定积分的概念与性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 定积分,定积分和不定积分是积分学的两个,一种认识问题、分析问题、解决问题的,definite integral,不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想,主要组成部分,.,思想方法,.,1,第五章 定积分,基本要求,理解定积分的定义和性质,微积分基本定理,了解反常积分的概念,掌握用定积分表达一些几何量与物理量,(,如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法,.,2,第一节 定积分的概念与性质,定积分问题举例,定积分的定义,关于函数的可积性,定积分的几何意义和物理意义,小结 思考题 作业,定 积 分,定积分的性质,*,*,*,definite integral,3,1.,曲边梯形的面积,定积分概念也是由大量的实际问题,求由连续曲线,一、定积分问题举例,抽象出来的,现举两例,.,定积分的概念与性质,4,用矩形面积,梯形面积,（五个小矩形）,（十个小矩形）,思想,以直代曲,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边,定积分的概念与性质,近似取代曲边梯形面积,5,采取下列四个步骤来求面积,A.,(1),分割,(2),取近似,定积分的概念与性质,长度为,为高的小矩形,面积近似代替,6,(3),求和,这些小矩形面积之和可作为曲边梯形,面积,A,的近似值,.,(4),求极限,为了得到,A,的精确值,取极限,形的面积,:,分割无限加细,定积分的概念与性质,极限值就是曲边梯,7,2.,求变速直线运动的路程,思想,以不变代变,设某物体作直线运动,已知速度,是时间间隔,的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程,.,思路,把整段时间分割成若干小段,每小段上,速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便,得到路程的近似值,最后通过对时间的无限,细分过程求得路程的精确值,定积分的概念与性质,8,大家应该也有点累了，稍作休息,大家有疑问的，可以询问和交流,9,(1),分割,(3),求和,(4),取极限,路程的精确值,(2),取近似,定积分的概念与性质,表示在时间区间,内走过的路程,.,某时刻的速度,10,二、定积分的定义,设函数,f(x),在,a,b,上有界,在,a,b,中任意插入,定义,若干个分点,把区间,a,b,分成,n,个小区间,各小区间长度依次为,在各小区间上任取,一点,作乘积,并作和,记,如果不论对,(1),(2),(3),(4),上两例共同点,:,2),方法一样,;,1),量具有可加性,3),结果形式一样,.,定积分的概念与性质,11,被积函数,被积表达式,记为,积分和,怎样的分法,也不论在小区间,上点,怎样的取法,只要当,和,S,总趋于确定的,极限,I,称这个极限,I,为函数,f(x),在区间,a,b,上的,定积分,.,定积分的概念与性质,积分下限,积分上限,积分变量,a,b,积分区间,12,(2),的结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理,.,定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数,定积分的概念与性质,有关,;,注,无关,.,而与积分变量的记号无关,.,13,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,1.,几何意义,定积分的概念与性质,三、定积分的几何意义和物理意义,14,几何意义,定积分的概念与性质,各部分面积的代数和,.,取负号,.,它是介于,x,轴、函数,f(x),的图形及两条,直线,x=a,x=b,之间的,在,x,轴上方的面积取正号,;,在,x,轴下方的面积,15,例,解,2.,物理意义,t=b,所经过的路程,s.,o,x,y,作直线运动的物体从时刻,t=a,到时刻,定积分的概念与性质,定积分,表示以变速,16,定理,1,定理,2,或,记为,黎曼 德国数学家,(18261866),四、关于函数的可积性,可积,.,且只有有限个,可积,.,当函数,的定积分存在时,可积,.,黎曼可积,第一类间断点,充分条件,定积分的概念与性质,17,例,1,下面举例按定义计算定积分,.,求函数,上的定积分,.,定积分的概念与性质,18,定积分的概念与性质,讨论定积分的近似计算问题,.,存在,.,n,等分,用分点,分成,n,个长度相等的小区间,长度,取,有,每个小区间,对任一确定的自然数,19,定积分的概念与性质,取,如取,矩形法,公式,矩形法的,几何意义,20,对定积分的补充规定,说明,定积分的概念与性质,五、定积分的性质,在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,21,证,(,此性质可以推广到有限多个函数作和的情况,),性质,1,定积分的概念与性质,22,证,性质,2,性质,1,和性质,2,称为,定积分的概念与性质,线性性质,.,23,补充,例,(,定积分对于积分区间具有可加性,),则,性质,3,定积分的概念与性质,假设,的相对位置如何,上式总成立,.,不论,24,证,性质,4,性质,5,定积分的概念与性质,如果在区间,则,25,解,令,于是,比较积分值,和,的大小,.,例,2,定积分的概念与性质,26,性质,5,的推论,1,证,定积分的概念与性质,如果在区间,则,于是,性质,5,如果在区间,则,27,思考,比较下列积分的大小,.,(1),(2),(3),(4),(5),定积分的概念与性质,28,证,说明,性质,5,的推论,2,定积分的概念与性质,性质,5,如果在区间,则,可积性是显然的,.,由推论,1,29,证,(,此性质可用于估计积分值的大致范围,),性质,6,分别是函数,最大值及最小值,.,则,定积分的概念与性质,30,定积分的概念与性质,例,3.,试证,:,证,:,设,则在,上,有,即,故,即,31,证,由闭区间上连续函数的介值定理,:,性质,7(,定积分中值定理）,定积分的概念与性质,如果函数,在闭区间,连续,则在积分区间,至少存在一点,使下式成立,:,积分中值公式,至少存在一点,使,即,32,定理用途,注,定积分的概念与性质,性质,7(,定积分中值定理）,如果函数,在闭区间,连续,则在积分区间,至少存在一点,使下式成立,:,1.,无论从几何上,还是从物理上,都容易理解,平均值公式,求连续变量的平均值要用到,.,如何去掉积分号来表示积分值,.,2.,事实上,33,积分中值公式的几何解释,至少存在一点,在区间,使得以区间,为底边,以曲线,为曲边的曲边梯形的,面积,等于同一底边而高为,的一个矩形的面积,.,定积分的概念与性质,34,例,5,若函数,上连续,且,证明,:,定积分的概念与性质,35,例,6.,用定积分表示下列极限,:,解,:,定积分的概念与性质,36,3.,定积分的性质,(,注意估值性质、积分中值定理的应用,),4.,典型问题,(1),估计积分值,;,(2),不计算定积分比较积分大小,.,六、小结,1.,定积分的实质,:,特殊和式的极限,.,2.,定积分的思想和方法,:,以直代曲、以匀代变,.,四步曲,:,分割、,取近似、,求和、,取极限,.,思想,方法,定积分的概念与性质,37,思考与练习,1.,用定积分表示下述极限,:,解,:,或,定积分的概念与性质,38,思考,:,如何用定积分表示下述极限,提示,:,极限为,0!,定积分的概念与性质,39,2.P235,题,3,3.P236,题,13(2),(4),题,13(4),解,:,设,则,即,定积分的概念与性质,40,