管理运筹学——层次分析法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,层次分析法,AHP,（,Analytic Hierarchy Process,）,重庆工商大学商务策划学院,蔡继荣博士,1,日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案：,例,1,购物,买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。,买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。,例,2,旅游,假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。,层次分析法,(AHP),概说,2,例,3,择业,面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。,例,4,科研课题的选择,由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。,层次分析法,(AHP),概说,3,面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。,T.L.saaty,等人,20,世纪在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。,层次分析法（,Analytic Hierarchy Process,AHP),这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。,过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。,层次分析法,(AHP),概说,4,层次分析法,(AHP),概说,AHP(Analytic Hierarchy Process),方法，又称为层次分析法或多层次权重解析方法，是,20,世纪,70,年代初期由美国著名运筹学家、匹兹堡大学萨蒂,(,TLSaaty,),教授首次提出来的。,该方法是定量和定性分析相结合的多目标决策方法，能够有效地分析目标准则体系层次间的非序列关系，有效地综合测度决策者的判断和比较。,由于系统、简洁、实用，在社会、经济、管理等许多方面，得到越来越广泛的应用。,5,7.1 AHP,方法的基本原理,一、,递阶层次结构模型,首先要把问题条理化、层次化，构造出能够反映系统内在联系的递阶层,次结构模型。将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层,次。同一 层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层,次元素的制约。这样，构造了递阶层次结构模型。,AHP,的层次结构，既可以,是序列型的，也可以是非序列型的。一般来说，可以将层次分为三种类型：,最高层。只包含一个元素，表示总目标层。,中间层。包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标，,称目标层。,最低层。表示实现各决策目标的可行方案，称为方案层。,6,7.1 AHP,方法的基本原理,一、,递阶层次结构模型,层次结构中相邻两层次元素之间的关系用直线标明，称为作用线，元素之间不存,在关系，就没有作用线。如果某一元素与相邻下一层次所有元素均有关系，则称此元,素与下一层次存在完全层次关系；如果某元素仅与相邻下一层次部分元素存在关系，,则称为不完全层次关系。,在实际操作中，模型的层次数由系统的复杂程度和决策的实际需要而定，不宜过,多。每一层次元素一般不要超过,9,个，过多的元素会给主观判断比较带来困难。构造一,个合理而简洁的层次结构模型，是,AHP,方法的关键。,G,C,1,C,2,C,s,总目标,第,1,层子目标,第,n,层子目标,方案层,7,7.1 AHP,方法的基本原理,一、,递阶层次结构模型,例,1,构建科研课题决策的层次结构模型。决策往往涉及众多因素：成果贡献、人,才培养、可行性、发展前景四个目标。和这四个目标相关的因素又有以下几个：,实用价值,。研究成果给社会带来的效益，包括经济效益和社会效益。实用价值与成果贡献、人才培养、发展前景等目标都有关系。,科技水平,。课题在学术上的理论价值以及在同行中的领先水平。科技水平直接关系到成果贡献、人才培养、发展前景。,优势发挥,。课题发挥本单位学科及人才优势程度，体现与同类课题比较的有利因素。与人才培养、课题可行性、发展前景均有关系。,难易程度,。指课题本身的难度以及课题组现有人才、设备条件所决定的成功可能性。与课题可行性、发展前景相关联。,研究周期,。课题研究预计所需时间，与可行性直接相关。,财政支持,。是指课题的经费、设备以及经费来源。与课题可行性、发展前景直接相关。,科研课题决策，就是综合上述各种目标和因素，确定各个课题的相对优劣次,序，以供优选课题和安排科研力量参考。为此，建立科研课题决策的层次结构模,型。模型从上到下，分为四个层次，层次之司的关联情况均以作用线标明。,8,7.1 AHP,方法的基本原理,一、,递阶层次结构模型,综合评价科研课题,A,课题,1,成果贡献,B,1,人才培养,B,2,可行性,B,3,发展前景,B,4,实,用,价,值,C,1,科,技,水,平,C,2,优,势,发,挥,C,3,难,易,程,度,C,4,研,究,周,期,C,5,财,政,支,持,C,6,经,济,效,益,C,11,社,会,效,益,C,12,课题,N,9,7.1 AHP,方法的基本原理,二、判断矩阵及其,特征向量,AHP,方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。,优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于,0,和,1,之间。在给定的决策准则之下，数值越大，方案越优，反之越劣。方案层各,方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算,得到。这个过程称为递阶层次权重解析过程。,例,2,设有,3,个物体，它们的重量分别为,g,1,，,g,2,，,g,3,。为了测出各物体的重量，现将每一物体与其它物体重量两两比较：第,i,个物体重量与其它物体重量相比较，得到,3,个重量比值,g,i,/g,1,，,g,i,/g,2,，,g,i,/g,3,(i=1,2,3),。构成一个,3,行,3,列的矩阵,A,，称为,3,个物体重量的判断矩阵。,10,7.1 AHP,方法的基本原理,二、判断矩阵及其,特征向量,设,3,个物体重量组成的向量为,根据线性代数知识，,3,是矩阵,A,的最大特征值，,G,是矩阵,A,属于特征值,3,的特征向量。因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，,3,个物体的,重量，就是判断矩阵最大特征值,3,的特征向量的各个分量。,11,7.1 AHP,方法的基本原理,二、判断矩阵及其,特征向量,判断矩阵,产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵的最大特征值是否存在，,是否为单根,?,元素,a,ij,0,（,称为正矩阵,），,i,j,=1,2,3,，,并且满足下列三个条件：,12,7.1 AHP,方法的基本原理,二、判断矩阵及其,特征向量,实际中，判断矩阵的构造采用,Saaty,引用的,1-9,标度方法，各级标度含义如下表。,标度,定,义,含,义,1,同样重要,两元素对某准则同样重要,3,稍微重要,两元素对某准则，一元素比另一元素稍微重要,5,明显重要,两元素对某准则，一元素比另一元素明显重要,7,强烈重要,两元素对某准则，一元素比另一元素强烈重要,9,极端重要,两元素对某准则，一元素比另一元素极端重要,2,4,6,8,相邻标度中值,表示相邻两标度之间折衷时的标度,上列标度倒数,反比较,元素,i,对元素,j,的标度为,a,ij,，反之为,l/a,ij,1-9,标度法则符合人的认识规律，有一定科学依据。从人的直觉判断能力看，在区分事物数量差别时，习惯使用相同、较强、强、很强、极端强等判断语言。根据心理学实验表明，多数人对不同事物在相同准则上的差异，其分辨能力介于,5-9,级之间，,1-9,标度反映了多数人的判断能力。,Saaty,将,l-9,标度方法和其它标度方法进行对比，大量模拟实验证明，,1-9,标度是可行的，与其它标度方法比较，能更有效地将思维判断数量化。,13,7.1 AHP,方法的基本原理,二、判断矩阵及其,特征向量,例,3,设有,3,个元素,A,1,，,A,2,，,A,3,，现在构造关于准则,C,r,的判断矩阵,C,r,A,l,A,2,A,3,A,l,a,11,a,12,a,13,A,2,a,21,a,22,a,23,A,3,a,31,a,32,a,33,14,7.1 AHP,方法的基本原理,三、判断矩阵的一致性,定义,1:,设,如果满足下列二个条件,：,则称,A,为互反矩阵。,定义,2:,设,如果满足下列三个条件,：,则称,A,为一致性矩阵。,15,7.1 AHP,方法的基本原理,三、判断矩阵的一致性,定理,1(,Perron,):,设,则,：,A,有最大的正特征值,max,，并且,max,是单根，其余特征值的模均小于,max,定理,2:,设,A,是互反矩阵,。,A,的属于,max,的特征向量,X,0,若,max,是,A,的最大特征值，则,max,m,若,1,2,m,是,A,的特征值,，则,A,是一致性矩阵的充分必要条件是,max,=m,16,7.1 AHP,方法的基本原理,三、判断矩阵的一致性,定理,2:,设,A,是一致性矩阵，则,：,一致性正矩阵是互反正矩阵；,A,的转置矩阵,A,T,也是一致性矩阵,；,A,的每一行均为任意指定一行的正数倍数,；,A,的最大特征值,max,=m,，其余特征值均为,0,；,若,A,的属于,max,的特征向量为,产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵具有互反性，,但是不一定具有一致性，即不一定满足,17,7.1 AHP,方法的基本原理,三、判断矩阵的一致性,尽管判断矩阵不具有完全的一致性，仍希望它的最大特征值,max,略大,于阶数,m,，其余特征值接近于零，称之为满意的一致性。这样，计算出的,层次单排序结果才是合理的。因此，必须对判断矩阵的一致性进行检验，,使之达到满意的一致性标准。,设判断矩阵,A,的全部特征值为：,1,=,max,，,2,，,，,m,由于,A,是互反矩阵，,a,ii,=1,，,(i=1,，,2,，,，,m),。由,矩阵理论有,为达到满意一致性，除了,max,之外，其余特征值尽量接近于零。取,作为检验判断矩阵一致性指标。,18,7.1 AHP,方法的基本原理,三、判断矩阵的一致性,C.I,越大，偏离一致性越大。反之，偏离一致性越小。判断矩阵的阶数,m,越,大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大，反之，偏离,一致性越小。当阶数,m2,时，,C.I=0,，判断矩阵具有完全一致性。因此，,必须引入平均随机一致性指标,R.I,，随判断矩阵的阶数而变化，如下表。,这些,R.I,值是用随机方法构造判断矩阵，经过,500,次以上的重复计算，求出,一致性指标，并加以平均而得到的。,阶数,1,2,3,4,5,6,7,8,R.I.,0,0,0.52,0.89,1.12,1.26,1.36,1.41,阶数,9,10,11,12,13,14,15,R.I.,1.46,1.49,1.52,1.54,1.56,1.58,1.59,一致性指标,C.I,与同阶平均随机一致性指标,R.I,的比较值，称为一致性比率,19,7.1 AHP,方法的基本原理,三、判断矩阵的一致性,用一致性比率,C.R,检验判断矩阵的一致性，当,C.R,越小时，判断矩阵的一致,性越好。一般认为，当,C.R0.1,时，判断矩阵符合一致性标准，层次单排,序的结果是可以接受的。否则，需要修正判断矩阵，直到检验通过。,判断矩阵的一致性检验步骤是：,第一步：求出一致性指标,第二步：查表得到平均随机一致性指标,R.I,第三步：计算一致性比率,当,C.R0.1,时，接受判断矩阵，否则，修改判断矩阵,20,7.1 AHP,方法的基本原理,四、判断矩阵求解,判断矩阵,A=(,a,ij,),mm,是决策者主观判断的描述，求解判断矩阵并不要求,过高的精度。有根法、和法及幂法，幂法适于在计算机上运算。,（,1,）根法,第一步：计算,A,的每一行元素之积,M,i,第二步：计算,M,i,的,m,次方根,a,i,第三步：对向量,a=(a,1,a,2,a,m,),T,作归一化处理，,得到最大特征值对应的特征向量,W=(w,1,w,2,w,m,),T,第四步：求,A,的最大特征值,max,21,7.1 AHP,方法的基本原理,四、判断矩阵求解,:,（,1,）根法,取算术平均值：,22,7.1 AHP,方法的基本原理,四、判断矩阵求解,:,（,1,）根法,例,3,求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的,特征向量，并进行一致性检验。,23,7.1 AHP,方法的基本原理,四、判断矩阵求解,:,（,1,）根法,进行一致性检验：,所以，判断矩阵,A,满足一致性检验。,24,7.1 AHP,方法的基本原理,四、判断矩阵求解,（,2,）和法,第一步：判断矩阵,A,的元素按列作归一化处理得到矩阵,Q,第二步：将矩阵,Q,的元素按行相加，得到向量,a,第三步：对向量,a=(a,1,a,2,a,m,),T,作归一化处理，,得到最大特征值对应的特征向量,W=(w,1,w,2,w,m,),T,第四步：求,A,的最大特征值,max,25,7.1 AHP,方法的基本原理,四、判断矩阵求解,:,（,2,）和法,26,7.1 AHP,方法的基本原理,四、判断矩阵求解,:,（,2,）和法,取算术平均值：,27,7.1 AHP,方法的基本原理,四、判断矩阵求解,:,（,2,）和法,例,3,求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的,特征向量，并进行一致性检验。,28,7.1 AHP,方法的基本原理,四、判断矩阵求解,:,（,2,）和法,进行一致性检验：,所以，判断矩阵,A,满足一致性检验。,29,7.1 AHP,方法的基本原理,四、判断矩阵求解,（,3,）幂法：逐步迭代方法，容易编程计算,第一步：,k=0,，任取初始正向量,第二步：,k=1,，迭代计算,定理：设,则,，其中,E=(1,1,1),T,，,C,为常数,第,k+1,步：迭代计算（,k=0,1,2,3,）,30,7.1 AHP,方法的基本原理,四、判断矩阵求解,（,3,）幂法：逐步迭代方法，容易编程计算,第三步：精度检查，当,|m,k+1,-m,k,|,，转入,第四步；否则令,k=k+1,，,转入,第二步,第四步：求最大特征值和对应的特征向量,31,7.1 AHP,方法的基本原理,四、判断矩阵求解,:,（,3,）幂法,例,3,求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的,特征向量，并进行一致性检验。精度,=0.0001,解：任取初始正向量,k,X,(k,),Y,(k,),0,1,1,1,1,1,1,1,8.0000,8.5000,1.3429,0.9412,1,0.1580,2,3.7312,2.5766,0.4891,1,0.6906,0.1311,3,3.0367,2.1083,0.4298,1,0.6943,0.1415,4,3.0961,2.1848,0.4406,1,0.7057,0.1423,5,3.1229,2.2018,0.4431,1,0.7050,0.1419,6,3.1195,2.1983,0.4426,1,0.7047,0.1419,7,3.1189,2.1980,0.4426,1,0.7047,0.1419,8,3.1189,2.1980,0.4426,1,0.7047,0.1419,当,k=7,时，,|m,8,m,7,|=|3.1189,3.1189|=0,0.0001,，迭代终止。得到,32,7.1 AHP,方法的基本原理,四、判断矩阵求解,:,（,3,）幂法,进行一致性检验：,所以，判断矩阵,A,不满足一致性检验。,33,7.2,递阶层次结构权重解析过程,一、递阶权重解析公式,G,C,1,C,2,C,s,总目标,第,1,层子目标,第,2,层子目标,方案层,第,n,层子目标,34,7.2,递阶层次结构权重解析过程,一、递阶权重解析公式,第一层,n,1,个子目标关于总目标,G,的优先权重向量,（第一层子目标判断矩阵最大特征值对应,的特征向量）,第二层,n,2,个子目标关于总目标,G,的优先权重向量,第二层,n,2,个子目标,关于第一层第,1,个,元素优先权重向量,第二层,n,2,个子目标,关于第一层第,2,个,元素优先权重向量,第二层,n,2,个子目标,关于第一层第,n,1,个,元素优先权重向量,35,7.2,递阶层次结构权重解析过程,一、递阶权重解析公式,第三层,n,3,个子目标关于总目标,G,的优先权重向量,第三层,n,3,个子目标,关于第二层第,1,个,元素优先权重向量,第三层,n,3,个子目标,关于第二层第,2,个,元素优先权重向量,第三层,n,3,个子目标,关于第二层第,n,2,个,元素优先权重向量,36,7.2,递阶层次结构权重解析过程,一、递阶权重解析公式,第,n,层,n,n,个子目标关于总目标,G,的优先权重向量,第,n,层,n,n,个子目标,关于第,n-1,层第,1,个,元素优先权重向量,第,n,层,n,n,个子目标,关于第,n-1,层第,2,个,元素优先权重向量,第,n,层,n,n,个子目标,关于第,n-1,层第,n,n-1,个,元素优先权重向量,37,7.2,递阶层次结构权重解析过程,二、,AHP,方法的基本步骤,建立层次结构模型：对决策对象调查研究，将目标体系所包含的,因素划分为不同层次。,构造判断矩阵：按照层次结构模型，从上到下逐层构造判断矩阵。,每一层元素都以相邻上一层次各元素为准则，按,1-9,标度方法两两,比较构造判断矩阵。也可以用其他改进的标度方法构造。,层次单排序及一致性检验：求解判断矩阵最大特征值和对应的特征,向量，经过归一化处理，即得层次单排序权重向量。层次单排序要,进行一致性检验，检验不合格的要修正判断矩阵，直到符合满意的,一致性标准。,层次总排序。层次总排序是从上到下逐层进行的。在实际计算中，一般按,表格形式计算较为简便。,38,7.2,递阶层次结构权重解析过程,例,4,某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车辆流量过大，经常造,成交通堵塞。市政府决定解决这个问题，经过有关专家会商研究制定出,三个可行方案：,c1,：在商场附近修建一座环形天桥；,c2,：在商场附近修建地下人行通道；,c3,：搬迁商场。,决策的总目标是改善市中心交通环境。根据当地的具体条件和有关情况,专家组拟定五个目标作为对可行方案的评价准则：,b1,：通车能力；,b2,：方便群众；,b3,：基建费用不宜过高；,b4,：交通安全；,b5,：市容美观。,试对该市改善市中心交通环境问题作出决策分析。,39,7.2,递阶层次结构权重解析过程,解,用,AHP,方法对此问题作出决策分析,(1),构建层次结构模型,改善交通环境,A,总目标,准则层,方案层,通,车,能,力,B,1,方,便,群,众,B,2,基,建,费,用,B,3,交,通,安,全,B,4,市,容,美,观,B,5,天,桥,C,1,地,道,C,2,搬,迁,C,3,40,(2),层次单排序及其一致性检验,第一层：对于总目标,A,，准则层各准则构造判断矩阵,A,(1),，求解最大特征值及其,对应的特征向量，并进行一致性检验。,最大特征值,特征向量,(,权重,),所以，判断矩阵,A,(1),满足一致性检验。,41,(2),层次单排序及其一致性检验,第二层：对于各准则,B,1,、,B,2,、,B,3,、,B,4,、,B,5,，构造判断矩阵,A,1,(2),、,A,2,(2),、,A,3,(2),、,A,4,(2),、,A,5,(2),，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。,最大特征值,特征向量,所以，判断矩阵,A,1,(2),满足一致性检验。,对于准则,B,1,(,通车能力,),：,42,(2),层次单排序及其一致性检验,最大特征值,特征向量,所以，判断矩阵,A,2,(2),满足一致性检验。,对于准则,B,2,(,方便群众,),：,第二层：对于各准则,B,1,、,B,2,、,B,3,、,B,4,、,B,5,，构造判断矩阵,A,1,(2),、,A,2,(2),、,A,3,(2),、,A,4,(2),、,A,5,(2),，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。,43,(2),层次单排序及其一致性检验,最大特征值,特征向量,所以，判断矩阵,A,3,(2),满足一致性检验。,对于准则,B,3,(,基建费用,),：,第二层：对于各准则,B,1,、,B,2,、,B,3,、,B,4,、,B,5,，构造判断矩阵,A,1,(2),、,A,2,(2),、,A,3,(2),、,A,4,(2),、,A,5,(2),，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。,44,(2),层次单排序及其一致性检验,最大特征值,特征向量,所以，判断矩阵,A,4,(2),满足一致性检验。,对于准则,B,4,(,交通安全,),：,第二层：对于各准则,B,1,、,B,2,、,B,3,、,B,4,、,B,5,，构造判断矩阵,A,1,(2),、,A,2,(2),、,A,3,(2),、,A,4,(2),、,A,5,(2),，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。,45,(2),层次单排序及其一致性检验,最大特征值,特征向量,所以，判断矩阵,A,5,(2),满足一致性检验。,对于准则,B,5,(,市容美观,),：,第二层：对于各准则,B,1,、,B,2,、,B,3,、,B,4,、,B,5,，构造判断矩阵,A,1,(2),、,A,2,(2),、,A,3,(2),、,A,4,(2),、,A,5,(2),，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。,46,(2),层次单排序及其一致性检验,第二层权重向量（此时为层次总排序）,这说明三个可行方案的排序结果是,C,1,C,2,C,3,，,即是修建天桥是最满意方案，其次是修建地下人行通道，最次是搬迁商场。,47,习 题 七,1,、某单位需要建立一个蓄水池，有南区方案和,北区方案，按照投资合理、效益,显著、运行可靠、管理方便的原则选择最优方案，各项比较准则所需的相关资,料如下，试用确定最佳方案,。,目标方案,A,工程投资,B,1,工程效益,B,2,施工条件,B,3,开挖量,C,11,地基,条件,C,12,施工,条件,C,12,进水,C,21,管理,条件,C,22,影响,环境,C,23,蓄水量,C,24,施工,条件,C,31,南区方案,D,1,北区方案,D,2,48,判断矩阵：,49,