离散系统及其在生物与经济中的应用.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,离散系统及其在生物与经济中的应用,采样控制原理图,差分方程与,Z,变换,状态空间形式与,z,变换,传递函数为,拉普拉斯变换:,z,变换:,z,与,s,得关系为:,z,变换得性质:,在零初值情况下,能控性与能观性,能控性上面离散系统在,n,个采样时刻得状态解就是:,G,n,非奇异:与连续系统一样,能控性矩阵秩为,n,;,G,n,奇异:对于使,G,n,x,(0)0得非零初态,与能控性矩阵得秩无关。,能观性,上面离散系统在,n,个采样周期内得量测值与初值,x,(0)得关系就是:,与连续系统一样,系统能观得充要条件就是能观性矩阵得秩为,n,。,高次差分方程与状态方程,选择状态变量,则可得状态方程,连续系统离散化,D/A,数字,计算机,连续系统,保持器,A/D,采样器,连续系统时间离散化得实现,连续系统离散化,无论就是利用数字计算机分析连续时间系统,还就是利用计,算机等离散控制装置来控制连续时间受控系统时,都会遇到,把连续时间系统化为等价得离散时间系统得问题。连续线性,定常系统,其离散化后得方程为,其中 ,T,为采样周期,连续系统离散化,采样周期,T,得选择会影响可控性、可观性得保持问题。,(由系统得解 出发进行离散化),几个推论:,时间离散化不改变系统得时变性或定常性。,不管连续系统矩阵,A,就是否为非奇异,但离散化系统得矩阵,G,一定就是非奇异得。,离散系统得稳定性,大家有疑问的，可以询问和交流,可以互相讨论下，但要小声点,s,平面与,z,平面得映射关系,z,变换中得复变量,z,与拉普拉斯变换得复变量,s,得关系就是,其中 就是采样周期,将 代入上式有,所以,即,s,得实部只影响,z,得模,s,得虚部只影响,z,得角;,左半,s,平面,即,0,z,平面单位圆内部,即,|z|,0,z,平面单位圆,即,|z|,=1,z,平面单位圆外部,即,|z|,1,离散系统稳定得判据,离散系统稳定得充分必要条件就是其特征方程得全部特,征根都位于,z,平面上以原点为圆心得单位圆内。,就是否存在类似于连续系统得Routh-Hurwitz判据？,如果能找到一种变换:,将左半平面变成单位,圆内部,那么以,z,为变量得特征方程就可以变换成以,s,为变,量得方程,从而可以借助于连续系统得Routh-Hurwitz判据,来判断离散系统得稳定性。引入变换,例子,已知离散系统得开环传递函数为,系统得特征方程为 ,即,直接求解可得闭环特征根为,如果做代数变换,令 ,代入特征方程得,利用Hurwitz判据同样可判定系统就是稳定得。,Lyapunov,方法,连续系统:系统稳定当且仅当存在正定矩阵,P,使得,离散系统:系统稳定当且仅当存在正定矩阵,P,使得,离散系统得应用,菲波纳奇级数与兔口模型,兔子得繁殖规律,定义,x,3,(,t,)第,t,年新生兔数量(01岁),x,2,(,t,)第,t,年1岁兔数量(12岁),x,1,(,t,)第,t,年2岁兔数量(23岁),3岁以上兔子不予考虑。,不考虑兔子死亡率,x,2,(t1),x,3,(t),x,1,(t1),x,2,(t),x,3,(t),x,2,(t),x,1,(t)(设第,t,年每对1岁与2岁兔各生2只小兔),兔口模型,再设第0年1岁兔为,x,2,(0)1万只,2岁兔为,x,1,(0)1万只。,用迭代法求解上式可以得到,x,i,(,t,),i,=1,2得序列:,x,i,(,t,)得每一项(,t,2)都就是前两项之和。这个序列被称为菲,波纳奇序列。,下面用,z,变换求菲波纳奇级数得通项公式:,菲波纳奇级数得通项公式,将上式第一式代入第二式得到,求出,x,2,(,z,)为:,查表求反变换得,考虑兔口增长率问题:设第,t,年兔子总数为,y,(,t,),显然有,又,将通项带入上式便求出第,t,年兔子总数量。兔子增长率,定义,为:,从,通项,可知,当时间足够长得之后,增长率趋于一个常数:,当,t,0时,兔子数,y,(,t,)4万只,那么30年以后兔子数为:,y,(30)=41、618034,30,=7441993、5万只。,商品市场价格变化得蛛网模型,蛛网模型研究生产周期较长得商品(如农产品)得产量和价格在偏离均衡状态以后得实际波动过程及其结果。,某种产品第,t,年需求量,D,(,t,)就是当年价格,p,(,t,)得线性函数:该种产品供应量,S,(,t,)则与去年价格,p,(,t,1)有关,因为在第,t,1年时价格为,p,(,t,1),农民则认为第,t,年还就是这个价格,从而去安排生产。而生产得投入到产出之间有时间延迟。现供给函数为:两式中得,a,b,e,f,皆为大于0得常数。,设某地区西瓜供求函数如式,(1),(2),所示。具体参数为:,设1998年西瓜价格为,p,(0)=0、3元/公斤,1999年农民愿意种西瓜量为,S,(1)=0、580、31、9亿公斤,在1999年上市西瓜1、9亿公斤,如果西瓜还卖0、3元/公斤,吃瓜得需求量为,D,(1)7120、32、2亿公斤 1、9亿公斤,这意味着西瓜供不应求,因此西瓜将会涨价,直至供求平衡,供求平衡价格由下式决定:,D,(1),S,(1),可得,p,(1)0、425元/公斤。在2000年如果还卖0、425元/公斤,大众得吃瓜量为1、9亿公斤 2、9亿公斤,西瓜将供过于求,要将2、9亿公斤瓜全卖出去,其价格为:,D,(2),S,(2),p,(2)0、34166元/公斤,类似地一年一年分析下去,可得西瓜价格波动地图解分析。,蛛网模型,理论分析:求解价格得变化,令,D,(,t,)=,S,(,t,),得,做,z,变换,求出反变换为:,从上式看出当,即特征方程,bz,f,0得根得模小于1时,成立:,即系统就是渐近稳定得。这时候价格趋于供应平衡价格:,封闭型蛛网,P,Q,0,S,D,P,1,P,2,Q,1,Q,2,