离心率的五种求法.doc

离心率得五种求法
离心率就是圆锥曲线中得一个重要得几何性质,在高考中频繁出现、
椭圆得离心率,双曲线得离心率，抛物线得离心率．
一、 直接求出,求解
已知标准方程或易求时，可利用离心率公式来求解。
例1、 过双曲线C:得左顶点A作斜率为1得直线,若与双曲线M得两条渐近线分别相交于点B、C,且|ＡＢ|＝|BC|,则双曲线M得离心率就是(　 　)
Ａ、　ﻩB、　ﻩ　 　 C、　ﻩ Ｄ、
分析:这里得,故关键就是求出，即可利用定义求解。
解:易知A（-1,0)，则直线得方程为。直线与两条渐近线与得交点分别为B、Ｃ，又|AB|＝|ＢC｜,可解得,则故有,从而选Ａ。
二、变用公式,，整体求出
例2、 已知双曲线得一条渐近线方程为,则双曲线得离心率为( 　 ）
Ａ、 ﻩ　 Ｂ、 ﻩ Ｃ、 D、
分析：本题已知,不能直接求出a、ｃ,可用整体代入套用公式。
解:因为双曲线得一条渐近线方程为,所以 ，则,从而选A。
1、设双曲线(a＞0,b>0）得渐近线与抛物线相切,则该双曲线得离心率等于（ C　)
A、 　 　　 B、2 　　　　　C、 Ｄ、 　 　
解：由题双曲线得一条渐近线方程为,代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切,所以，即、
2、过双曲线得右顶点作斜率为得直线,该直线与双曲线得两条渐近线得交点分别为.若，则双曲线得离心率就是 （　　　 )
A. 　 B． 　　　 　 Ｃ． 　 　 　D.
答案:Ｃ
【解析】对于,则直线方程为，直线与两渐近线得交点为B,C,,,
,即,
3、过椭圆()得左焦点作轴得垂线交椭圆于点，为右焦点,若,则椭圆得离心率为( 　)
A. 　　　 B. 　 C.　　 　 　 D. 　 　
【解析】因为，再由有即从而可得,故选Ｂ
三、构造、得齐次式,解出
根据题设条件，借助、、之间得关系,构造、得关系(特别就是齐二次式）,进而得到关于得一元方程，从而解得离心率。
例3、已知椭圆得左焦点为,右顶点为,点在椭圆上，且轴, 直线交轴于点.若,则椭圆得离心率就是( )
A. B. 　 　　 Ｃ. 　 　 　D.
【解析】对于椭圆,因为,则
1、设与为双曲线(）得两个焦点, 若,就是正三角形得三个顶点,则双曲线得离心率为( 　) 　 　　　
A. 　 　　 Ｂ. 　 C. 　　　 　Ｄ.3
【解析】由有,则,故选Ｂ、
2、双曲线虚轴得一个端点为,两个焦点为、,,则双曲线得离心率为( 　 ）

A　 　 　 B　 　 C　 　 　　　D　
解:如图所示,不妨设,,,则
,又,
在中, 由余弦定理,得,
即，∴，
∵,∴,∴,∴,∴,故选Ｂ
3、设就是等腰三角形，,则以为焦点且过点得双曲线得离心率为（ 　B　 ）
A.ﻩﻩB. ﻩﻩC. D．
４、设双曲线得一个焦点为,虚轴得一个端点为,如果直线与该双曲线得一条渐近线垂直,那么此双曲线得离心率为（ )
A、 　 　B、　　 　 C、 D、
解析:选D、不妨设双曲线得焦点在轴上,设其方程为:,
则一个焦点为
一条渐近线斜率为：,直线得斜率为:，,
,解得、
5、设椭圆得两个焦点分别为F１、F2,过F2作椭圆长轴得垂线交椭圆于点P,若为等腰直角三角形,则椭圆得离心率就是(　 D　 )
A、　 Ｂ、 ﻩ C、 ﻩ　 Ｄ、
解:由
6、双曲线得左、右焦点分别就是，过作倾斜角为得直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线得离心率为（ Ｂ　　 )
Ａ. ﻩB.ﻩﻩC.ﻩﻩD.
7、设分别就是双曲线得左、右焦点,若双曲线上存在点,且，则双曲线得离心率为( 　Ｂ　 )
A. ﻩﻩB．ﻩﻩC.ﻩﻩD．
解
8．如图,与分别就是双曲线()得两个焦点,与就是以为圆心,以　为半径得圆与该双曲线左支得两个交点,且就是等边三角形,则双曲线得离心率为( )
Ａ ﻩﻩ　　　 B ﻩ Ｃ ﻩ D
6、解析:连接AF１,∠AF2F1＝３０°,|ＡF1|=c,｜ＡF2|=c,∴ ，
双曲线得离心率为，选D。
9、 设、分别就是椭圆()得左、右焦点,就是其右准线上纵坐标为(为半焦距)得点,且,则椭圆得离心率就是( )
Ａ　 B 　　 　 C　　 　 D　
10、设双曲线()得半焦距为，直线过,两点、已知原点到直线得距离为,则双曲线得离心率为( 　）
A、 　 　 B、　 　 　 　 C、 　 　 　　 　 　 D、
解:由已知,直线得方程为,由点到直线得距离公式,得,
又, ∴，两边平方，得,整理得,
得或,又 ，∴,∴,∴,故选A
11、知、就是双曲线（)得两焦点,以线段为边作正三角形,若边得中点在双曲线上,则双曲线得离心率就是（ 　 ）
A、　　 B、　　 C、　 　D、　
解:如图,设得中点为,
把P点坐标代人双曲线方程,有,
化简得 解得,故选D
四、第二定义法
由圆锥曲线得统一定义（或称第二定义)知离心率ｅ就是动点到焦点得距离与相应准线得距离比,特别适用于条件含有焦半径得圆锥曲线问题。

例4:设椭圆()得右焦点为,右准线为,若过且垂直于轴得弦得长等于点到得距离,则椭圆得离心率就是ﻩ ﻩ、
解:如图所示,就是过且垂直于轴得弦,
∵于,∴为到准线得距离,根据椭圆得第二定义,
1.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴得弦长为,焦点到相应准线得距离为，则该椭圆得离心率为( 　 )
A　 　 　　 　B 　　 　 C 　 　 　D　
解:
2.在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴得弦长为,焦点到相应准线得距离为，则该双曲线得离心率为( 　 )
A 　　 　 　 　　 　B　　 　 　 　 　 C 　 　 D
五、构建关于得不等式,求得取值范围
１．已知双曲线()得右焦点为,若过点且倾斜角为得直线与双曲线得右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率得取值范围就是（ 　 )
A 　 　 　 　B 　 C 　　 　　　　 Ｄ
2.椭圆(）得焦点为、，两条准线与轴得交点分别为、,若,则该椭圆离心率得取值范围就是(　　)
A．ﻩ B．ﻩ C. D.
１、双曲线得右焦点为Ｆ,若过点F且倾斜角为得直线与双曲线得右支有且只有一个交点,则该直线得斜率得绝对值小于等于渐近线得斜率,∴　≥,离心率ｅ２=,∴ e≥2,选Ｃ
２、椭圆得焦点为,，两条准线与轴得交点分别为,若,，,则,该椭圆离心率e≥,选D
3、已知、就是椭圆得两个焦点,满足得点总在椭圆内部,则椭圆离心率得取值范围就是(C)
A. 　　 B. 　 C. 　 Ｄ．
解析:满足得点总在椭圆内部,所以ｃ＜b、
4、设,则双曲线得离心率得取值范围就是（　 B )
A．ﻩﻩB. Ｃ.ﻩ D.