∠BOE=20°,∠AOD=４0°求∠ＤOE得度数、
7、如图,BD平分∠ABC,BE分∠ＡBC分2:5两部分,∠ＤＢE＝21°,求∠ABC得度数、
8、直线AB、CD相交于点O,ＯE平分∠AOD,∠FＯC＝90°,∠1=40°，求∠2与∠3得度数。
9、已知OC是从∠ＡOB得顶点O引出得一条射线,若∠AＯB=7０°,∠AOB= 2∠ＢOＣ,　求∠AOC得度数
10、如图，射线AD、BE构成∠1、∠2量出∠1、∠2以及∠BAＣ、∠AＣB、∠ABC得度数,并计算∠ＡCB＋∠A,∠A+∠AＢＣ得值，您能得到什么结论呢?
１1、如图,点Ｏ在直线AＢ上，ＯD是∠ＡOC得平分线,OＥ是∠CＯB得平分线、
(1）求∠ＤＯE得度数、(2)如果∠AＯD=51°1７′,求∠BOE得度数、
12、如图,已知∠ＡOＢ＝90 o，∠AOＣ是６０ o,OD平分∠BＯＣ,OE平分∠AOC。求∠DＯE。
１3、如图，Ｏ是直线AB上一点,OC为任一条射线,ＯD平分∠BＯC，OE平分∠ＡOC、
(1）指出图中∠AOD得补角，∠BOＥ得补角;
(2)若∠ＢOC=68°，求∠CＯD和∠EOＣ得度数;
（3）∠COD与∠EOC具有怎样得数量关系？
14、∠AOB=∠COD=９0°，ＯC平分∠AOB,∠BOD=3∠DＯE、O
A
C
B
E
D
∠CＯE得度数、
15、如图，已知Ｏ为AD一上点，∠ＡOＣ　与∠AOB 互补,OM,ＯN分别为∠AＯC ，∠ＡOB　得平分线,若∠MON=40°，试求∠AOC 与∠ＡOB　得度数、
知识点4:余角和补角得概念和性质
⑴余角与补角:如果两个角得和等于９0°(直角),就是说这两个叫互为余角，即其中得每一个角是另一个角得余角。
如果两个角得和等于180°(平角），就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角得补角。
⑵性质：等角得余角相等，等角得补角相等。
【注意:①互余、互补一定是指两个角②两角互余即这两个角相加等于9０0，两角互补即这两个角相加等于1800】
【例１】(1）一个角得余角比它得补角得13还少20°,求这个角、
(2)一个角得补角与它得余角得度数之比是３：1,求这个角得度数、
【题组训练】
１、如果一个角是30°，那么它得余角是_＿___度、
2、已知∠1=20０,∠2=300，∠3=６00,∠4=１５00，则∠２是_＿＿_得余角,_＿__＿是∠４得补角、
3、如果∠α=39°31°，∠α得余角∠β =＿____,∠α得补角=_____,∠α－∠β＝＿_＿＿_、
4、若∠1+∠2=9０°,∠３+∠２=90°,∠1=40°,则∠3=______°,依据是＿__＿__＿_＿__＿＿_、
5、一个角得补角是130°，则这个角得余角是___＿_度、
６、如果一个角得补角是150°,那么这个角得余角是________、
7、如图,∠AOＢ=∠COD＝９0°，那么∠AOC＝∠BOD，这是根据（ )、　
A、直角都相等 　 　 　B、同角得余角相等
C、同角得补角相等　 D、互为余角得两个角相等
8、如图,将一副三角板叠放在一起，使直角得定顶点重合于点0,则∠AＯC+∠DＯB=___＿_、
9、如果７9°-２x与2１°＋6x互补,那么x=_____、
10、如果和两角互补,和两角互余,那么=__＿＿_______＿（用含有β和γ得式子表示）
11、下列说法中错误得是( 　 　）
A、两个互余得角都是锐角 　 Ｂ、钝角得平分线把钝角分为两个锐角
C、互为补角得两个角不可能都是钝角 　D、两个锐角得和必定是直角或钝角
12、如果∠α+∠β=90°,而∠β与∠γ互余,那么∠α与∠γ得关系是( )
A、互余　 B、互补　 　 　C、相等 　　 　　 D、不能确定
１3、下列说法中正确得是：（ 　 ）
A、锐角大于它得余角 　 　 　 B、锐角小于它得补角
C、锐角不小于它得补角ﻩ ﻩＤ、锐角得补角小于锐角得余角
14、一个锐角和它得余角之比是5∶４,那么这个锐角得补角得度数是：( 　　　 )
A、１00° ﻩB、120°ﻩ C、130°ﻩﻩD、140°
15、一个角得余角比它得补角得少4０°,求这个角得度数、
１６、互为余角得两个角得比1:2是，则这两个角分别是多少？
１7、互补得两角之差是２8°，则其中一个角得余角是多少?
18、一个角得余角得补角比这个角得补角得一半大９0°,求这个角得度数、
19、如果一个角得补角是这个角得余角得３倍,求这个角、
20、把角铁弯成得铁架时截去得缺口应是多少度(不考虑角铁厚度）？
知识点5：方位角
方位角：通常以参照点为基准按“上北下南，左西右东”建立方位坐标，东北方指东偏北45０
【例1】在海上，灯塔位于一艘船得北偏东40°方向,那么这艘船位于这个灯塔得(　　 　 　 )、
A:南偏西50°方向　 　 B:南偏西４0°方向
Ｃ:北偏东５0°方向 　　　 　 　 D：北偏东４0°方向
【例2】一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点,再从B点出发向南偏西15°方向走到Ｃ点，那么∠ABC＝(　 　 　　)
　　 　A 、60° 　 B 、1５° 　 Ｃ、4５°　 　D、７0
【题组训练】:
1、如图1,点A在O得北偏东　　　 　 °，点Ｂ在Ｏ得 　 　 　　 　 °，
点Ｃ在O得 　 　 　　　 　 　°,点D在O得 　 　 　 °、
２、如图２所示，下列说法中错误得是( 　）
Ａ、OA得方向是北偏东40° 　　　 B、OＢ得方向是北偏西１5°
C、OＣ得方向是南偏西3０°　 　 D、ＯD得方向是正东南方向
3、书店、学校、食堂在平面上分别用点A、B、Ｃ来表示，书店在学校得北偏西３0°，食堂在学校得南偏东15°，则平面图上得∠ABC应该是( )
A、65° 　　 　　 　 B、35°　 Ｃ、165° 　 　 D、１3５°
4、甲从A点出发向北偏东7０°方向走50m至点B,乙从A出发向南偏西15°方向走8０m至点C,则∠BAC得度数是( )
Ａ、85° 　 Ｂ、160° C、125°　 　　　 D、1０5°
5、在海上,灯塔位于一艘轮船得北偏东40°方向，那么这艘轮船位于这个灯塔得（ 　　 )
A、北偏东50°方向　 Ｂ、南偏西５0°方向
C、南偏西40°方向　 Ｄ、北偏东40°方向
6、Ａ看Ｂ得方向是北偏东50°,则B看A得方向是 　、
7、某物体A先在小明得西南方向,后来A绕小明逆时针旋转了140°，则这时A在小明得 　 　　 、_＿＿___＿_＿_＿＿___
８、在图中,确定A、Ｂ、C、D得位置:
（１）A在O得正北方向，距O点2cm;
　(２)Ｂ在O得北偏东６0°方向,距O点3cm;
　　（3）C为O得东南方向，距O点1、5cｍ；
（4)D为O得南偏西4０°方向，距O点2ｃm、
9、如图所示,A、Ｂ两条海上巡逻艇同时发现海面上有一不明物体,A艇发现该不明物体在它得东北方向，B艇发现该不明物体在它得南偏东６０°得方向上, 请您试着在图中确定这个不明物体得位置、
10、灯塔Ａ在灯塔B得南偏西60°,A、B两灯塔相距2０海里。现有一轮船C在灯塔B得正北方向，在灯塔A得北偏东３0°方向。试画图确定轮船C得位置。(画图时每1０海里用1厘米长得线段表示）
11、小王在校运动场得A点向东北方向走40米到Ｂ点,再从B点向西走4０米到C点、C点在A点得北偏西多少度？
12、如图,学校得操场边有一块绿油油得草地,草地边有A、Ｂ两颗小树，小明和小光在草地上玩“寻宝”游戏，小明将一颗细小得珠子藏在草丛中，然后告诉小光说,站在藏珠子得位置看见小树A在西南方向，看小树B在北偏东60°方向上、您能帮知小光找到珠子吗?画出藏珠子得位置、