2015年四川省成都市数学中考试题(附答案解释).doc

成都市二〇一五年高中阶段教育学校统一招生考试
数学
A卷（共100分）
一、选择题（每小题3分）
1.的倒数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.如图所示的三棱柱的主视图是（ ）

（A） （B） （C） （D）

3.今年月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相。新机场
建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，
新机场将新建的4个航站楼的总面积约为万平方米，用科学计数法表示万为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4.下列计算正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D） 
5.如图，在中，，，，,
则的长为（ ）

（A） （B）
（C） （D）
6.一次函数的图像不经过（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
7.实数、在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8.关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）且
9.将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的函
数表达式为（ ）
A、 B、
C、 D、
10.如图，正六边形内接于圆，半径为，则这个正六边形的边心距和
弧的长分别为（ ）
（A）、 （B）、
（C）、 （D）、

二、 填空题（每小题4分）
11.因式分解：__________.
12.如图，直线，为等腰直角三角形，，则________度.
13.为响应 “书香成都”建设的号召，在全校形成良好的人文阅
读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读
时间，统计结果如图所示，则在本次调查中阅读时间的中位
数是_______小时.
14.如图，在平行四边形中，，，将平行四边形沿翻折后，点恰好与点重合，则折痕的长为__________.

三、解答题（本大题共6个小题，共54分）

15.（本小题满分12分，每小题6分）
(1)计算： (2)解方程组：

16. （本小题满分6分）
化简:

17.（本小题满分8分）
如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C.其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离.（参考数据：sin42°≈0.67 ，cos42°≈0.74 ， tan42°≈0.90）

18. （本小题满分8分）
国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：
（1）求获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛.请使用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率.
D
AD
BD
CD

19. （本小题满分10分）
如图，一次函数的图象与反比例（为常数，且）的图象交于，两点.
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标及的面积。

20.（本小题满分10分）
如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，，且.是的外接圆，的平分线交于点，交于点，连接，.
（1）求证：；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，求的值.

B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21.比较大小：________.（填，，或）
B2
y
B1
C2
C3
A2
A3
A1
O
C1
D1
D2
x
22.有9张卡片，分别写有这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则关于x的不等式组有解的概率为_________.
23．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O．以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2B2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为____________．

24.如图，在半径为5的中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作 的垂线交射线于点，当是等腰三角形时，线段的长为 .
25.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 .（写出所有正确说法的序号）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为.

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在大题卡上）
26、（本小题满分8分）
某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用元够进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元。
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？

27、（本小题满分10分）
已知分别为四边形和的对角线，点在内，。
（1）如图①，当四边形和均为正方形时，连接。
1)求证：∽；2）若，求的长。
（2）如图②，当四边形和均为矩形，且时，若，
求的值；
（3）如图③，当四边形和均为菱形，且时，
设，试探究三者之间满足的等量关系。（直接写出结果，不必写出解答过程）

28．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax 2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
x
y
O
A
B
D
l
C
备用图
x
y
O
A
B
D
l
C
E

答案
一、 选择题
1—5 A、B、C、C、B 6—10 D、C、D、A、D
二、 填空题
11、 12、 13、 1 14、3
三、 解答题
15、（1）8 （2）
16、
17、234m
18、 （1）30人； （2）
19、（1），；（2）P ，
20、
（1）由已知条件易得，，
又，∴（）
（2）与相切。
理由：连接，则，
∴，
∴。
（3）连接，，由于为垂直平分线，
∴，
∴，
又∵为角平分线，∴，
∴，∴，∴，
即，∵在等腰中，
∴

B卷
21、 <
22、 22、
23、（3n－1，0）
24、 或或

(1) (2) (3)
【解析】：（1）当时，如图（1），作于点，延长交于点；
易知，
射影知.
（2）当时，如图（2），延长交于点，易知，，
易知.
（3）当时，如图（3），由.
综上：或或

25、
【答案】②③
【解析】：研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
对于①，，因此本选项错误；
对于②，，而，因此本选项正确；
对于③，显然，而，因此本选项正确；
对于④，由，知，由倍根方程的结论知，从而有，所以方程变为，，因此本选项错误。
综上可知，正确的选项有：②③。

二、 解答题
26、（1）120件；（2）150元。
27、（1）1）见解析，2）；（2）；（3）
【解析】：（1）1)，又，
∽。
2），，由∽可得，
又，，即
由，解得。
（2）连接，同理可得，由，可得

，所以，。

，解得。
（3）连接，同理可得，过作延长线于，
可解得，，

。

28、【答案】：（1）A（－1，0），y＝ax＋a；
（2）a＝－；
（3）P的坐标为（1，－）或（1，－4）
【解析】：
（1）A（－1，0）
x
y
O
A
B
D
l
C
E
F
∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k
∴y＝kx＋k
令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0
∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4
∴－3－＝－1×4，∴k＝a
∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F
设E（x，ax2－2ax－3a），则F（x，ax＋a）
EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a
S△ACE＝S△AFE－S△CFE
＝(ax2－3ax－4a)(x＋1)－(ax2－3ax－4a)x
＝(ax2－3ax－4a)＝a(x－)2－a
∴△ACE的面积的最大值为－a
∵△ACE的面积的最大值为
∴－a＝，解得a＝－
（3）令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0
x
y
A
B
D
l
C
Q
P
O
解得x1＝－1，x2＝4
∴D（4，5a）
∵y＝ax2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1
设P（1，m）
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a）
m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a）
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°
∴AD2＋PD2＝AP2
∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2
即a2＝，∵a＜0，∴a＝－
∴P1（1，－）
x
y
O
A
B
D
l
C
P
Q
②若AD是矩形的一条对角线
则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，－3a）
m＝5a－(－3a)＝8a，则P（1，8a）
∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°
∴AP2＋PD2＝AD2
∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2
即a2＝，∵a＜0，∴a＝－
∴P2（1，－4）
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形
点P的坐标为（1，－）或（1，－4）