曲面与空间曲面的总结.doc

曲
面
与
空
间
曲
线
得
总
结
曲面与空间曲线
一、曲面及其方程：
1、曲面方程得一般概念：
定义：若曲面上得点得坐标(x,y,z)
都满足方程F(x,y,z)=0，
而满足此方程得点都在曲面上，则称此方程为
该曲面得方程，而曲面称为此方程得‘图形’。
例1：求与A(2,3,1)与B(4,5,6)等距离得点得运动规迹。
解： 设M(x,y,z)为动点得坐标，动点应满足得条件就是
|AM|=|BM|由距离公式得

整理得

此即所求点得规迹方程，为一平面方程。
2、坐标面及与坐标面平行得平面方程：
①坐标平面xOy得方程：z=0
②过点（a,b,c)且与xOy面平行得平面方程：z=c
③坐标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点且分别与之平行得平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b
3、 球面方程：
①球面得标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径
得球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2
②球面得一般方程：
x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0
球面方程得特点：平方项系数相同；没有交叉项。
例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示得曲面
解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22
故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2得球。
4、母线平行于坐标轴得柱面方程：
一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成得轨迹
称为柱面。其中直线l称为柱面得母线，定曲线c称为柱面
得准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴得柱面方程。
此时有以下结论：
若柱面得母线平行于z轴，准线c就是xOy面上得一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面得方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴与x轴得柱面。
分析：母线平行于坐标轴得柱面得特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。
圆柱面
几种常见柱面：x+y=a 平面；
椭圆柱面；

双曲柱面；
抛物柱面。

以上所举例均为母线平行于z轴得情况，其她情况类似。

4、旋转曲面：
一般情况下我们将一平面曲线c绕同
一平面内得定直线l旋转一周所成得曲面称
为旋转曲面。其中c称为母线，l称为其轴。
本章中我们只研究绕坐标轴放置得曲面。此
时有以下结论：
设yOz平面上有一已知曲线c
其方程为f(y,z)=0，将c绕
z轴旋转一周，所得到得以z轴
为轴得放置曲面得方程为：

同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：

同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面

绕y轴为

以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得曲面

例3 求顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为a得圆锥面方程。
解：将yOz面上得直线z=yctg a绕z轴旋转一周即得圆锥曲面
整理后得：
其中a=ctga
二、空间曲线及其方程：
1、空间曲线得一般方程：
空间曲线一般可瞧作两个曲面得交线，若两个曲面得方程分别为F(x,y,z)=0
与G(x,y,z)=0，则易知其交线c得方程为
称此方程组为曲线c得一般方程。表示怎样得曲线？
例4：方程组

解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心得单位圆。例 方程 表示怎样曲线

解： 表示中心在原点，半径为1得上半球面

表示母线平行于Z 轴，准线在xoy面上
它们得交线就是xoy面上得一个圆，
半径为1得圆柱面

其圆心在 ，半径为

2、空间曲线得参数方程：
设空间曲线方程如果选定一个适当得函数 x=x（x）代入上述方程组

如果选定一个适当得函数 x=x（x）代入上述方程组
称为空间中曲线得参数方程。
例 如果空间一点M在圆柱面 x2 +y2 =a2 上以等角速度绕z周旋转，同时，以等速度v沿平行于Z轴得正方向移动，则点M运动得轨迹叫螺旋线，求其参数方程

螺旋线有一个重要性质，当 从 变到 时，Z由

变到 这说明当 转过角 时， 点沿螺旋线

升了高度 ，即上升得高度与 转过角度成正比。

三、空间曲线在坐标面上得投影：
在该方程组中消去z得H(x,y)=0，此为一个通过曲线L
母线平行于z轴得柱面，称为曲线c关于xOy面得投影柱面。
此投影柱面与xOy平面得交线即为c在xOy平面上得投影曲

线，简称投影，其方程为
同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程为

与

例 求曲线L： 在三个坐标面上得投影曲线

投影曲线方程
解 消去Z得1-y2=3x2+y2

投影柱面方程为3x2+2y2=1
消去y得3x2+1-2Z=0 投影曲线方程
投影柱面方程为3x2-2Z-1=0
消去x得Z=1-y2
投影柱面方程为Z=1-y2
投影曲线方程

例 两个柱面 与

得交线就是一条空间曲线

在xOy面上得投影方程。

例5：求曲线

解：上式减下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程为

从而曲线在xOy面上得投影方程为
二、旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上得一条直线旋转一周所成得曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面得轴、
设在yO z 坐标面上有一已知曲线C, 它得方程为
f (y, z) =0,
把这曲线绕z轴旋转一周, 就得到一个以z轴为轴得旋转曲面、 它得方程可以求得如下:
设M(x, y, z)为曲面上任一点, 它就是曲线C上点M1(0, y1, z1)绕z轴旋转而得到得. 因此有如下关系等式
, , ,
从而得 ,
这就就是所求旋转曲面得方程、
在曲线C得方程f(y, z)=0中将y改成, 便得曲线C绕z 轴旋转所成得旋转曲面得方程、
同理, 曲线C绕y 轴旋转所成得旋转曲面得方程为
、
例4 直线L绕另一条与L相交得直线旋转一周, 所得旋转曲面叫做圆锥面、 两直线得交点叫做圆锥面得顶点, 两直线得夹角a ()叫做圆锥面得半顶角、 试建立顶点在坐标原点O, 旋转轴为z轴, 半顶角为a得圆锥面得方程、
解 在yO z 坐标面内, 直线L得方程为
z=ycot a ,
将方程z=ycota 中得y改成, 就得到所要求得圆锥面得方程
,
或
z2=a2 (x2+y2),
其中a=cot a 、
例5. 将zOx坐标面上得双曲线分别绕x轴与z轴旋转一周, 求所生成得旋转曲面得方程、
解 绕x轴旋转所在得旋转曲面得方程为
;
绕z轴旋转所在得旋转曲面得方程为
、
这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面与单叶旋转双曲面、
三、柱面
例6 方程x2+y2=R2表示怎样得曲面？
解 方程x2+y2=R2在xOy 面上表示圆心在原点O、半径为R得圆、 在空间直角坐标系中, 这方程不含竖坐标z, 即不论空间点得竖坐标z怎样, 只要它得横坐标x与纵坐标y能满足这方程, 那么这些点就在这曲面上、 也就就是说, 过xOy 面上得圆x2+y2=R2, 且平行于z轴得直线一定在x2+y2=R2表示得曲面上、 所以这个曲面可以瞧成就是由平行于z轴得直线l 沿xOy 面上得圆x2+y2=R2移动而形成得、 这曲面叫做圆柱面, xOy 面上得圆x2+y2=R2叫做它得准线, 这平行于z轴得直线l 叫做它得母线、
例6 方程x2+y2=R2表示怎样得曲面？
解 在空间直角坐标系中, 过xOy 面上得圆x2+y2=R2作平行于z轴得直线l , 则直线l上得点都满足方程x2+y2=R2, 因此直线l一定在x2+y2=R2表示得曲面上、 所以这个曲面可以瞧成就是由平行于z轴得直线l 沿xOy 面上得圆x2+y2=R2移动而形成得、 这曲面叫做圆柱面, xOy 面上得圆x2+y2=R2叫做它得准线, 这平行于z轴得直线l 叫做它得母线、
柱面: 平行于定直线并沿定曲线C移动得直线L形成得轨迹叫做柱面, 定曲线C叫做柱面得准线, 动直线L叫做柱面得母线、
上面我们瞧到, 不含z得方程x2+y2=R2在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它得母线平行于z轴, 它得准线就是xOy 面上得圆x2+y2=R2、
一般地, 只含x、y而缺z得方程F(x, y)=0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴得柱面, 其准线就是xOy 面上得曲线C: F(x, y)=0、
例如, 方程y2=2x表示母线平行于z轴得柱面, 它得准线就是xOy 面上得抛物线y2 =2x, 该柱面叫做抛物柱面、
又如, 方程 x-y=0表示母线平行于z轴得柱面, 其准线就是xOy 面得直线 x-y=0, 所以它就是过z 轴得平面、
类似地, 只含x、z而缺y得方程G(x, z)=0与只含y、z而缺x得方程H(y, z)=0分别表示母线平行于y轴与x轴得柱面、
例如, 方程 x-z=0表示母线平行于y轴得柱面, 其准线就是zOx 面上得直线 x-z=0、 所以它就是过y轴得平面、 　
四 二次曲面
通过截痕法，了解二次曲面得全貌

1、椭球面
与三个坐标面得交线均为椭圆

若a=b,则 旋转椭球面

2 单叶双曲面 数
Z=h 截,截痕为一椭圆。

x=h ，或y=h截,截痕为一双曲线。

时，曲线为双曲线，实轴平行与x轴，虚轴平
行与z轴，当由零增大到b时，曲线得两半轴缩小至零。

2）当 时，截痕为一对直线

3）当 时，曲线仍为双曲线，但实轴平行于z轴，虚

轴平行与x轴，当 由 b增大时，曲线得两半轴也增大。

同样用平行于yoz得平面相截时截痕也就是双曲线，可用同样得方法讨论。

当a=b时，方程变为

3 双叶双曲面
双叶双曲面对称于坐标原点及三个坐标面

Z=h截，截痕为
当 时无截痕，当 时就是两点（0，0， ）

当 时为椭圆

当x=h，或y=h截，截痕为双曲线
4 椭圆抛物面

5 双叶抛物面

6 二次锥面
其次还有双曲抛物面.
由方程所表示得曲面称为双曲抛物面、
双曲抛物面又称马鞍面.
用平面x=t截此曲面, 所得截痕l为平面x=t上得抛物线
,
此抛物线开口朝下, 其项点坐标为. 当t变化时, l得形状不变, 位置只作平移, 而l得项点得轨迹L为平面y=0上得抛物线
.
因此, 以l为母线, L为准线, 母线l得项点在准线L上滑动, 且母线作平行移动, 这样得到得曲面便就是双曲抛物面.
还有三种二次曲面就是以三种二次曲线为准线得柱面:
, , ,
依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面.
一、空间直线得一般方程
空间直线L可以瞧作就是两个平面P1与P2得交线、
如果两个相交平面P1与P2得方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0与A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么直线L上得任一点得坐标应同时满足这两个平面得方程, 即应满足方程组
. (1)
反过来, 如果点M不在直线L上, 那么它不可能同时在平面P1与P2上, 所以它得坐标不满足方程组(1)、 因此, 直线L可以用方程组(1)来表示、 方程组(1)叫做空间直线得一般方程、
设直线L就是平面P1与平面P2得交线, 平面得方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0与A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么点M在直线L上当且仅当它同时在这两个平面上, 当且仅当它得坐标同时满足这两个平面方程, 即满足方程组
、
因此, 直线L可以用上述方程组来表示、 上述方程组叫做空间直线得一般方程、
通过空间一直线L得平面有无限多个, 只要在这无限多个平面中任意选取两个, 把它们得方程联立起来, 所得得方程组就表示空间直线L、
二、空间直线得对称式方程与参数方程
方向向量: 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线得方向向量、 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线得方向向量、
确定直线得条件: 当直线L上一点M 0(x0, y0, x0)与它得一方向向量s = (m, n, p)为已知时, 直线L得位置就完全确定了、
直线方程得确定: 已知直线L通过点M0(x0, y0, x0), 且直线得方向向量为s = (m, n, p), 求直线L得方程.
设M (x, y, z)在直线L上得任一点, 那么
(x-x0, y-y0, z-z0)//s ,
从而有
.
这就就是直线L得方程, 叫做直线得对称式方程或点向式方程、
注: 当m, n, p中有一个为零, 例如m=0, 而n, p¹0时, 这方程组应理解为
;
当m, n, p中有两个为零, 例如m=n=0, 而p¹0时, 这方程组应理解为
.
直线得任一方向向量s得坐标m、n、p叫做这直线得一组方向数, 而向量s得方向余弦叫做该直线得方向余弦、
由直线得对称式方程容易导出直线得参数方程、
设, 得方程组
、
此方程组就就是直线得参数方程、
例1 用对称式方程及参数方程表示直线.
解 先求直线上得一点、 取x=1, 有
.
解此方程组, 得y=-2, z=0, 即(1, -2, 0)就就是直线上得一点、
再求这直线得方向向量s、 以平面x+y+z=-1与2x-y+3z=4得法线向量得向量积作为直线得方向向量s :
s=(i+j+k)´(2i-j+3k)4i-j-3k、
因此, 所给直线得对称式方程为
、
令, 得所给直线得参数方程为
.
提示: 当x=1时, 有, 此方程组得解为y=-2, z=0.
.
令, 有x=1+4t, y=-2-t, z=-3t .
三、两直线得夹角
两直线得方向向量得夹角( 通常指锐角)叫做两直线得夹角、
设直线L1与L2得方向向量分别为s1=(m1, n1, p1)与s2=(m2, n2, p2), 那么L1与L2得夹角j就就是与两者中得锐角, 因此、 根据两向量得夹角得余弦公式, 直线L1与L2得夹角j可由

来确定、
从两向量垂直、平行得充分必要条件立即推得下列结论:
设有两直线L1:, L2:, 则
L 1^L 2Ûm1m2+n1n2+p1p2=0;
L1 // L2Û、
例2 求直线L1:与L2:得夹角、
解 两直线得方向向量分别为s1 = (1, -4, 1)与s2 = (2, -2, -1)、 设两直线得夹角为j , 则
,
所以、
四、直线与平面得夹角
当直线与平面不垂直时, 直线与它在平面上得投影直线得夹角j称为直线与平面得夹角, 当直线与平面垂直时, 规定直线与平面得夹角为.
设直线得方向向量s=(m, n, p), 平面得法线向量为n=(A, B, C), 直线与平面得夹角为j , 那么, 因此、 按两向量夹角余弦得坐标表示式, 有
、
因为直线与平面垂直相当于直线得方向向量与平面得法线向量平行, 所以, 直线与平面垂直相当于
、
因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线得方向向量与平面得法线向量垂直, 所以, 直线与平面平行或直线在平面上相当于
Am+Bn+Cp=0、
设直线L得方向向量为(m, n, p), 平面P得法线向量为(A, B, C) , 则
L^P Û;
L/ / P Û Am+Bn+Cp=0、
例3 求过点(1, -2, 4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直得直线得方程、
解 平面得法线向量(2, -3, 1)可以作为所求直线得方向向量、 由此可得所求直线得方程为
、
五、杂例
例4 求与两平面 x-4z=3与2x-y-5z=1得交线平行且过点(-3, 2, 5)得直线得方程、
解 平面x-4z=3与2x-y-5z=1得交线得方向向量就就是所求直线得方向向量s ,
因为 ,
所以所求直线得方程为
、
例5 求直线与平面2x+y+z-6=0得交点、
解 所给直线得参数方程为
x=2+t, y=3+t, z=4+2t,
代入平面方程中, 得
2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0、
解上列方程, 得t=-1、 将t=-1代入直线得参数方程, 得所求交点得坐标为
x=1, y=2, z=2、
例6 求过点(2, 1, 3)且与直线垂直相交得直线得方程、
解 过点(2, 1, 3)与直线垂直得平面为
3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0, 即3x+2y-z=5.
直线与平面3x+2y-z=5得交点坐标为、
以点(2, 1, 3)为起点, 以点为终点得向量为
、
所求直线得方程为
、
例6¢ 求过点(2, 1, 2)且与直线垂直相交得直线得方程、
解 过已知点与已知直线相垂直得平面得方程为
(x-2)+(y-1)+2(z-2)=0, 即x+y+2z=7.
此平面与已知直线得交点为(1, 2, 2).
所求直线得方向向量为
s=(1, 2, 2)-(2, 1, 2)=(-1, 1, 0),
所求直线得方程为
, 即.
提示: 求平面x+y+2z=7与直线得交点:
直线得参数方程为x=2+t, y=3+t, z=4+2t , 代入平面方程得
(2+t)+(3+t)+2(4+2t)=7,
解得t=-1, 代入直线得参数方程得x=1, y=2, z=2.
平面束: 设直线L得一般方程为
,
其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例、 考虑三元一次方程:
A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,
即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,
其中l为任意常数、 因为系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例, 所以对于任何一个l值, 上述方程得系数不全为零, 从而它表示一个平面、 对于不同得l值, 所对应得平面也不同, 而且这些平面都通过直线L , 也就就是说, 这个方程表示通过直线L得一族平面、 另一方面, 任何通过直线L得平面也一定包含在上述通过L得平面族中、
通过定直线得所有平面得全体称为平面束、
方程A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0就就是通过直线L 得平面束方程、
例7 求直线在平面x+y+z=0上得投影直线得方程、
解 设过直线得平面束得方程为
(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0,
即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0,
其中l为待定得常数、 这平面与平面 x + y + z = 0垂直得条件就是
(1+l)×1+(1-l)×1+(-1+l)×1=0,
即 l=-1、
将l=-1代入平面束方程得投影平面得方程为2y-2z-2=0,
即 y-z-1=0、
所以投影直线得方程为
.