大学微积分总复习课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,需熟悉的内容,(,特别是三角函数,),第一部分,初等函数,一、基本初等函数,1.,幂函数,2.,指数函数,3.,对数函数,4.,三角函数,正弦函数,(,注意：,x,用弧度表示,),余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,三角函数常用公式,(,前,5,个必须记下来,),5.,反三角函数,:,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为,基本初等函数,.,第二部分,函数与极限,单侧极限,左极限,:,右极限,:,定理,.,极限存在的充要条件是左极限等于右极限,.,无穷大包括：正无穷大，负无穷大,无穷大量与无穷小量的关系,两个重要极限,定义,:,例如,常用等价无穷小,:,注,上述,10,个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握,函数连续点的等价定义,第一类间断点,o,y,x,可去型,o,y,x,跳跃型,第二类间断点,o,y,x,无穷型,o,y,x,振荡型,闭区间上连续函数的性质,定理,1(,最值和有界性定理,),在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,.,故该函数在闭区间内一定是有界函数,.,推论：在闭区间上连续的函数必取得,介于最大值,M,与最小值,m,之间的任何值,.,三个定理的应用：,注,方程,f,(,x,)=0,的根,函数,f,(,x,),的零点,有关闭区间上连续函数命题的,证明方法,1,0,直接法：先利用最值定理,再利用,介值定理,;,2,0,间接法（辅助函数法）：先作辅助,函数,再利用零点定理,.,辅助函数的作法,（,1,）将结论中的,(,或,x,0,或,c,),改写成,x;,（,2,）移项使右边为,0,，令左边的式子为,F,(,x,),则,F,(,x,),即为所求,.,区间一般在题设中或要证明的结论,中已经给出，余下只须验证,F,(,x,),在所讨,论的区间上连续，再比较一下两个端点,处的函数值的符号，或指出要证的值介,于,F,(,x,),在所论闭区间上的最大值与最小,值之间,.,总结：求极限的方法,1.,求连续函数的极限：直接代入法,;,2.,求,x,趋于点,a,时分式的极限，先判断分母的极限：,(1),分母极限不为,0,，直接代入点,a,得分式极限；,(2),分母极限为,0,分子极限不为,0,原极限为无穷大；,(3),分子和分母的极限都为,0,采用洛比塔法则求原极限,.,3.,求两个根式相减的极限时，先有理化,.,有时可转化为两个重要极限来求,.,4.,若一个函数在某点的极限为振荡极限，但该函数为有界函数，则该函数与一个无穷小的乘积是无穷小,.,第二部分,一元函数微分学,其它形式,一、导数的定义,注意,:,2.,导函数,(,瞬时变化率,),是函数平均变化率的逼近函数,.,单侧导数,1.,左导数,:,2.,右导数,:,例,解,导数的几何意义,法线方程为,切线方程为,法线方程为,切线方程为,法线方程为,注,链式法则,“,由外向里，,逐层求导”,.,2.,注意中间变量,.,推广,求导的方法,二、隐函数及其导数,隐函数,因变量与自变量的对应法则用一个,方程表示的函数,.,即,方法：对隐函数直接求导,.,注意此时,y=y(x),只要方程中某项含有,y,则求导后这一项一定含有,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数,.,目的是利用对数的性质简化求导运算,.,-,对数求导法,微分的定义,会求函数的微分,微分与可导的关系，,一阶微分形式不变性。.,拉格朗日,(Lagrange),中值定理,洛比塔法则,适用范围：,即：函数之比的极限等于导数之比的极限,.,注意：洛必达法则与其它求极限方法结合使用效果更好，比如能化简先化简，利用等价无穷小替换等,.,单调性的判别法,导数为正，则函数单调增；,导数为负，函数单调减,.,利用单调性证明不等式,将要证的不等式作恒等变形（通常是,移项,),使一端为,0,另一端即为所作的辅助,函数,f,(,x,),求,验证,f,(,x,),在指定区间上的单调性,与区间端点处的函数值或极限值作,比较即得证,.,注：有时无法判别 的符号，则可先,讨论 的符号，再转到上述第二步,.,曲线凹凸性的判定,函数的二阶导数大于,0,曲线为凹函数；若小于,0,则为凸函数,.,确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤,:,求极值的步骤,:,求最值的步骤,:,（,3),如果已知最值存在，比较在端点、驻点,和导数不存在的点的函数值。另外，还可以根据在,整个定义域,上函数的一（二）阶导数的符号来判断,.,导数及最值在经济学中的应用,1.成本函数,收入函数,利润函数,2.边际分析,3.弹性,4 求最大利润，最小平均成本等最值问题,要求:,会求各种函数,并理解相应的经济意 义；会求经济学中的最值问题。,一元函数积分学,第三部分,一、原函数与不定积分的概念,定义：,任意常数,积分号,被积函数,不定积分的定义：,被积表达式,积分变量,为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可,.,由不定积分的定义，可知,结论,：,微分运算与求不定积分的运算是,互逆,的,.,基本积分表,是常数,);,说明,：,以上,13,个公式是求不定积分的基础，称为基本积分表，必须熟练掌握,.,一、两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表,二、分部积分法,:,合理选择,u,v,，正确使用,分部积分公式,求不定积分的方法,第一类换元公式（,凑微分法,）,使用此公式的关键在于将,说明,化为,例,求,解,方法,1,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分,.,例,求,解,例,解,注意：,分母拆项,是常用的技巧！,说明,(2),三角代换法,三角代换的目的是化掉根式,.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,注意：所作代换的单调性,.,对三角代换,而言，掌握着取单调区间即可,.,说明,(3),当分母的阶较高时,可采用倒代换,例,求,解,令,注意：要用分部积分法,(1),被积函数可以写成一个函数乘以另一个 函数的导数的形式。,三、分部积分法,最后预祝大家：,考出好成绩！顺利过关！,另，有个别同学平时作业较少或未交的,将扣平时分.,