常微分课后答案解析第二章.doc

第一章 绪论
§1、1 微分方程:某些物理过程得数学模型
§1、2 基本概念
习题1、2
1.指出下面微分方程得阶数,并回答方程就是否线性得:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6).
解 (1)一阶线性微分方程;
(2)二阶非线性微分方程;
(3)一阶非线性微分方程;
(4)二阶线性微分方程;
(5)一阶非线性微分方程;
(6)二阶非线性微分方程.
2.试验证下面函数均为方程得解,这里就是常数.
(1);
(2)就是任意常数);
(3);
(4)就是任意常数);
(5)就是任意常数);
(6)就是任意常数).
解 (1),所以,故为方程得解.
(2),所以,故为方程得解.
(3),所以,故为方程得解.
(4),所以,故为方程得解.
(5),所以,故为方程得解.
(6),故,因此为方程得解.
3.验证下列各函数就是相应微分方程得解:
(1),;
(2),(就是任意常数);
(3),(就是任意常数);
(4),;
(5),;
(6),;
(7),;
(8),.
证明 (1)因为,所以.
(2)由于,故
.
(3)由于,,于就是.
(4)由,因此.
(5)因为,所以
.
(6)从,得.
(7)由,得到
.
(8).
4.给定一阶微分方程,
(1)求出它得通解;
(2)求通过点得特解;
(3)求出与直线相切得解;
(4)求出满足条件得解;
(5)绘出(2),(3),(4)中得解得图形.
解 (1)通解 .
(2)由,得到,所以过点得特解为.
(3)这时,切点坐标为,由,得到,所以与直线相切得解为.
(4)由,得到,故满足条件得解为.
(5)如图1-1所示.

图1-1
5.求下列两个微分方程得公共解:
(1);
(2).
解 公共解必须满足,即
,
得到或就是微分方程与得公共解.
6.求微分方程得直线积分曲线.
解 设直线积分曲线为,两边对求导得,,若,则,得到,不可能.故必有,则,代入原方程有
,或,
所以, ,得到 或.
所求直线积分曲线为与.
7.微分方程,证明其积分曲线关于坐标原点成中心对称得曲线,也就是此微分方程得积分曲线.
证明 设就是微分方程得积分曲线,则与其关于坐标原点成中心对称得曲线就是.由于适合微分方程,故,分别以代,亦有
,
而由,得到,从而也就是此微分方程得积分曲线.
8.物体在空气中得冷却速度与物体与空气得温差成比例,如果物体在20分钟内由C冷至C,那么,在多久得时间内,这个物体得温度达到C？假设空气得温度为C.
解 设物体在时刻得温度为,,微分方程为,解得 ,根据初始条件,得,因此
,
根据 ,得到,由此,所以得到,当时,解出(分钟)(小时).
在1小时得时间内,这个物体得温度达到C.
9.试建立分别具有下列性质得曲线所满足得微分方程:
(1)曲线上任一点得切线与该点得向径夹角为;
(2)曲线上任一点得切线介于两坐标轴之间得部分等于定长;
(3)曲线上任一点得切线与两坐标轴所围成得三角形得面积都等于常数;
(4)曲线上任一点得切线介于两坐标轴之间得部分被切点等分;
(5)曲线上任一点得切线得纵截距等于切点横坐标得平方;
(6)曲线上任一点得切线得纵截距就是切点得横坐标与纵坐标得等差中项;
(7)曲线上任一点得切线得斜率与切点得横坐标成正比.
(提示:过点d得横截距与纵截距分别为与).
解 (1)曲线上任一点为,则,即.
(2)曲线上任一点处得切线方程为,与两坐标轴交点为与,两点间距离为,即
.
(3)由(2),有 ,或.
(4)由(2),有 ,或.
(5)由(2),.
(6)同样由(2),,或.
(7)易得 (为常数且).