数值分析课件ppt.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,数 值 分 析,李庆扬 王能超 易大义 编,清华大学出版社 施普林格出版社,（第,4,版）,了猫滇荡援瓶疥瘪侯伦昭绚苇帕徽凸扇舰叉鼎癌朵工粟呈选势镑仁饥峨章数值分析课件数值分析课件,2,第,1,章 绪 论,1.1,数值分析研究对象与特点,睦苏畜泪伪菲苛糠音嘴青甩囤柜寒廖诡拖摸髓扼旅苑剂彻舵范疹受砍稍邻数值分析课件数值分析课件,3,数值分析也称为,计算方法,，是计算数学的一个主要部分,.,数值分析的定义：,数值分析的主要内容：,数值分析的内容包括函数的,数值逼近、数值微分与数,值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微,数值解,等,.,计算数学是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现,.,1.1,数值分析研究对象与特点,兰眺立涎是起粳墟馒癸啼嵌廊扣廉缘鹅鉴借定士礁寻菩勺贫弄舍送模砂逞数值分析课件数值分析课件,4,数值分析既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特,数值分析不是各种数值方法的简单罗列和堆积，是一,门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的课程,.,虽然数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像,纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧,密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论,.,点，,又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特,点，,是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程,.,焰腐澎焙鸥堕小援吴淡娄搭著署揭巨蕊橙光扒走承矿艰波谴吻祥绕肛党寓数值分析课件数值分析课件,5,三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时,间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研,究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现,.,数值分析的特点：,一、面向计算机，能根据计算机的特点提供切实可行的,有效算法,.,二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，,对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行,分析,.,酉洱瘴缨隋堕众璃弱瞎寨映苯叙萌宏熄甚塘炎费膜孩小汁追肋插塞折衰呛数值分析课件数值分析课件,6,四、要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要,满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的,.,栗堂命挞乡酶唾晨蓄弓首憋双轰多柒栽肖竿配耗享鼠踪蛾傅私匡芋誓獭血数值分析课件数值分析课件,7,1.2,数值计算的误差,1.2.1,误差来源与分类,用计算机解决科学计算问题的过程如下：,首先要建立,数学模型,，,它是对被,描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，因而是近似的,.,数学模型与实际问题之间出现的误差称为,模型误差,.,实际问题,数学模型,旅罪仔胶渤踩神眨渺勇立粳磅昏来原崭求兵叭香返寝宠磅大抖咽膀舀鹤荫数值分析课件数值分析课件,8,以上两种误差不在,“,数值分析,”,的讨论范围,.,实际问题,数学模型,在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度、电压等等，这些量显然也包含误差,.,这种由观测产生的误差称为,观测误差,.,数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差,.,当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求,它的近似解,.,提对若误付算附跌剪牺奏肌喻佯俏篡榴煞宠统幕披诺嚷猛予仙娶刊梳馋讳数值分析课件数值分析课件,9,近似解与精确解之间的误差称为,截断误差,或,方法误差,.,实际问题,数学模型,上机计算求出结果,数值计算方法,圾门骇爸咸棋询怕杏涡常帚拉盈铲洞牙赞躲鸣栽淬湿锐叫轰崖魏珠汁佛娘数值分析课件数值分析课件,10,例如，用泰勒,(Taylor),多项式,近似代替函数 ，,则数值方法的截断误差是,有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受计算机字长的限制，原始数据在计算机上表示会产生误差,.,擞抄赵孰舰射诺欺阑泌描贬展梆凯葛栗炒酬酱陶沏娥瓶栖偏硬峪们粪彭赖数值分析课件数值分析课件,11,产生的误差,用 近似代替 ，,就是舍入误差,.,此外由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数,产生的初始误差对数值计算也将造成影响,.,计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为,舍入误差,.,例如，,分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差,.,研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计问题,.,宦有贵帆表怯怨笨泞性怂疚妻似土桅焙澜斧忍集剩味解洼缺胞碉啄兆逢俱数值分析课件数值分析课件,12,这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断,误差将结合具体算法讨论,.,冯匠悉蠢恍医洗俄蹿排铝百洱犊席肮裴审澎噎鼠詹联边舔邯滤娠湘彪屿努数值分析课件数值分析课件,13,若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，,即,1.2.2,误差与有效数字,设 为准确值，,为 的一个近似值，,误差 可正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫,强近似值,；,通常准确值 是未知的，,因此误差 也未知,.,为近似值的,绝对误差,，,定义,1,称,简称,误差,.,当绝对误差为负时近似值偏小，叫,弱近似值,.,灿霓焰慈柯敢狭汤箭拴妥抱醋柬钉挥消侄外引懦相哇草粟怀春滞蒙殴粱郝数值分析课件数值分析课件,14,则 叫做近似值的,误差限,，,它总是正数,.,例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，读出和该长度接近的刻度 ，,是 的近似值，,它的误差限是 ，,于是,如读出的长度为 ，,则有,.,虽然从这个不等式不能知道准确的 是多少，但可知,须驾疵袍只曾咐奴蒜烘签盏鞍锑禽属盗勇坯反橱囤机童莹嘴培摄舀甥鼠苯数值分析课件数值分析课件,15,结果说明 在区间 内,.,对于一般情形 ，,即,也可以表示为,但要注意的是，误差限的大小并不能完全表示近似值的,好坏,.,处毫术言嫡勉妨锣晃粳敲癣管吟揣地组椅只速攘榷睁绚它恐瓢垫垢储摈璃数值分析课件数值分析课件,16,例如，有两个量 ，,则,虽然 比 大,4,倍，,但,比,要小得多，这说明 近似 的程度比 近似 的程度好,.,所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值 本身的大小,.,翅晚肯勤滇朴忻叫胚嫡唯裂滋徒敦乒杖铅佣翰斑睬躺虱常丸碘渠苟恤谓劣数值分析课件数值分析课件,17,实际计算中，,由于真值 总是未知的，,把近似值的误差 与准确值 的比值,称为近似值 的,相对误差,，,记作,.,作为 的相对误差，,条件是 较小，,通常取,此时利用,知,内惟腔壕稳妥李鼎障萨吁楔彪踌围柜巾薯晋成曲饯苔聋讫遗焚冠嗅标吠柒数值分析课件数值分析课件,18,相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做,相对误差限,，,是 的平方项级，,记作 ，,故可忽略不计,.,即,导悄魏冉历农埃险匈腑译锤奄修滥楞敢簧鸭绢郎静迪状凉舶尘世妨票蔓英数值分析课件数值分析课件,19,上例中 与 的相对误差限分别为,可见 近似 的程度比 近似 的程度好,.,根据定义，,取向涟崎忙兽湛乍琳涎暑酵滩乃环糯玉坠恶蹄拇轿褒弦墩弄承呻示陡尸霉数值分析课件数值分析课件,20,当准确值 位数比较多时，常常按四舍五入的原则得,到 的前几位近似值 ，,取,3,位,取,5,位,它们的误差都不超过末位数字的半个单位，,例如,即,棚游吐桃鼓淌柳蠢蓉府脊弱淫合捅臼爬示认猫旁凿嵌愿沟企午袒更伸吹惜数值分析课件数值分析课件,21,若近似值 的误差限是某一位的半个单位，,该位到 的第一位非零数字共有 位，就说 有 位,有效数字,.,表示为,（,2.1,）,其中 是,0,到,9,中的一个数字，为整数，,（,2.2,）,定义,2,且,盎冤魂太喘乳锦价薄貉任穗赡齿亦挚勿丝巾炙乃污爹站省为趾掠谦迈帅谷数值分析课件数值分析课件,22,如取 作为 的近似值，,取 ，,按这个定义，,就有,3,位有效数字，,就有,5,位有效数字,.,扼官读妄辣靳畦君经龟格舒铅拜越宫枯绎杨卸候注杭播鸡昆归镁赶癌僵倡数值分析课件数值分析课件,23,按四舍五入原则写出下列各数具有,5,位有效数字的,按定义，,187.93,0.037856,8.0000,2.7183.,的,5,位有效数字近似数是,8.0000,，而不是,8,，,例,1,近似数：,187.9325,0.03785551,8.000033,2.7182818.,上述各数具有,5,位有效数字的近似数分别是,因为,8,只有,1,位有效数字,.,注意：,氖唯睫灾穴八买洛傈讳趟蹬赋锐烫蹦泰种糕废墅骸贸诫疑厌虚脓济迎饱夷数值分析课件数值分析课件,24,如果以,m/s,2,为单位，,重力常数,g,，,若以,km/s,2,为单位，它们都具有,3,位有效数字，,按,(2.1),的表示方法，,这里,它们虽然写法不同，但都具有,3,位有效数字,.,例,2,因为按第一种写法,按第二种写法,（,2.1,）,痘跋庚欢膘氨抬舍陵醉泽疚慨偷涧问噶买帐翅逃舶夯蜒玛迈衬幕找揣骇欲数值分析课件数值分析课件,25,至于绝对误差限，由于单位不同所以结果也不同,但相对误差都是,注意相对误差与相对误差限是无量纲的，而绝对误差,与误差限是有量纲的,.,例,2,说明有效位数与小数点后有多少位数无关,.,敝置汝汀思赌胁斧即握闰绢驯涨饯淋湿碘继脏彼胳弓骆箭违伎颈府派蚜兽数值分析课件数值分析课件,26,从,(2.2),可得到具有 位有效数字的近似数 ，其绝对,误差限为,在 相同的情况下，越大则 越小，故有效位数越,多，绝对误差限越小,.,（,2.2,）,已弯惨叙花暖烧倾坛沉慌祭旺冒瘴厌现珍犁穗孵头铣呸祈梯箍咎放砖陛皂数值分析课件数值分析课件,27,若 的相对误差限 ，,设近似数 表示为,其中 是,0,到,9,中的一个数字，,反之，,则 至少具有 位有效数字,.,若 具有 位有效数字，,定理,1,为整数,.,则其相对误差限为,盏碰佑对健帕逸录胞捡映臆对瓤秀盈象长童惦域谭巩磷板撑隙稿谨吐燥哇数值分析课件数值分析课件,28,由,(2.1),可得,当 有 位有效数字时,反之，由,证明,癸鲸润见慕赌嫂旁溜痊尾撂吠摹巫斡左做兴编蔫爹二歇疑什标拨况迎窘辐数值分析课件数值分析课件,29,知 至少有 位有效数字,.,定理说明，有效位数越多，相对误差限越小,.,欺夸匙忘轩取残汲嗜读灾牡银砌契即瞥恳泉昂题咯顶磅柔鸣叼褒窗寻绊栗数值分析课件数值分析课件,30,由于,知 ，,故只要取 ，,即只要对 的近似值取,4,位有效数字，其相对误差限就,小于,0.1%.,此时由开方表得,.,设取 位有效数字，,例,3,要使 的近似值的相对误差限小于,0.1%,，需取,几位有效数字,?,由定理,1,就有,惹琉搓窃荔纱飞差脏简滥插非朗厚呼晃络券项带殴疙嗅储沽脑酶姐抒井辉数值分析课件数值分析课件,31,1.2.3,数值运算的误差估计,两个近似数 与 ，其误差限分别为 及 ，,它们进行加、减、乘、除运算得到的误差限分别为,如这纸搁酉挝鸯拿孺椒撒垮状旷猫蔓升墒荧天型垄稀涝方窜啸浙境绥跃混数值分析课件数值分析课件,32,设 是一元函数，的近似值为 ，以 近,似 ，其误差界记作 ，,一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差，,取绝对值得,其误差限可利用函数的泰勒展开式进行估计,.,利用泰勒展开,茨掐派硼幸症萝竣搐姬认恐事祟离咬氮打撬必犯聘捍轰佩呼培佰坐讲湾立数值分析课件数值分析课件,33,当 为多元函数，如计算 时,的近似值为 ，,则 的近似值为,于是由泰勒展开，,函数值 的误差 为,假定 与 的比值不太大，可忽略,的高阶项，,于是可得计算函数的误差限,如果,膘佯定梦耙廉旅政叙瘫钻蒂缠赤傈韵忿坐墩揩汹燃入湖衡咋仟写史蟹绊菠数值分析课件数值分析课件,34,于是误差限,（,2.3,）,萨朱奎逊纶久格赘狮冷别冤验鉴委础胖枢烟然毅驱退诅河器苛伴斌舟甚镁数值分析课件数值分析课件,35,而 的相对误差限为,（,2.4,）,穆演方链庐铱忽侥弦说遣瘸启生谬牲富媚嚷腮绰赂冕默抛勋腹途蛙臣饰涛数值分析课件数值分析课件,36,已测得某场地长 的值为 ，,宽 的值,为 ，,已知,.,试求面积 的绝对误差限与相对误差限,.,因,知,例,4,解,由,属幽囊赁般用窄皇待会琵潘诚亿达宜姓悄剪贰毁翼陷笋缩宠羚锣臼唬薯疟数值分析课件数值分析课件,37,其中,而,于是绝对误差限,相对误差限,捏袋咙稳藻捶吐蓑疽瘤堆望瓢升壕慧甥污窃苏腥肺迪桥盏原察烬淡拦介囤数值分析课件数值分析课件,38,1.3,误差定性分析与避免误差危害,一个工程或科学计算问题往往要运算千万次，由于每,步运算都有误差，如果每步都做误差分析是不可能的，也,不科学,.,因为误差积累有正有负，绝对值有大有小，都按最坏,情况估计误差限得到的结果比实际误差大得多，这种保守,的误差估计不反映实际误差积累,.,孪乳颧活羊虫焦薛欠宝刊祁砷盟瓷甫贺陛禹向摘徊藤鼠悸诗桐附贞碉穷饲数值分析课件数值分析课件,39,考虑到误差分布的随机性，有人用概率统计方法，将,数据和运算中的舍入误差视为适合某种分布的随机变量，,20,世纪,60,年代以后对舍入误差分析提出了一些新方法，,然后确定计算结果的误差分布，这样得到的误差估计更接近实际，,这种方法称为,概率分析法,.,较重要的有,向后误差分析法,和,区间分析法,两种,.,疑泼坯档霞岿翠适息源酮抱橱斌潜轿测致忱奸悟汁疽栖勿馆恿凌牢慧痈融数值分析课件数值分析课件,40,1.,向后误差分析法是把新算出的量由某个公式表达，,若 的摄动为 ，,它仅含基本算术运算，如假定 是前面已算出的量,或原始数据，新算出量,使得由浮点运算得出结果为,则可根据 的界，,的界，威克逊,(Wilkinson),将这种方法应用于数值代数,(,矩阵运算,),的误差分析，取得较好效果,.,由摄动理论估计最后舍入误差,剩骆覆惰卤椿夷搐蹿佃为奖炬太所滑吏裴调尸扶收著琳湿厅束稍碳疚莽承数值分析课件数值分析课件,41,2.,区间分析法是把参加运算的数 都看成区,间量 ，根据区间运算规则求得最后结果的近似,值及误差限,.,例如，的近似数为 ，,则,由于,誉狱讶猿郑丘灵飞划霖附镣过钻疟涩旬庶餐坦芬稗眷带厨防上蛔迫万哩赎数值分析课件数值分析课件,42,若计算,(*,为运算符号,),，,而 则为误差限,.,则 为所求近似值，,由,睁尤谓咎水馏掉淘九寸浙倾捍仲扁右姑匪僧彝描骤栽裳湘合刁矢讲墩剧俐数值分析课件数值分析课件,43,1.3.1,病态问题与条件数,对一个数值问题本身,如果输入数据有微小扰动（即误,差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是,病,态问题,.,例如计算函数值 时，,若 有扰动 ，其,相对误差为 ，,函数值 的相对误差为,克敖炊款帘库浑瓷应挖准美舀儡婉熏叶乎想畜坡运簇昏冀茁饯惜轴拢戌匙数值分析课件数值分析课件,44,（,3.1,）,称为计算函数值问题的,条件数,.,相对误差比值,自变量相对误差一般不会太大，如果条件数 很大，,将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是,病态问题,.,忽设谈缘妮翰晤箱剖薪僚棵贴此准存晋摸则幸啸窒韧眯可昨斋乞殴茶堤沟数值分析课件数值分析课件,45,例如，,它表示相对误差可能放大 倍,.,如 ，,有 ，,自变量相对误差为 ，,函数值相对误差为 ，,一般情况下,条件数 就认为是病态，越大,病态越严重,.,则有,若取,这时问题可以认为是病态的,.,竞笑拇狮柜曹昆构线缴宜巷脸摘诫察嚎筹味躬肾滴庄树虏巩肋条谬煽涸褪数值分析课件数值分析课件,46,其他计算问题也要分析是否病态,.,例如解线性方程组，如果输入数据有微小误差引起解,的巨大误差，就认为是病态方程组，第,5,章将用矩阵的条件,数来分析这种现象,.,难央检锈杉门吏味鳞舱即蟹寇罗啸柯需转赦坟苫卉砂螺念夹苦涌藤棱蒋幼数值分析课件数值分析课件,47,1.3.2,算法的数值稳定性,用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播,使计算结果的误差增长很快，这个算法就是,数值不稳定,的,.,计算 并估计误差,.,由分部积分可得计算 的递推公式,若计算出 ，,代入（,3.2,），可逐次求出 的值,.,（,3.2,）,例,5,细鲸掌谜炼销技夜泞莎气控瘸疥撒血垛隋县芝诉滩隅浅得细宰荫谊络层盅数值分析课件数值分析课件,48,而要算出 就要先计算,.,并取 ，,则得 ，,计算过程中小数点后第,5,位的数字按四舍五入原则舍入,.,若用泰勒多项式展开部分和,用,4,位小数计算，,截断误差,蝇沁赞晴镣栅员榷奉怠汪汁肄坤晃和楞拖请婉拐谗悟酪装难绑选妒懈赫满数值分析课件数值分析课件,49,当初值取为 时，用（,3.2,）递推,计算结果见表,1-1,的 列,.,用 近似 产生的误差 就是初值误差，,它对后面计算结果是有影响的,.,（,3.2,）,计算公式为,泪馅拳蛮辟迈赋舔犬史醋坟扬尧刀坐坛铣贮渠羽附袋舌藏调蹭款貌祥凰蓄数值分析课件数值分析课件,50,从表中看到 出现负值，,这与一切 相矛盾,.,因此，当 较大时，用 近似 显然是不正确的,.,（,3.3,）,实际上，由积分估值得,韧发佬虞呸胶旷埋凡赵肠札喧剃凤淌迸宿宪赫宋壳凯仑跳签墓驼糯柑汐裸数值分析课件数值分析课件,51,计算公式与每步计算都是正确的，计算结果错误的原因,主要就是初值 有误差 ，由此引起以后各步,计算的误差 满足关系,容易推得,这说明 有误差 ，则 就是 的 倍误差,.,顾纱莲膳臣伪肖傀后鲍宙乱义疆滋青倡私钩臭怒零催番察茁牧滋转姐蜗抠数值分析课件数值分析课件,52,（,3.3,）,例如，,若 ，,这就说明 完全不能近似 了,.,若换一种计算方案,.,由（,3.3,）取 ，,取,则,它表明计算公式（,A,）是数值不稳定的,.,则,睁哈疙舱张奄恃揉默哺痕贞虱醋离巫班猛蕴况遥冬垃婴怯粥驳陆炙建滔诞数值分析课件数值分析课件,53,将公式,(3.2),倒过来算，,即由 算出 ，公式为,计算结果见表,1-1,的 列,.,（,3.2,）,裙渠碑违童慷马居恭罪血彭副盟唇纺樱寞鹏疤析挣讯询畴衍墓佳烷像删陨数值分析课件数值分析课件,54,反之，当用方案（,A,）计算时，尽管初值 相当准确，,此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的,.,记 ，,则 ，,比 缩小了,倍，因此，尽管 较大，但由于误差逐步缩小，故可用,近似,.,由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠,.,可以看出 与 的误差不超过,.,帧绞汲琢惭戴盾筑搅究轮役听灵串兴孜诊悠阳贤啤赌惊须募重峙靛涂味壶数值分析课件数值分析课件,55,一个算法如果输入数据有误差，而在计算过,程中舍入误差不增长，则称此算法是,数值稳定,的，否则称,此算法为,不稳定,的,.,在例,5,中算法（,B,）是数值稳定的，而算法（,A,）是不,稳定的,.,定义,3,霜炽建桅习骑奸来诺巢枚剁荡辑颐触惋阿窍淆兵橇萎洞爽氛来赐绽骗诬干数值分析课件数值分析课件,56,1.3.3,避免误差危害的若干原则,数值计算中首先要分清问题是否病态和算法是否数,值稳定，计算时还应尽量避免误差危害，防止有效数字,的损失，有下面若干原则,.,1.,要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法,用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算,若 ，则可能对计算结果带来严重影响，应,尽量避免,.,宿辙水殆耐毗榜吕壤志梢闷耪水恃粗杠夹零肋首衔阐考号淌葫话队喘曼湖数值分析课件数值分析课件,57,线性方程组,的准确解为,在四位浮点十进制数（仿机器实际计算）下用消去法求解，,例,6,上述方程写成,毖次纹丧联嫡身铸鲍铃吩梢陀撤暂盖彤几贬良铆唇灿勋咀齿吠瓜易味计惦数值分析课件数值分析课件,58,由此解出,显然严重失真,.,若用 除第一方程减第二方程，则出现,小数除大数，,这时方程组为,禁厦披遇越搔汀阶镀踊嗅己疆决然搞检但罚徒撵柠挤廉敢枝楚愤恃扒赛驾数值分析课件数值分析课件,59,若反过来用第二个方程消去第一个方程中含 的项，,由此求得相当好的近似解,则避免了大数被小数除，得到,躇网业慨手巍读知檀台集染韧拎袄逃尿颐眯糊淀垦覆木气似旱靳忌计武悼数值分析课件数值分析课件,60,2.,要避免两相近数相减,在数值计算中两相近数相减有效数字会严重损失,.,例如，都具有五位有效数字，,但 只有两位有效数字,.,这说明必须尽量避免出现这类运算,.,最好是改变计算方法，防止这种现象产生,.,曳眉觅却珍招为成汁川山夯坯宝敷溉狮牲舜漾嘉抡豁返襟凛千酥状驼朴唉数值分析课件数值分析课件,61,求 的小正根,.,解,只有一位有效数字,.,则具有,3,位有效数字,.,若改用,例,7,由求根公式,渔研匿樟十恭晾虏厅永抛腹造刻盏知拙量炭禽社抓贡灿凑牧碾菇胖倾轿朗数值分析课件数值分析课件,62,例,8,计算 （用四位数学用表）,.,由于 ，,只有一位有效数字,.,具有三位有效数字,（这里 ）,.,则,若利用,直接计算,靡厌卢丸话委雁揍皖徒林胸咖资禄狸虑茶淄未颠旧家秃福彦袖萨烁黄祷饥数值分析课件数值分析课件,63,此例说明，可通过改变计算公式避免或减少有效数字,的损失,.,类似地，如果 和 很接近时，由,用右边算式有效数字就不损失,.,也应该用右端算式代替左端,.,当 很大时，,翻博原门径遂钳辨宛侥疼谴抄挟汪集接萤袋升抄缀呈嗣篷窒担驼岂瓣娇释数值分析课件数值分析课件,64,一般情况，当 时，可用泰勒展开,取右端的有限项近似左端,.,如果无法改变算式，则采用增加有效位数进行运算；,在计算机上则采用双倍字长运算，但这要增加机器计算时间和多占内存单元,.,嘻松煞投惭蛾概候戒股锣宙檄插该绸纠事薪升嘿始骑叹秩财斌屁做裳发般数值分析课件数值分析课件,65,3.,要防止大数,“,吃掉,”,小数,在数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大，,例,9,其中,.,而计算机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数,“,吃掉,”,小数的现象，影响计算结果的可靠性,.,在五位十进制计算机上，计算,辆馏眺保彻恶班氟犁戊会型县掘诗瞎曲曳里钎兢奸蹄簿吾成捍犁您喘票军数值分析课件数值分析课件,66,把运算的数写成规格化形式,由于在计算机内计算时要对阶，,若取 ，,结果显然不可靠，这是由于运算中出现了大数,52492,“,吃,掉,”,小数 造成的,.,对阶时 ，在五位的计算机中表示为,机器,0,，,因此,迈害喧咆躲凉兢围膜滁懊澳片退吞貌死柬痢捻敌辉袭刻袱纫撑知郁拟釜意数值分析课件数值分析课件,67,于是,如果计算时先把数量级相同的一千个 相加，最后,再加,52492,，就不会出现大数,“,吃,”,小数现象，,这时,阜扦跳刃呕蜒程乔秃光邀醇康哉捻扦首加评秃阔阻剖笆华助爷压导市唉颁数值分析课件数值分析课件,68,4.,注意简化计算步骤，减少运算次数,同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但可节省计算机的计算时间，还能减少舍入误差,.,这是数值计算必须遵从的原则，也是,“,数值分析,”,要研究的重要内容,.,栽娄圾设嘎恢杉摧辽闰皂熬峡欧逐疏眯菊踪迟勾弘捅怨温觉屉偏女蝴颗夏数值分析课件数值分析课件,69,例,10,的值，,若直接计算 再逐项相加，一共需做,次乘法和 次加法,.,若采用秦九韶算法,（,3.4,）,计算多项式,穗倚郸哑劈绘谆网竿浩逸废挺篮硕沽春磋切挤涸馏耀伙棋加腺窑让唯芍图数值分析课件数值分析课件,70,只要 次乘法和 次加法就可算出 的值,.,在,“,数值分析,”,中，这种节省计算次数的算法还有不少,.,往摄俘姐叮稻附熔现贴浙判括档投轻协而弥手抠鹃略芯童户谊劲凯华循柱数值分析课件数值分析课件,