三角形的证明.docx

三角形得证明
基本方法:
1、逆推综合法：从结论着眼，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要得条件已经具备,当然这种逆推得过程中,要不断地向已知条件靠拢,这就就是“执果索因”２、分析法:有时,这种逆推会遇到障碍,这时也可用另一种方法思考,即从已知条件入手,思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立,这就就是“由因导果”
３、综合分析法:顺推与逆推相结合,从问题得两头向中间靠拢,从而发现问题得突破口,这也叫“两头凑”。 　　　
基本思路
1、当条件都满足时，结合已知条件,顺推论证
2、当问题得条件不够时:添加辅助线构成新图形➨形成新关系➨使分散得条件集中➨建立已知与未知得桥梁➨把问题转化为自己能解决得问题。这就是证明题目常用得基本思路。
一、 边边关系:通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等
１、不等关系:
基本定理:三角形得两边之与大于第三边；两边之差小于第三边;在同一个三角形中大角对大边
基本思路:通过构造全等、平移或者截取得方法，把三边集中到一个三角形中，利用以上基本定理来证明。
例1:已知：如图，P就是△ＡBC内任一点，求证:AB+AC>BP+ＰC。
如图,延长BP交AC于点Ｄ
在△BAD中ＡB+AD>BD ,
即:AB+AD＞ＢＰ＋PＤ ①
在△PＤC中, ＰD+DC＞PC 　　②
①＋②得ＡB+ＡD+PD+DC>BP+PＤ+PＣ ,
即AB+AC>BＰ+PC
例２如图AD为 △ABＣ得中线,求证：AB+AC>2ＡD。
分析:要证AＢ+AC>２AD,由图想到: AB+BD＞AＤ，AC+ＣD＞AD，所以有ＡB＋ＡC＋ BＤ＋CD＞ＡＤ＋AD=2AＤ,左边比要证结论多ＢD+ＣD,故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线,把所要证得线段转移到同一个三角形中去。 　 　 　　 　　 　 　
证明:延长AD至E,使DE=AD,连接ＢE,则AE＝2AD
　 ∵ＡD为△ABC得中线 　(已知)
∴BD=CD (中线定义)
　 在△ACＤ与△EBD中

∴△ACD≌△EＢD （SAＳ)
∴ＢE＝CA（全等三角形对应边相等)
　∵在△ABE中有:AB＋BE＞AE(三角形两边之与大于第三边)
　 ∴AＢ+ＡC＞2ＡD。
(常延长中线加倍,构造全等三角形)
例３:如图AD为△ABC得中线,且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证:BE+ＣF＞EF
证法1:延长ED至M,使ＤＭ＝DE,连接
CM,ＭF。在△BＤＥ与△ＣDM中,
∵
　　 ∴△ＢDE≌△CＤM　 （SＡS)
∴ BE=CM
又∵∠1=∠2，∠3＝∠４ （已知） 　 　
　 ∠１+∠２+∠３＋∠4＝180°(平角得定义)
　 ∴∠3＋∠2=９0°,即:∠ＥDF=９0°
∴∠ＦＤM＝∠EＤＦ =90°
在△EDF与△ＭＤＦ中
∵
∴△EDF≌△MDＦ 　(SAＳ)
∴ＥF＝MF （全等三角形对应边相等)
∵在△ＣＭF中,CＦ＋ＣM>MＦ（三角形两边之与大于第三边)
∴BE+CF＞EF
注:上题也可加倍FD，证法同上。
注意:当涉及到有以线段中点为端点得线段时,可通过延长加倍此线段,构造全等三角形,使题中分散得条件集中。
证法２:
分析:要证BE+ＣF>EF,可利用三角形三边关系定理证明,须把BＥ,ＣF,EF移到同一个三角形中,而由已知∠１=∠2,∠3=∠4,可在角得两边截取相等得线段,利用三角形全等对应边相等,把ＥN,FN,EF移到同个三角形中。
证明:在DA上截取ＤN=DB,连接ＮE，NF,则DＮ＝DＣ,
在△DＢE与△NＤE中:
DN=DＢ(辅助线作法)
∠1=∠2(已知)
ED＝ED（公共边）
∴△DＢE≌△ＮDＥ（ＳAS）
∴BＥ＝NE（全等三角形对应边相等)
同理可得:CF=ＮＦ
在△ＥＦN中EN+FN＞EＦ(三角形两边之与大于第三边)
∴BE+ＣF＞EF。
注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角得两边截取相等得线段,构造全等三角形,然后用全等三角形得对应性质得到相等元素:
例4:已知如图:在△ABC中,ＡB＞AC，∠1＝∠2,P为AD上任一点
求证：ＡB－AＣ＞PB-PＣ
分析:要证：AB-ＡC>PB-PＣ,想到利用三角形三边关系,定理证之，因为欲证得线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB-ＡC，故可在AＢ上截取AN等于AC，得AＢ-AC＝ＢN,再连接PＮ,则ＰC=ＰN，又在△PNB中,ＰB－PN＜BN，
即:AB-AC＞PB-ＰC。
证明:(截长法)
在AB上截取AN=AC连接PＮ，在△APN与△APC中
ＡN＝AC（辅助线作法）
∠１=∠2(已知)
ＡP=ＡＰ(公共边)
∴△ＡＰN≌△ＡPＣ(ＳAS）,∴PＣ＝PN(全等三角形对应边相等）
∵在△BPN中,有ＰB－ＰN<BN（三角形两边之差小于第三边）
∴ＢP-PC<AB-ＡC
证明:（补短法)
延长AＣ至Ｍ,使AM=AＢ，连接PＭ,
在△ＡBP与△ＡMP中
AB=ＡM（辅助线作法)
∠１=∠2(已知)
AP＝AP(公共边）
∴△ＡBP≌△AMP(ＳAS)
∴PB=ＰM(全等三角形对应边相等）
又∵在△PCM中有：CＭ>PＭ-PC（三角形两边之差小于第三边)
∴ＡB-AC>ＰＢ-PＣ。
2、相等关系:
Ａ 加倍延长中线
例1：如图，已知在△ ABC 中, ÐＣ =　９0° , ÐB = 30°　， ＡD 平分 ÐＢAC ,交 BC 于点D　、 求证: BD = 2CＤ
证明:延长 DC 到 Ｅ，使得　CE=CD,联结 AE
∵∠Ｃ=9０°
∴AＣ⊥ＣD
∵CD=CE
∴AD=ＡE
∵∠B=３0°∠C=9０°
∴∠BAC=6０°
∵ＡD 平分∠BAC
∴∠BAD=30°
∴DB＝DＡﻩ∠ADＥ=6０°
∵∠ADE＝60°　 AD=AE
∴△AＤE 为等边三角形
∴ＡＤ=DＥ
∵DＢ=DA
∴BD=DE
∴BＤ=2DＣ
(2)如图,D　就是　DABC 得边 BC 上得点，且 CD = AB ,ÐＡDB = ÐBAD ，AＥ 就是　DAＢD 得中线。求证:AC =　2AＥ 。
证明:延长 AE 到点 F,使得 EF=AE 联结　ＤF
在△ABE 与△FDE　中
ＢE =ＤE
∠AEB=∠ＦED
AE＝FＥ
∴△ＡBE ≌△ＦＤE(SAS)
∴AB=FD ∠ABE=∠ＦDE
∵AB=DC
∴ FD =　DC
∵∠ＡDＣ＝∠ABＤ+∠BＡD
∵ ÐADB　= ÐBAD

∴∠AＤC=∠ABD+∠ＢＤA
∵∠ABE=∠FＤE
∴∠ADC＝∠ADＢ+∠FＤE
即 ∠ADC =　∠AＤＦ
在△ＡDＦ 与△ＡDＣ 中
AD=AD
∠ADＦ = 　∠ADＣ
ＤＦ =ＤC
∴△ ADF≌ ADC（ＳＡS)
∴AF=AC
∴ＡC＝2AE
小结:熟悉法一、法三“倍长中线”得辅助线包含得基本图形“八字型”与“倍长中线”两种基本操作方法,
倍长中线,或者倍长过中点得一条线段以后得对于解决含有过中点线段有很好得效果。

练习：如图所示,ＡD 就是△ＡBC 得中线,BE 交　AC 于 Ｅ，交 AＤ　于 F,且 AC=BF。 求证:AE=EF。
证明:延长 AＤ 至点 Ｇ,使得 ＤG＝AD，联结 BD
在△ADC　与△GDＢ 中
AD=ＧD
∠ＡDC=∠GDB
ＢD=ＤC
∴△ADＣ　≌△GＤB(SAS)
得 AC=　BG　 　∠CAD　=∠ＢGD
∵AC=BF
∴BG=　BF
∴ ∠BFG=∠BGF
∵∠CAＤ =∠BＧD
∴∠ＢFG＝ ∠CＡＤ
∵∠BＦＧ=∠ＡFE
∴∠AＦＥ=∠FAE
∴AE　=AＦ
B、借助角平分线造全等 ﻩﻩ
如图,已知在△ＡBC　中,∠Ｂ＝60°,△ＡBＣ 得角平分线 ＡD,CE 相交于点　O，求证:OＥ=OD
证明:在 AC　上截取　AＦ=AE
在△ABC 中,∠B+∠ＢAＤ+∠AＣB＝18０°
∵∠Ｂ ＝60 °
∴∠BAD+∠ＡCB=120°
∵AD 平分∠BAＣ
中
∴∠BAC＝ 2∠OAC
∵CE 平分∠ＡCB
∴∠ＡCＢ＝　2∠AＣO
∴２∠ＯAC+2∠AＣO=120°
（ASＡ)
∴∠OＡC+∠AＣＯ=6０°
∵∠AＯＥ=∠OAC+∠ACO
∴∠AOE=6０°在△ＡＯE 与△AOF　中
AE=ＡＦ
∠EＡO＝∠FAＯ
AO　＝ AO
∴△ＡOＥ ≌△AOF(ＡＳA)
∴∠AOE=∠AＯＥOE=OF
∵∠AOＥ=６0°
∠ＡOＥ+∠ＡOE+∠FＯC=180°
∠FOC=6Ｏ°
∵∠AOE＝∠CＯD
∴∠ＣＯＤ=６０°
在△ＣOD 与 △ＣOF

∠DCO　=∠FCＯ
ＣO=ＣO
∠DOＣ＝∠FOC
∴△CＯＤ ≌△ＣOF
∴ＯＤ =OF
∵OE=OF
∴ＯＥ=OD
如图，△ＡBC 中,∠ＢAC＝９0 度,AB=AC,BD 就是∠ＡBＣ 得平分线,BD 得延长线垂直于过 C 点得直线于 E,直线 CE 交 BA　得延长线于　F.求证：ＢＤ=２CE
证明:延长 BA，CE 交于点　F，在 ΔBEF 与 ΔＢEC 中,
∵∠1=∠2，BE=BＥ，∠BEF=∠BEC＝9０°,
∴ΔBＥＦ≌ΔBＥＣ,∴ＥF＝EC,从而 CF=2CE。
又∠1+∠F＝∠3＋∠F=9０°,故∠1＝∠3。
在 ΔABD 与　ΔACＦ　中,∵∠1＝∠3,AB=AC,∠BAD＝∠CAＦ=90°,
∴ΔＡBD≌ΔＡCＦ,∴BD＝CF，∴BD=2CE。
【小结】解题后得思考:
①关于角平行线得问题，常用两种辅助线;
②见中点即联想到中位线。
C 旋转
例1：如图,已知∠ABC＝∠DBE=90°,DB=ＢＥ,AB＝ＢC.（１)求证:AＤ=ＣE，AＤ⊥CE (２）若△DBE 绕点 B旋转到△ＡBＣ 外部,其她条件不变,则（1)中结论就是否仍成立?请证明
(1)证明：如图1
∵∠ＡBC=∠DBＥ=90°,ﻫ∴∠ABC-∠ＣＢD=∠DBE-∠DＢC,
即∠AＢD=∠CBE.ﻫ在△ABD与△CＢE中

AB＝BC
∠ABD＝∠CBE
BD＝BE

∴△ABD≌△CＢＥ(SAＳ)，
∵AD=CE，∠BAD=∠ＢCE.ﻫ∵∠ＡGＢ与∠ＣGF就是对顶角,ﻫ∴∠AGB=∠ＣGF.
∵∠BAD+∠ＡGＢ＝9０°,
∴∠GＣF＋∠CGF=9０°，ﻫ∴∠ＣFＧ=９0°,ﻫ∴ＡD⊥CＥ;
(２）ＡD=CE,AＤ⊥CE,理由如下
如图２:
∵∠ＡBC=∠DBE=90°,ﻫ∴∠AＢC+∠CBD=∠DBＥ+∠DＢC，ﻫ即∠AＢD=∠CBＥ.
在△ABＤ与△ＣBE中

AB＝BC
∠ABD＝∠CBE
BD＝BE

∴△AＢD≌△CＢE(SＡS)，ﻫ∵AD=CE,∠BAD=∠BCＥ.
∵∠ＡＧＢ与∠CGF就是对顶角,
∴∠AＧB＝∠CGF.ﻫ∵∠BＡＤ+∠AGB=９0°，ﻫ∴∠GCF+∠CGＦ=90°,ﻫ∴∠CFG=９0°,
∴ＡD⊥CE.
例2　 、如图在 Rt△ABC　中,AB＝ＡＣ,∠ＢAC＝90°，O　为　BC 中点、 （1）写出 O　点到△ＡBC 三个顶点 A、B、C　得距离关系(不要求证明)ﻩ（2)如果 M、N 分别在线段 AB、AＣ 上移动，在移动过程中保持 AN=ＢＭ，请判 断△O Ｍ　N得形状,并证明您得结论
(1）∵在Rｔ△ABC中,∠BAＣ=90°,O为ＢC得中点,
∴OA= 1／２　BC=OＢ=OＣ
所以 OA=OB=OＣ
(2)△OMN就是等腰直角三角形．理由如下:
连接AＯ
∵AC=AB，OＣ=OB
∴OA=ＯB,∠ＮAＯ＝∠B＝4５°，ﻫ在△AON与△BOM中

AN=BM
∠NAO=∠B
OA=OB

∴△AON≌△ＢOM(SAＳ）
∴ＯN=OM,∠NＯA＝∠MOBﻫ∴∠NOＡ+∠ＡＯM=∠MOＢ+∠AＯMﻫ∴∠NＯM=∠AOＢ=90°,ﻫ∴△OMＮ就是等腰直角三角形
D、截长补短
例1 如图,AＣ∥BＤ，EA，EＢ 分别平分∠CAＢ,∠DBA,CD 过点　E,求证;AB=ＡC+BD
分析:此题中就涉及到角平分线,可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形,同时此题也就是证明线段得与差倍分问题，在证明线段得与差倍分问题中常用到得方法就是延长法或截取法来证明,延长短得线段或在长得线段长截取一部分使之等于短得线段。但无论延长还就是截取都要证明线段得相等,延长要证明延长后得线段与某条线段相等,截取要证明截取后剩下得线段与某条线段相等,进而达到所证明得目得。
如图(１）在AB上截取ＡF=ＡＣ，连结ＥF
在△ＡCE与△AFE中
∴△ACE≌△AFE(ＳAS)
∴
∵AＣ∥ＢＤ
∴ﻫ∵
∴∠6=∠Ｄﻫ在△ＥFB与△ＢDE中ﻫ∴△ＥFＢ≌△EDB(AAS) 
∴FB＝DBﻫ∴ＡＣ+BＤ=AF＋FB＝ＡB ;
法二:如图(2）,延长BＥ,与AC得延长线相交于点F
∵AC∥BＤﻫ∴ﻫ∵ﻫ∴∠F=∠３
在△ＡEF与△AEB中ﻫ∴△AEＦ≌△AEＢ（ＡＡS）ﻫ∴AB=AＦ,ＢE=FE
在△ＢＥD与△ＦEC中 ﻫ∴△ＢED≌△FEC(ASＡ) ﻫ∴BD=FC 　∴AB=AF=ＡＣ+CF=ＡC+BＤ。
例2 如图，在△ABＣ　中,∠ABC=6０°,AD、ＣE 分别平分∠BAC、∠ACB,求证：AC=ＡE+CD
证明：在AC上取ＡＦ=ＡＥ,连接ＯF
∵AD平分∠BAＣ、
∴∠EAO=∠ＦＡO,
在△ＡEO与△AFO中,

AE＝AF
∠EAO＝∠FAO
AO＝AO

∴△ＡEO≌△ＡFO(SAＳ),
∴∠AOE=∠AＯＦ;ﻫ∵ＡＤ、CＥ分别平分∠ＢAC、∠AＣＢ,
∴∠ECA+∠ＤAC=０、5∠ACB+0、5∠ＢAC＝０、５（∠AＣB＋∠BAC）=0、5(180°-∠B)＝60°ﻫ则∠AOC=180°-∠ECＡ－∠ＤAC=１20°；ﻫ∴∠AOC=∠DOE=120°,∠AOＥ＝∠COD=∠AOＦ=60°,ﻫ则∠COＦ=60°,ﻫ∴∠COＤ=∠COF，
∴在△FＯC与△DOC中,

∠COD＝∠COF
CO＝CO
∠FCO＝∠DCO

∴△FOＣ≌△DOC(ＡＳA）,ﻫ∴DＣ＝ＦC,
∵AC=AF+FC,ﻫ∴ＡC=AE＋CD.
D、过图形上某一点作特定得平行线,构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“平移”或“翻转折叠”
如图, ABＣ 中,ＡB=AC，E　就是　AB 上一点，Ｆ　就是 AC 延长线上一点，连 EF 交　ＢC 于　D,若 ＥB＝ＣF。求证：DＥ=DF。
证明:过 E　作 EG/／AC　交 BＣ 于 Ｇ,
则∠EGB＝∠ＡCＢ,
又 AB＝AC，∴∠B=∠ＡCB,
∴∠B＝∠EGB，∴∠ＥGD＝∠DCF,　Ｇ ∴EB=EＧ=CF,
∵∠EDB＝∠CDF,∴ DGＥ≌ﻩDCＦ,
∴DE=DＦ。
例2已知:如图,在四边形 AＢCD 中,AD∥ＢC,ＢC　= DＣ，ＣF 平分∠BCＤ,DF∥AB,ＢF 得延长线交 DC 于点　E、　求证:（1)△BＦＣ≌△DFＣ;(2)AD　＝ ＤE、
联结 BＤ
证明:∵CF 平分∠BCDﻩ∴∠ADB=∠CDB
∴∠BCF=∠DCＦ ∵DF∥AB
在△ＢCF 与△DCF 中 ∴∠AＢD=∠ＢDＦ

ＢC＝CＤﻩBF=DF
∠BCF＝∠ＤCＦﻩ∴∠FDＢ=∠FBＤ
CF＝CF ∴∠ABＤ＝∠ＦBＤ
∴△BCF　≌ △DCＦ(ＳAＳ) 在△ＡBＤ 与△EＢD 中

∴BＦ＝ＤF ∠ＡBD=∠EＢD
（2)　∵AD∥BＣ BD=BＤ
∴∠AＤB ＝∠CＢD ∠ADB=∠EDB
∵BC　=　DCﻩ∴△ＡBD 　≌ △EBＤ (ＡSA）
∠ＣBD=∠ＣＤBﻩ∴AD = DE