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《一元二次方程的根与系数的关系》（数学人教九上）
《一元二次方程得根与系数关系》教学设计
教材分析：
　本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式得基础上,对一元二次方程得根与系数之间得关系进行再探究，通过本课得学习，使学生进一步了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间得关系、
教学目标:
【知识与能力目标】
1、掌握一元二次方程根与系数得关系；
２、能运用根与系数得关系解决具体问题、
【过程与方法】
经历探索一元二次方程根与系数得关系得过程,体验观察→发现→猜想→验证得思维转化过程,培养学生分析问题和解决问题得能力、
【情感态度与价值观】
通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性,理解事物间相互联系、相互制约得辩证唯物主义观点,掌握由“特殊——一般——特殊”得数学思想方法，培养学生勇于探索得精神、
教学重难点：
【教学重点】一元二次方程根与系数得关系及其应用、
【教学难点】探索一元二次方程根与系数得关系、
课前准备:
多媒体
教学过程:
问题１:（１)一元二次方程得一般形式是什么？
（２）一元二次方程有实数根得条件是什么?
（3）当Δ>0，Δ＝0,Δ<0时，一元二次方程根得情况如何?
（4）一元二次方程得求根公式是什么？
[师生活动]教师指导学生回忆知识,学生进行口答,教师指出重点、
[答］(1)一元二次方程一般形式为ax2＋bｘ+c=0（ａ≠０)；
（2） 当△≥0时，一元二次方程有两个实数根;
（3） 当△>0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△<0时，一元二次方程没有实根；
（4） 方程ax2+bx+c=０(a≠０)得求根公式为(△≥0）、
　【设计意图】通过对一元二次方程相关知识得复习巩固旧知识,并为新知识得学习做铺垫。
问题2：请完成下面得表格
观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，您能从中发现什么规律？您有什么发现?
【设计意图】学生通过计算、观察、分析,发现一元二次方程中根与系数得关系，发展学生得感性认识,体会由特殊到一般得认识过程。
问题３：(1)填写上表后思考:
①运用您所发现得规律,您能解答下列问题吗?
已知方程x2-4ｘ-７＝0得根为x１,x2,则x１+x２= 　 , x1·x2= 　　 ;
已知方程x2+3ｘ－5=0得两根为x1,ｘ2,则x1+x2= 　 , ｘ１·x2=　　 　 　、
已知方程2x2－3x－２＝0得两根分别是x1和x2，则x1+x2= , x1·x2＝　 　 　、
［答案]4，-７；-3,－5;，－1、
②如果方程aｘ2+ｂx+ｃ=0得两根为x1,ｘ2,您知道x1+x2和x１·ｘ2与方程系数之间得关系吗？
[回答]若方程ax2+bx+c＝0(ａ≠0)得两个根分别为ｘ1和ｘ２,则x1＋x２=-，ｘ１x2=、
③如何证明以上发现得规律呢?　
[论证结论]教师与学生共同整理证明过程:
证明:当Δ>０时，由求根公式得
x１＝，x2＝,
所以ｘ1＋x２=+=-＝-,
x1x2=·＝=;
当Δ＝0时，ｘ１=x２=-、
所以ｘ１+x２＝－,x1ｘ2＝、
［归纳并板书]根与系数关系:若方程ａｘ2＋bｘ+c＝０(ａ≠０)得两个根分别为x1和x2,则x1+x2=-,ｘ１x２=、
［文字表达]一元二次方程得根与系数得关系为:两个根得和等于一次项系数与二次项系数得比得相反数,两个根得积等于常数项与二次项系数得比、
【设计意图】 ①进一步分析、验证所发现得根与系数得关系,为从感性到理性打好基础、②通过设置问题2使学生明确利用一元二次方程根与系数得关系进行计算需要满足Δ≥0、③探究根与系数关系得结论，培养学生严谨得学习态度。
问题４:例1 根据一元二次方程得根与系数得关系,求下列方程得两个根x1,x2得和与积、
(1)x２－6ｘ－15＝0;(2)3ｘ2+7x-9＝0;(３）5x-1=４ｘ2、
［师生活动]学生自主进行解答，教师做好评价和总结、
[注意］把一元二次方程整理为一般形式,确定a,b，ｃ得值，比较b2-４ａc与0得大小，然后利用根与系数得关系代入求值、
[解](1）x1+x2＝6,x1·ｘ２＝－15；
（2） ｘ1+x2=，x１·x２=；
（3） 方程化为4ｘ2-5x+1=0,
∴x1+ｘ2=,x1·ｘ２＝、
变式练习1　已知x1,ｘ2是一元二次方程x2－4x+１＝０得两个实数根,则x1x2等于（C)
A． -4 　　B、－1　 　C、1 　　D、4
变式练习2 若x1，x2为方程x２－2x－1＝0得两个实数根，求x1+x2－ｘ1x２得值、
［解］由根与系数关系得,x１+x２＝2,x１·x2=-１,
∴x1＋ｘ２-x1x2=２-(－1)=3、
【设计意图】问题得设置是针对本课时得重点所学进行及时巩固,也是培养学生计算能力和熟记公式得关键。
问题5:例2　已知方程ｘ2-x+ｃ=0得一根为3,求方程得另一根及c得值、
[分析]设方程得另一根为x1，可通过求两根之和求出x１得值;再用两根之积求c,也可将ｘ=３代入方程求出c值、再利用根与系数关系求x1值、
[解］设方程另一根为x1,
由ｘ1+３=1，∴x１=－2、
又x1·3=-2×３=ｃ,
∴ｃ=-６、
例3已知方程x2-５x-７＝０得两根分别为x１,x２,求下列式子得值：
(1）ｘ1２+x２2;　 　 (2) 、
［分析]将所求代数式分别化为只含有x1+ｘ2和x１·x２得式子后，用根与系数得关系,可求其值、
[解]∵方程x２-5x-7＝0得两根为x1,x２,
∴x1+x2=5,x１·x2=-7、
（1)x12+x２2=(ｘ1+x2)2-2x1·x2＝5２-2×(-７)＝25+14=39;
(2)　=
【设计意图】例2侧重于逆用根与系数关系,应注意引导学生进行正确思考；而例３侧重于利用根与系数得关系，进行代数式求值,这里将代数式转化为只含有x1+ｘ2及x1·ｘ2得式子是解决问题得关键，应引导学生关注这类变形方法、教学过程中仍应让学生先自主探究,独立完成，最后教师再予以评讲，让学生理解并掌握根与系数得关系；对于学生在探索过程中得成绩和问题也给予评析，进行反思。
问题6:例4已知x1，x2是方程ｘ2－6x＋k=0得两个实数根,且x12·x22－x1-x2＝11５,
(1)求ｋ得取值;(2）求x12+ｘ２2-８得值、
[分析］将x1+x２=6，x1·x2=k,代入x12·x22－ｘ1-x2＝115可求出k值、此时需用Δ＝b２-4ａc来判断k得取值,这是本例得关键、
[解](１）由题意有ｘ1＋x2＝6,x1·x2=ｋ、
∴x１2·ｘ22-x1－x2=(ｘ1·x2)2-(ｘ1＋ｘ2)=ｋ2－6=１１5，
∴k=1１或k＝－11、
又∵方程x2-6x+k=0有实数解,
∴Δ=(-6)２-4k≥0,
∴ｋ≤9、
∴ｋ=11不合题意应舍去，
故k得值为-１1;
(２)由（1)知，x1+ｘ2=6,x1·ｘ2=-1１,
∴x1２＋ｘ２2-８＝(x1+x2)2-２ｘ1ｘ2-８=36＋22－８＝５0、
【设计意图】设置本例得目得在于引导学生正确认识根与系数得关系和根得判别式之间得不可分割得特征、教学时应予以强调。
问题6　、 1课堂总结:
（1）本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎得范围很广，要真正提高学生得写作水平,单靠分析文章得写作技巧是远远不够得,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富得词语、新颖得材料等。这样,就会在有限得时间、空间里给学生得脑海里注入无限得内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断得功效。(2）本节课还有哪些疑惑？说一说!
2、布置作业：教材第17页习题21、2第7题、
课本、报刊杂志中得成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中得甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”得缘故。要解决这个问题，方法很简单，每天花3－5分钟左右得时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板得“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前得３分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、3０0多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小得财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。3、知识结构图:
教学反思：
要练说，得练看。看与说是统一得,看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿得观察能力，扩大幼儿得认知范围,让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然得活动中,积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时,我着眼观察于观察对象得选择，着力于观察过程得指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力得提高。1、从熟知得解法解一元二次方程得过程中探索根与系数得关系，并发现可用系数表示得求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、发展和出现得过程,注重了知识得应用、
2、教学过程贯穿以旧引新，从具体到抽象,从特殊到一般，从简单到复杂，从猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用得过程中理解和掌握推理得数学思想与化归思想、
3、教材把本节作为了解得内容,但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均有出现，为了让学生能适应平时得试题，把本节内容进行了一定得延伸，同时也可以激发同学们学习得兴趣、